1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Могут ли быть в центрально-симметричном поле уровни с кратностью вырождения 2, 7, 9? Какому вырождению по ℓ они могут соответствовать?3. Определить уровни энергии Enℓ электрона с моментом ℓ, заключенного в непроницаемую сферу радиуса R, используя квазиклассическое правило квантования.Сравнить с точным решением при больших R и n ≫ ℓ.• Осциллятор4. Для изотропного плоского осциллятора U = mω 2 (x 2 +y 2) /2 найти уровни энергиии кратность их вырождения.5. Для изотропного сферического осциллятора U = mω 2 r2 /2а) в квазиклассическом приближении найти уровни энергии, найти минимальноезначение энергии при заданном ℓ;б) найдите уровни с nr = 0, ℓ = 0, 1 и nr = 1, ℓ = 0, пользуясь вариационнымметодом с пробными функциями вида P(r)e −r/a , где P(r) – простейшие полиномы,сравнить результаты с точным решением;в) найти поправки к трём нижним уровням энергии под действием возмущенияV = γx 2 y 2 .в) найти поправки к трём нижним уровням энергии под действием возмущенийVa = 2γxy и Vb = γ (x 2 − y 2).• Атом водорода и пр.6.
Оценить размеры и уровни энергии водородоподобных атомов He+ , Li++ , Pb82+ ,e + e − , µ− p, µ− π + , µ− Pb 82+ (Pb82+ – ядро свинца).7. Для атома водорода в основном состоянии (1s) построить графики dW/d 3 rи dW/dr в зависимости от r. Найти ϕ100 (p) и построить графики dW/d 3 pи dW/dp. Найти ⟨p⟩, ⟨p⟩ и ∆ p, ⟨r⟩ и ∆r. Оценить напряжённость электрическогополя на расстоянии r = aB от ядра.172Глава 9.
Центрально-симметричное поле8. Для состояний 2s и 2 p атома водорода построить графики dW/d 3 r в зависимости от r и θ. Найти среднее магнитное поле, создаваемое электроном в центрев состоянии 2p.9. Найти средние значения кинетической и потенциальной энергии для различныхсостояний атома водорода.10. Найти уровни энергии в системе с гамильтонианом() ()p̂2e2aMMe 4Ĥ =−1−aM = 2.2Mrγr~11.12.13.14.15.Проанализировать два предельных случая.а) В водородоподобном атоме, где M = me , отклонение от кулоновского потенциала моделирует эффект поляризуемости атомного остатка под действием валентного электрона, γ ≫ 1. Рассматривая эту поправку как возмущение, сравнитьточное решение с решением, использующим дифференцирование энергии по параметру (5.11).б) В двухатомной молекуле M – приведённая масса пары ядер, отклонение откулоновского потенциала описывает отталкивание электронов разных ядер, приэтом γ ≪ 1 – см.
обсуждение на стр. 235.Найти поправки к энергии атома водорода, обусловленные конечными размерамиядра.При каких значениях коэффициентов À и Â в векторе состояния атома водорода|N ⟩ = A|2, 1, 0⟩ + B|2, 0, 0⟩ среднее значение дипольного момента ⟨N |er|N ⟩ = ⟨d⟩максимально? Найти величину ⟨d⟩ при этом.Атом водорода помещён в однородное электрическое поле с потенциалом V = eEz(возмущение). Какие матричные элементы возмущения по вырожденным состояниям с n = 3 и n = 4 отличны от нуля? На какие состояния расщепился уровеньс n = 3, с n = 4? Каковы кратности вырождения получившихся уровней?Улучшить оценки (9.28), (9.29) для атома водорода в основном состоянии, включивв ответы точно вклады первых возбуждённых состояний.Найти поправки к уровням энергии с n = 1, 2 для потенциалов U = − ge −µr /r2(Юкава) и U = −ge −(µr) /r, рассматривая отклонение поля от кулоновскогокак возмущение.
Специально рассмотреть случай µaB ≪ 1. Решить ту же задачудля n = 1 вариационным методом, используя водородоподобные и осцилляторныепробные волновые функции. Сравнить результаты.Глава 10Спин§ 10.1.Основные фактыКвантовая частица может иметь квантовые внутренние степени свободы, отсутствующие у классических частиц. Их квантовая природа означает, что эти величиныисчезают в классическом пределе. Поэтому такие величины должны быть пропорциональны постоянной Планка ~.Пример. У ядра есть собственный орбитальный момент L.
В классическомслучае L = mvr стремится к нулю при r → 0. В квантовой теории этот момент остается конечным и при исчезающе малых размерах ядра, посколькуединица квантования момента ~ от размеров ядра не зависит.Внутренние степени свободы не связаны с какими-либо пространственными координатами. В то же время полученный ранее вывод о том, что значения моментаесть ~ ℓ с целым ℓ, основывался на связи оператора момента с пространственнымикоординатами. Если теперь принять, что эта внутренняя степень свободы подобнамоменту импульса, т. е. описывается переменными с перестановочными соотношениями (8.3), то с учётом (8.15) переменная, отвечающая внутренней степени свободыи подобная квадрату момента, может принимать значения ~2 ℓ(ℓ + 1) не только с целыми ℓ, но и с ℓ = 1/2, 3/2, 5/2, ...
и соответствующими собственными значениямиоператора ℓz = ℓ, ℓ − 1, ....В опытах Штерна и Герлаха нейтральные атомы пролетали через неоднородное магнитное поле, где на атом действует сила F = µz ∂Bz /∂z, где µ – векторсобственного магнитного момента электрона, а B = (0, 0, B) – магнитное поле.Если бы движение описывалось законами классической механики, эта сила принимала бы любые значения в пределах ±µ∂Bz /∂z, что приводило бы к размытию напластинке линии, вдоль которой осаждаются пролетевшие атомы. В соответствиис изложенным в §11.1, квантованность значений µz приводит к появлению на пластинке 2ℓ + 1 полос.
Для водорода и серебра на пластинке оказалось по две полосы, что формально соответствует ℓ = 1/2. Такое нецелое значение ℓ невозможносвязать с моментом импульса, обсуждавшимся в гл. 8. Его можно связать толькос внутренней степенью свободы электрона, похожей на момент. Её назвали спином.Глава 10. Спин174• В релятивистской квантовой теории обойтись без понятия спина невозможно.В нерелятивистской квантовой механике постулируется, что частицы могут иметьвнутреннюю степень свободы, не связанную с пространственным движениеми называемую спином.
Оператор спина – вектор Ŝ ≡ ~ŝ. Перестановочныесоотношения для компонент этого вектора такие же, как и для компонентоператора момента импульса (8.3), т. е.[ŝi , ŝ j ] = ieijk ŝk ;[ŝ2 , ŝi ] = 0.(10.1)Величина спина s (собственное значение оператора ŝ2 = s(s + 1)) – свойстводанного сорта частиц.Как и для момента импульса, собственные состояния спина можно классифицировать по значениям его проекции на какую-нибудь ось. Собственные значенияоператоров ŝ 2 и ŝz находят так же, как и для оператора момента (см.
§ 8.1). Отличие в том, что здесь нет представления ŝz в пространственных координатах (этовнутренняя степень свободы!). Поэтому число s не обязано быть целым. В соответствии с (8.15) разрешено и s = 1/2. Результаты Штерна и Герлаха показывают,что именно такое значение реализуется для электрона. (Оно естественно получаетсяв релятивистской теории.)В природе реализуются частицы с разными значениями спина:• спин 0 – α-частицы (ядра 42 He), π- и K -мезоны, бозон Хиггса (надеемся, чтосуществует);• спин 1/2 – электроны, нейтрино, протоны, нейтроны, кварки, 32 He;• спин 1 – фотоны, W - и Z-бозоны (переносчики слабых взаимодействий),ρ-мезоны, дейтоны (ядра 21 H) ;• спин 3/2 – ядра 7 Li, 9 Be, 21 Na;• спин 2 – ядра 8 Li, гравитоны (пока не обнаружены);• существуют ядра и с более высокими значениями спина.§ 10.2.Частицы со спином 1/2.
СпинорыДалее говоря о спинорных частицах, мы будем иметь в виду частицы со спином1/2 – электроны, протоны, нейтроны и т. п.Поскольку значение s для электронов фиксировано, мы не будем указыватьэту величину в обозначении собственных векторов |s, sz ⟩. Собственные векторы|s = 1/2, sz = ±1/2⟩ мы будем обозначать просто |±⟩.Вектор состояния спинорной частицы можно представить в виде суперпозицииχ = a+(z) |+⟩ + a−(z) |−⟩ состояний с проекциями спина на ось z, равными +1/2икоординат и )времени a±(z) связаны соотношением нормировки∫ −1(/2, функцииdx |a+(z) (x.t)|2 + |a−(z) (x, t)|2 = 1. Это состояние записывают в виде столбца(его называют спинором), a сопряжённый вектор состояния – в виде строки1 :)(a+(z)χ≡|⟩=, χ+ ≡ ⟨ | = (a∗+(z) , a∗−(z)).(10.2)a−(z)1 При таком выборе ковариантной записи спинора отвечает контравариантная запись сопряжённого спинора, см.
подробнее, например [1].10.2. Частицы со спином 1/2. Спиноры175Значок (z) напоминает о том, что рассматриваются проекции на ось z. Если записатьтот же вектор через состояния, отвечающие проекциям на ось x, то он, разумеется,имеет такую же форму (10.2), но с другими коэффициентами a+(x) и a−(x) .Набор матричных элементов ⟨sm|ŝi |sm′ ⟩, который получается из (8.17) и из определения ŝz , удобно представить в виде матриц, подобных (8.21):)()()(100 10 −i, σ̂x =, σ̂y =.(10.3)ŝi ≡ σ̂i /2 : σ̂z =0 −11 0i0Матрицы σi называют матрицами Паули. Легко проверить, что выполняются соотношенияσ̂i σ̂ j = I · δi j + ieijk σ̂k ,σ̂i2 = I,Tr I = 2,Tr σ̂i = 0.(10.4)Если n – единичный вектор, то скалярное произведение (σn) /2 представляетсобой оператор проекции спина на ось n.
Поэтому, в частности, (σn) 2 = 1. Такоепонимание величины (σn) легко позволяет получить также, что для любой функцииf(x) имеет место тождествоf (a(σn)) ≡f(a) + f(−a)f(a) − f(−a)+ (σn).22(10.5)Это соотношение легко получить также, рассматривая функцию от оператора как еёразложение в ряд Маклорена (1.6) и применяя многократно первое равенство (10.4).ОператорP̂+ = (1 + σn) /2,(10.6)2= P̂+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
