1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Он выбирает из волновойочевидно, является проекционным, поскольку P̂+функции компоненты, в которых проекция спина ось n равна +1/2 (ср. с общимопределением (8.18)).♢ Нередко спиновое и пространственное движения разделяются. При этом, вводяобобщённые координаты q ≡ (ri , sz), можно записатьψ (q) = ψ (r) · χ(sz).(10.7)Преобразование спиноров при вращении координатОператор поворота осей координат на конечный угол α относительно оси n дляпроизвольного значения момента импульса имеет вид Ûn (α) = e iα(nL̂) /~ (8.4). Дляпреобразования спиноров с учётом (10.5) это соотношение принимает видÛn (α) = e i(nσ)α/2 ≡ cosαα+ i(nσ) sin .22(10.8а)В частности, при повороте на угол 2π вокруг любой оси компоненты спинора меняют знак.Глава 10.
Спин176Из (10.8а) легко получаются и явные выражения для операторов конечных вращений вокруг различных осей в случае, когда спиноры определены в базисе проекцийна ось z:( iα/2)e0Ûz (α) =≡ cos(α/2) + iσz sin(α/2),0e −iα/2()cos(α/2) i sin(α/2)(10.8б)Ûx (α) =≡ cos(α/2) + iσx sin(α/2),i sin(α/2) cos(α/2)()cos(α/2)sin(α/2)≡ cos(α/2) + iσy sin(α/2).Ûy (α) =− sin(α/2) cos(α/2)C помощью этих выражений можно найти, например, выражения для собственных функций операторов проекций спина на оси (x и) y в базисе (10.3).1В частности, изменение вида спинора χ+ =при повороте оси z на угол θ0()cos(θ/2)в плоскости xz описывается соотношением χ′ = Ûy (θ)χ+ =.
При этомsin(θ/2)среднее значение проекции спина на новую ось z даётся естественным выражением()′′⟨sz ′ ⟩ = (1/2)χ † σz χ = (1/2) cos2 (θ/2) − sin2 (θ/2) = (1/2) cos θ.В соответствии с общими правилами (1.20) изменение формы спинорного оператора, например, при повороте оси z на угол θ в плоскости xz описывается соотношением F̂ → Ûy−1 (θ) F̂ Ûy (θ). В частности, например, при таком поворотеσõ → σx cos α − σz sin α. Решения задач 10.1–10 являются необходимой составнойчастью излагаемой темы.§ 10.3. Разложение по базису матриц Паули кактехнический приемРазложение по базису матриц Паули – удобный способ работы при описанииобъектов с двумя возможными состояниями (спиновых систем, двухуровневых систем, двоичных элементов памяти и т. п.).Так, любую 2 × 2 матрицу A можно представить в видеA = a · I + b · σ; a =Tr (Aσ)Tr A, b=.22(10.9)Пример.
Рассмотрим изменение уровней системы с двумя вырожденными илиблизко расположенными уровнями ε1 и ε2 под действием возмущения V̂ с матричными элементами по этим состояниям Vij (i, j = 1, 2) (разд. 5.4). Уровни энергиитакой системы – собственные числа)( матрицыV11 + ε1V12.||ε + V|| ≡V21V22 + ε2∑Разложим эту матрицу по матрицам Паули (10.9), ||ε + V|| = a · I +bi · σi .i10.4. Задачи177Уровни энергии – собственные значения этой матрицы. Унитарное преобразование,диагонализующее эту матрицу, приводит её к форме a · I + b · σ3 с собственными значениями a ± b. Это преобразование отвечает вращению вектора b, при этом√b = b12 + b22 + b32 (ср. задачу 10.11).§ 10.4.Задачи2Ниже n и k – единичные векторы, n2 = 1, k = 1, σk ≡ σk – матрицаПаули, отвечающая проекциям спина на ось k.1.
Найти квадраты проекций электронного спина на оси x, y, z.2. Найти собственные функции и собственные значения операторов ŝx и ŝy в базисе(10.3).3. В состоянии, где собственное значение ŝz есть 1/2, найти вероятности того, чтопроекция спина на ось n есть +1/2 и −1/2. Найти |χx ⟩, для которойsx |χx ⟩ = ±|χx ⟩/2 и |χy ⟩, для которой sy |χy ⟩ = ±|χy ⟩/2.4. Найти собственныевекторы() проекционного оператора (10.6).cos αiγ. Куда направлена ось z ′ , для которой sz ′ χ = (1/2)χ?5. Пусть χ = ee iβ sin α6. Пусть a, b, c, d – спинорные векторы, т.
е. тройки 2 × 2 матриц с равным нулюследом и таких, что, например, ciT ci = 1. Докажите, что имеет место правилоФирца (ab) (cd) = (ac) (bd) − (ad) (cb).7. Найти (σa) (σb); (σa) n ; e i(σn)α (ср. (10.5)).8. Покажите, что величина χ†1 χ2 ≡ a∗1 a2 + b1∗ b2 не изменяется при вращении координат (10.8), т.е.
является скаляром.9. Для каждой из матриц Паули найти ее преобразование при вращении системыкоординат (10.8) на угол θ относительно осей x, y и z.10. В общем случае получить преобразование матриц Паули σk при вращении системы координат (10.8), т. е. вычислить Û −1 σkÛ .11. Найти собственные значения операторов a + b nσ, f(a + b nσ).12. Уровни энергии частицы 0 и Å (остальные уровни расположены далеко). Каксдвинутся эти уровни под действием возмущения, оператор которого для этихсостояний можно записать в виде матрицы: V = aσy + bσx .Рассмотрите переход к случаю с вырождением, E = 0.Глава 11Движение в магнитном полеКвантовое описание движения частицы в магнитном поле не сводится к простомупереводу на квантовый язык классических величин. Здесь существенную роль играетспин частицы – объект, исчезающий в классическом пределе.§ 11.1.Магнитный момент частицыВ классической теории магнитный дипольный момент атома (далее – простомагнитный момент) обусловлен движением электронов∑ r a × vaeµ = ea=· L,2c2mcaгде L – момент импульса системы электронов.
Величину e/2mc называют гиромагнитным отношением.Взаимодействие нейтрального атома с магнитным полем B описывается добавкойV = −(µB) к энергии (функции Гамильтона). В неоднородном магнитном поле натакой атом действует сила, равная −∇V .В квантовой механике, по принципу соответствия, гамильтониан взаимодействия заряженной частицы с внешним магнитным полем имеет видĤM = −(µ̂ B),(11.1)где для частицы без спина (орбитальный) магнитный момент естьeL̂ ≡ −µB ℓ̂2mcèµB =|e|~.2mc(11.2)Здесь учтено, что L̂ = ~ ℓ̂ и введена величина µB , которую называют магнетоном Бора .
В соответствии с этим проекция магнитного момента частицы на ось z,µz = µB ℓz , принимает дискретный ряд значений −µB ℓ, −µB (ℓ − 1), ..., µB ℓ.Наличие спина приводит к существованию дополнительного (спинового) магнитного момента, который сходным образом связан со спином. Для частицы сорта i(электрона, протона и т. п.):µ̂s = gi µiB ŝ .(11.3)11.2. Уравнение Шредингера179Здесь µiB ≡ e~/2mi c – магнетон Бора для частицы i, Таким образом, полный оператор магнитного момента принимает видµ̂ = µB (ℓ̂ + g ŝ) .(11.4)Поскольку спиновая степень свободы не имеет классического аналога, то в рамках квантовой механики никаких ограничений на число gi нет, и в нерелятивистскомописании это число берется из опыта.
Оно определяется в релятивистской квантовойтеории с учётом всех взаимодействий, в которых может принимать участие даннаячастица. Для точечных заряженных частиц со спином 1/2 должно быть gi = 2,а для точечных нейтральных частиц gi = 0. Отличие от этих значений сигнализирует о наличии внутренней структуры частицы. Для электрона e эффекты внутреннейструктуры невелики, и ge лишь немного отличается от 2. Для протона p и нейтронаn эти эффекты велики так, что1 :ge /2 = 1, 001159625,g p /2 = 2, 79,gn /2 = −1, 91.(11.5)Обратите внимание на сравнительно большой спиновый магнитный момент нейтральной частицы – нейтрона.Далее, говоря об электроне, мы всегда будем говорить просто о магнетоне Бора(не напоминая эпитет «электронный») и почти всегда будем считать g = 2.§ 11.2.Уравнение ШредингераДля частицы в электромагнитном поле импульс связан со скоростью соотношением p = mv + eA/c, где A – вектор-потенциал электромагнитного поля, из которого электрическое E и магнитное B поля выражаются соотношениями B = [∇ × A],E = −(1/c)∂A/∂t − ∇φ.
Поэтому классическая функция Гамильтона в присутствиимагнитного и электрического полей имеет вид H = (p − eA/c) 2 /2m + eφ(r). Соответственно, гамильтониан электрона в электромагнитном поле с учётом спиновогомагнитного момента имеет вид (получен в 1927 г. В. Паули):Ĥ =(p̂ − eA/c) 2+ eφ(r) − gµB (ŝ B).2m(11.6)Напомним, что в соответствующемШредингера (уравнении Паули) вол( уравнении)ψ+ (x)новая функция это спинор ψ =.ψ− (x)Воспользовавшись уравнениями движения для операторов (гл. 3), можно проверить, что из этого гамильтониана получаются классические по форме выражениядля скорости частицы и её ускорения()()1eAd v̂[v̂ × B]v̂ =p̂ −,m=e+ E + gµB ∇(ŝ B).(11.7)mcdtc1 Дело в том, что электрон участвует лишь в электромагнитном взаимодействии, интенсивность которого определяется маленькой постоянной тонкой структуры α = e 2 / (~c) = 1/137, а протоны и нейтроныучаствуют в сильном (ядерном) взаимодействии, для которого соответствующая константа – порядка 1.Глава 11.
Движение в магнитном поле180Получившиеся компоненты скорости уже не коммутируют друг с другом (см. (11.14б)).Выражение для плотности тока в присутствии магнитного поля модифицируется.Как и в отсутствие поля – см. разд. 2.1.2, для его получения вычисляют производную от плотности вещества по времени ∂ρ/∂t = ψ ∗ ∂ψ /∂t + (∂ψ ∗ /∂t)ψ и пользуютсяуравнением Шредингера для производных ∂ψ /∂t. Это даёт нам дивергенцию тока,и отсюда уже восстанавливается сама плотность тока. Возникающее при этом выражение (конвекционный ток jk) не включает явной зависимости от спина. Однако,эта процедура оставляет нам свободу добавить в выражение для плотности токаротор произвольной функции.
Вид этой функции (cпиновая часть тока js) фиксируется требованием, чтобы при изменении вектора-потенциала электромагнитногополя на малую величинуδA добавку к энергии системы можно было записать в виде∫(ср. [1, 17]) δE = − ψ † (x) (j · δA)ψ (x)d 3 x. В итоге получаетсяj = jk + js ,] ei~ [ †µB cjk = −ψ (∇ψ) − (∇ψ †)ψ −Aψ ∗ ψ, js =[∇ × (ψ † sψ)] .2mmces(11.8)Первое слагаемое конвекционного тока jk (в квадратных скобках) совпадает со стандартным выражением для тока (2.5).
Простое интегрирование по частям показывает,что именно спиновая часть тока отвечает за добавку Паули (11.6) в энергию.11.2.1. Переход к магнитному моментуРассмотрим движение частицы в однородном магнитном поле B и выберем векторпотенциал в виде A = −[r × B] /2. Тогда, раскрывая скобки, запишемĤ =p̂ 2ee 2 [r × B] 2+ eφ(r) − gµB sB +p [r × B] +.2m2mc8mc 2Учитывая, что [r × p] = L ≡ ~ ℓ, получаем отсюда (ср. (11.2))Ĥ = Ĥ0 + ĤM + Ĥ2 ,2Ĥ0 =p̂+ eφ(r) ,2mĤM = −µB (ℓ̂ + g ŝ)B ,Ĥ2 =e 2 [r × B] 2.8mc 2(11.9)Слагаемое ĤM в точности соответствует введённому ранее из классических соображений (принцип соответствия) гамильтониану (11.1) c магнитным моментом (11.4).• Слагаемым Ĥ2 можно пренебречь, если движение частицы ограничено небольшой областью атомных размеров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
