1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Для этого состояния снова имеем m = j1 + j2 − 1, но для него эта величина – наибольшее значениеm. Поэтому оно соответствует j = j1 + j2 − 1, т. е.√√j2j1|j1 + j2 −1, j1 + j2 −1⟩ =·| j1 , j1−1⟩|j2 , j2 ⟩−·|j1 , j1 ⟩|j2 , j2−1⟩. (12.6б)j1 + j2j1 + j2▽ Дальнейшее действие оператора ĵ− на состояния (12.6) даёт состояния|j1 + j2 , j1 + j2 − 2⟩ и |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2⟩. Эти два новых состояния – суперпозиции состояний старого базиса |j1 , j1−2⟩|j2 , j2 ⟩, |j1 , j1−1⟩|j2 , j2−1⟩, |j1 , j1 ⟩|j2 , j2−2⟩.Сформированное из этих базисных состояний третье состояние, ортогональноек двум первым, есть | j1 + j2 −2, j1 + j2 −2⟩.▽ Этот процесс появления новых значений j продолжается до тех пор, покас уменьшением m увеличивается число различных базисных функций|j1 , m1 ⟩|j2 , m2 = m − m1 ⟩, т. е.
до m = j1 − j2 (12.4б).Итак, задача в принципе решена. Задача 10.5 даёт другой метод её решения.Коэффициенты Клебша–Гордана можно найти и в многочисленных таблицах.∇ На языке теории представлений групп векторы состояний с моментом jреализуют (2j + 1)-мерное неприводимое представление группы вращений. Мы решили здесь задачу о разложении произведения двух представлений по неприводимым. Полученное решение означает, что произведение неприводимых представленийразмерностей 2j1 + 1 и 2j2 + 1 разбивается на сумму неприводимых представленийс размерностями 2 j + 1, где j пробегает значения j1 + j2 , j1 + j2 − 1, ..., |j1 − j2 |.Важный частный случай.
Для пары частиц со спином 1/2 волновую функциюсостояния с суммарным спином 0 в обозначениях § 10.2 можно записать в виде|0, 0⟩ =|(1)+⟩|(2)−⟩ − |(1)−⟩|(2)+⟩√.2Здесь значки (1) и (2) в обозначениях векторов отмечают номера частиц.(12.7)12.2. Матричные элементы скаляров и векторов§ 12.2.197Матричные элементы скаляров и векторов12.2.1. Правила отбораДля атома в целом момент импульса сохраняется. Поэтому его состояния можно классифицировать по значениям полного момента импульса j и его проекции наизбранную ось m, обозначая через α остальные, не зависящие от момента характеристики. Нередко в этот набор полезно добавить значение чётности состояния P = ±1.В изучаемые ниже вероятности переходов входят матричные элементы оператороввозмущения V̂ по этим состояниям |αPjm⟩.
В свою очередь, связанная с устройством нашей системы часть оператора возмущения может быть вектором (например,вектор электрического дипольного момента во взаимодействии нейтрального атомас внешним электрическим полем), псевдовектором (например, вектор магнитного момента во взаимодействии атома с магнитным полем), скаляром или псевдоскаляром,тензором второго ранга (например, тензор квадрупольного момента во взаимодействии нейтрального атома с внешним электрическим полем) и т.
п. Оказывается, чтодля каждого из этих типов возмущения матричные элементы ⟨α′ P ′ j ′ m′ |V̂ |αPjm⟩ могут быть ненулевыми только для небольшого набора возможных пар (P ′ j ′ m′ ; Pjm).Перечисление таких возможных пар и составляет содержание правил отбора. Ихзнание упрощает анализ многих проблем.Пример.
Состояния гармонического осциллятора.Разумеется, правила отбора могут записываться и по другим квантовым числам,и мы начнём с простейшего примера. Рассмотрим набор собственных состояний осциллятора |n⟩, операторы Â1 = a1 x, Â2 = a2 x 2 , ..., Âk = ak x k и матричные элементы⟨m|Âk |n⟩. Правила отбора для операторов Âk определяют, для каких значенийm и n эти матричные элементы могут отличаться от нуля.x0Напомним, что x̂ = √ (â + â+) (4.14), а матричный элемент ⟨m|â|n⟩ отличен от2нуля только при m = n − 1 и матричный элемент ⟨m|â+ |n⟩ отличен от нуля толькопри m = n + 1. Отсюда легко получается, что матричный элемент ⟨m|Â1 |n⟩ можетотличаться от нуля только если m и n – соседние уровни, т. е. при m = n ± 1 (еслиn = 0, то возможно только m = n + 1).
Точно так же матричный элемент ⟨m|Â2 |n⟩может отличаться от нуля только при m = n и при m = n ± 2 (если n = 0, товозможно только m = n и m = n + 2).Условия m = n ± 1 для операторов Â1 , m = n и при m = n ± 2 для операторов Â2представляют собой правила отбора для этих операторов в осцилляторном базисе.Правила отбора для состояний момента импульса. Как обычно,2мы обозначаем через | jm⟩ собственный вектор операторов ĵ и ĵz с собственнымизначениями j(j + 1) и m соответственно.• Скалярный оператор. Скалярным называется оператор Ŝ, вид которого неменяется при вращениях системы координат. Такой оператор коммутирует с оператором момента импульса системы ĵ (8.6), т.
е.[ ĵi , Ŝ] = 0 ⇒ [ ĵz , Ŝ] = 0,2[ĵ , Ŝ] = 0.Глава 12. Сложение моментов198Поскольку [ ĵz , Ŝ] = 0, то и среднее ⟨ j ′ m′ | ĵz Ŝ−Ŝ ĵz |jm⟩ = (m′−m) ·⟨ j ′ m′ |Ŝ| jm⟩ = 0,т. е. матричный элемент ⟨j ′ m′ |Ŝ|jm⟩ может отличаться от нуля лишь при m′ = m.222Таким же образом, из соотношения [ĵ , Ŝ] = 0 следует, что ⟨ j ′ m′ |ĵ Ŝ − Ŝ ĵ | jm⟩ = 0,т. е. наш матричный элемент может быть отличен от нуля лишь при j ′ = j. Наконец,рассматривая матричные элементы от операторных равенств типа ĵ− Ŝ ĵ+ = Ŝ ĵ− ĵ+ ,получим, что обсуждаемый матричный элемент вообще не зависит от m, т.
е. отнаправления момента импульса. В итоге⟨j ′ m′ |Ŝ|jm⟩ = a(j) · δ jj ′ · δmm′ .(12.8)Если ещё известны чётности, то для скалярного оператора Ŝ справа добавляетсямножитель δP ′ ,P , а для псевдоскалярного – множитель δ−P ′ ,P .• Векторный оператор. Из перестановочных соотношений для компонент векторного оператора V̂ и момента импульса (8.5) легко получаются соотношения[ ĵz , V̂z ] = 0, [ ĵ+ , V̂+ ] = 0, [ ĵ− , V̂− ] = 0 (при V̂± = V̂x ± i V̂y).Как и для скалярного оператора, отсюда следует⟨j ′ , m′ |[ ĵz , V̂z ] |j, m⟩ = 0 = (m − m′)⟨j ′ , m′ |V̂z | j, m⟩.Итак, матричный элемент ⟨j ′ , m′ |V̂z |j, m⟩ может отличаться от нуля только приm′ = m.
Точно так же матричные элементы ⟨j ′ , m′ |V̂+ | j, m⟩ и ⟨j ′ , m′ |V̂− |j, m⟩ могут отличаться от нуля только если m′ = m + 1 или m′ = m − 1. Для операторов V̂xи V̂y это означает, что от нуля отличны только матричные элементы с m′ = m ± 1.Мы не заготовили такого же простого аппарата для получения правил отборапо j. Для получения этих правил отбора мы воспользуемся интерпретацией задачисложения моментов как проблемы разбиения произведения представлений группывращения по неприводимым представлениям (конец предыдущего раздела). С этойточки зрения векторный оператор V̂ реализует 3-мерное представление группы вращений, а векторы состояния |j, m⟩ – (2j + 1)-мерное. Вектор состояния V̂ |j, m⟩ реализует произведение этих представлений. Оно разбивается на сумму 2K + 1-мерныхпредставлений с K = j + 1, j, j − 1 (при j = 0 остаётся только K = 1).
Скалярнаявеличина ⟨j ′ , m′ |V̂ |j, m⟩ может отличаться от нуля, только если размерность представления бра-вектора ⟨j ′ , m′ | совпадает с размерностью одного из представлений,на которые разбивается V̂ | j, m⟩, т. е. при j ′ = j ± 1 или j (если j ̸= 0). Итак, длялюбого векторного оператора V̂ выполняются правила отбора:⟨j ′ m′ |V̂i |jm⟩ ̸= 0 лишь при j ′ = j, j ± 1,⟨j ′ m′ |V̂z |jm⟩ ̸= 0 лишь при m′ = m,⟨j ′ m′ |V̂a |jm⟩ ̸= 0 лишь при m′ = m ± 1(Va = Vx , Vy),(12.9)⟨00|Vi |00⟩ = 0.• Тензорные операторы. Подобным образом строятся и правила отбора длятензорных операторов. Так, матричные элементы тензора второго ранга могут бытьненулевыми только приТензор 2 ранга :|j − j ′ | = 0, 1, 2;|m − m′ | = 0, 1, 2 .(12.10)12.3.
Задачи199• Правила отбора по чётности. Напомним, что есть два типа векторов. Компоненты обычных (полярных) векторов V меняют знак при отражении координат(смещение, импульс, электрический дипольный момент, электрическое поле). Компоненты аксиального вектора A (иногда его называют псевдовектором) не меняютсяпри отражении (вектор угловой скорости, магнитное поле, магнитный дипольный момент и т.
п.). Соответственно, матричные элементы ⟨n|V̂i |m⟩ отличны от нуля толькопри различных чётностях состояний |n⟩ и |m⟩. Точно так же матричные элементы⟨n|Âi |m⟩ отличны от нуля только при совпадающих чётностях состояний |n⟩ и |m⟩.12.2.2. Усреднение векторного оператораИспользуя соотношения (8.3), можно убедиться, что)[ 2 [ 2 ]](2[2 ]( )2ĵ , ĵ , V̂i = 2 ĵ V̂i + V̂i ĵ −4 ĵi ĵV̂ .ĵ , V̂i = −ieijk (ĵ j V̂k + V̂k ĵ j);(12.11)′Взяв от этого соотношения[ 2 [ 2 ]] матричный элемент по состояниям |jm⟩ и | jm ⟩,′т. е. записав ⟨j, m| ĵ , ĵ , V̂ |jm ⟩ = 0, получим формулу усреднения:( )⟨ jm| ĵV̂ |jm⟩.(12.12)⟨jm |V̂i | jm⟩ = ⟨jm | ĵi |jm⟩j(j + 1)( )Поскольку матричный элемент скаляра ⟨jm| ĵV̂ |jm⟩ не зависит от проекции полного момента на ось z, это означает, что усреднённый вектор V направлен по усреднённому вектору j.Соотношение (12.12) составляет содержание векторной модели для векторного оператора.
Оно используется, в частности, для изучения расщепления уровнейв магнитном поле (разд. 14.1.7).′§ 12.3.′Задачи1. Найти собственные значения оператора (ŝ1 ŝ2).2. Пусть две спинорных частицы взаимодействуют по закону V = g(ŝ1 ŝ2) и в начальный момент времени спин первой частицы направлен вдоль оси z, а второй– вдоль n = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). Найти среднее значение спина первойчастицы в зависимости от времени.3. В задаче о сложении моментов j = j1 + j2 используем обозначения векторовсостояний |I⟩ и |II ⟩ со стр.
193. Вычислить ⟨I|(j1 j2)|I ⟩, ⟨II |(j1 j2)|II ⟩. Получитьправило сумм для коэффициентов Клебша–Гордана)2∑ ( jmC j1 m1 , j2 m2 2m1 m2 = j(j + 1) − j1 (j1 + 1) − j2 (j2 + 1) .(12.13)m1 +m2 =m4. Покажите, что при сложении двух одинаковых моментов j1 = j2 состоянияс j = 2 j1 , 2 j1 − 2, 2j1 − 4 .
. . симметричны по перестановке m1 , m2 , а состояния с полным моментом j = 2 j1 − 1, 2j1 − 3 . . . – антисимметричны.Глава 12. Сложение моментов2005. Найти собственные функции при сложении моментовa) j1 = 1 и j2 = 2, b) j1 = 1 и j2 = 1, c) j1 = 1 и j2 = 1/2, d) j1 = 1/2 иj2 = 1/2, e) j1 = 3/2 и j2 = 2.∑6. Найтидля матричных элементов дипольного exi и квадруполь∑правила отбораногоe(xi x j − r 2 δij /3) моментов.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
