1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Соотношение (8.19) для ℓ = 1 можно записатьв виде (ℓ̂n) 3 = (ℓ̂n). С учётом этого матрица оператора конечного вращения (8.4)принимает видÛn (α) = 1 − ℓ̂2n (1 − cos α) + i ℓ̂n sin α при ℓ = 1 .(8.22)♢ Разумеется, матричное представление (8.21) имеет место лишь для ℓ = 1.Для более высоких значений момента векторы состояний содержат 2ℓ + 1 компонент, отвечающих всем 2ℓ+1 различным возможным проекциям момента, и матрицыоператоров момента становятся матрицами (2ℓ + 1) × (2ℓ + 1), которые связаны соотношениями (8.19).
Используя эти соотношения, можно описать в виде, подобном(8.22), матрицу оператора конечного вращения (8.4) для состояний с произвольныммоментом ℓ.§ 8.3.Следствия координатной записиПри описании состояний отдельной частицы полезно иметь запись собственныхсостояний момента импульса в сферических координатах частицы r, θ, φ. Переходк этим координатам от прямоугольных x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θсовершается по стандартным правилам дифференцирования. В частности, например,Глава 8.
Момент импульса150обозначая ρ2 = x 2 + y 2 , имеемпреобразований получаетсяp̂y∂y ∂yz ∂x ∂≡=++. После простых−i~∂yr ∂r r 2 ρ ∂θ ρ2 ∂φ()∂∂∂; ℓ̂± = e ±iφ ±+ ictgθ;∂φ∂θ∂φ[()]1 ∂∂1 ∂22ℓ̂ = −sin θ+.sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂φ2ℓ̂z = −i(8.23)Обозначим n = r/r, при этомnz = cos θ, nx = sin θ cos φ, ny = sin θ sin φ, n± = nx ± iny ≡ sin θe ±iφ .(8.24а)Эти компоненты образуют базис векторного представления группы вращенийтрёхмерного пространства. Нетрудно проверить, что n± и nz – собственныефункции |ℓ, m⟩, отвечающие собственным значениям ℓ = 1 и ℓz = m = ±1 и 0соответственно.
Действительно (сравните ещё с (8.11)),2ℓ̂ nz,± = 2nz,± ,ℓ̂+ n+ = 0 ,ℓ̂− n+ = −2nz ,ℓ̂z n± = ±n+ ,ℓ̂+ nz = n+ ,ℓ̂z nz = 0 ;ℓ̂+ n− = 2nz ,ℓ̂− nz = −n− ,(8.24б)ℓ̂− n− = 0 .• Найдем теперь нормированные собственные функции оператора момента импульса ⟨θ, φ|ℓ, m⟩ ≡ Yℓ,m (θ, φ) для любых ℓ, их называют сферическими гармониками (сферическими функциями). (Они реализуют базис 2ℓ+1-мерного представления группы вращений.)♢ Собственные функции оператора ℓ̂z , φm (φ) – это решения уравненияℓ̂z φm ≡ −i ∂φm /∂φ = mφm . Они имеют вид: φm (φ) = (2π) −1/2 e imφ . Требование однозначности этих функций при вращении на угол 2π можно записать в видеφm (φ + 2π) = φm (φ). Отсюда следует, что реализуются только целочисленные собственные значения m (сравните с (8.15)):e imφφm (φ) = √ , m = 0, ±1, ±2, .
. . ⇒ ℓ = 0, 1, 2, . . .2π(8.25)♢ В итоге сферические гармоники можно представить в факторизованном видеYℓ,m = Pℓ,m (θ) · φm (φ). Чтобы найти зависимость от полярного угла θ (функцииPℓ,m (θ)), начнём с наибольшего значения проекции момента m = ℓ.
Используемуравнение ℓ̂+ ψℓℓ = 0 :()∂∂∂e iφ+ i · ctg θe iℓφ Pℓ,ℓ (θ) = 0 ⇒Pℓ,ℓ = ℓ · ctg θPℓ,ℓ ⇒ Pℓ,ℓ ∝ sinℓ θ.∂θ∂φ∂θТем же способом получается и Pℓ, −ℓ ∝ sinℓ θ. В стандартной нормировке√(2ℓ + 1)! nℓ±ℓ· ℓ .Yℓ, ±ℓ = (∓i)4π2 ℓ!(8.26а)8.3. Следствия координатной записи151Остальные функции получаются из Yℓ,ℓ действием оператора (ℓ̂−) k :Yℓ,ℓ−k ∝ (ℓ̂−) k Yℓ,ℓ ,Yℓ,−ℓ+k ∝ (ℓ̂+) k Yℓ,−ℓ .(8.26б)Соотношения (8.24б) вместе с (8.17) позволяют выразить эти функции через компоненты единичного вектора ni . Так,√nℓ−1 nz(2ℓ + 1)!ℓ−2· ℓ−1±.(8.26в)Yℓ,±(ℓ−1) = (∓i)8πℓ2 (ℓ − 1)!Приведём для справок явные выражения сферических функций с небольшими ℓи m > 0 (для m < 0 можно воспользоваться первым равенством (8.29))√√133nz , Y11 = in+ ;Y00 = √ ;Y10 = i4π8π4π(8.27)√√√51515 22Y20 =(n− n+ − 2nz), Y21 =n+ nz , Y22 = −n .16π8π32π +Выражения для последующих сферических функций можно найти в таблицах.Функции Yℓ,m записывают через присоединённые функции Лежандра Pℓ,m (cos θ):√2ℓ + 1 (ℓ + |m|)!ℓ+m+|m|(8.28)Yℓ,m (θ, φ) = i·· Pℓ,m (cos θ)e imφ .4π(ℓ − |m|)!Полезно заметить, что∗,Yℓ,−m = (−1) ℓ−m Yℓ,m∑∗(θ, ϕ) Yℓ,m (θ, ϕ) =Yℓ,mm2ℓ + 1.4π(8.29)Первое из этих соотношений немедленно следует из (8.28), доказательство второгосоотношения можно найти в учебниках по математической физике.• Отражение координат r = −r означает r → r, θ → π − θ, φ → φ + π.
Нетрудно проверить, что собственные функции состояний |ℓ, ±ℓ⟩ (8.26а) при таком преобразовании умножаются на (−1) ℓ . А поскольку операторы ℓ± сохраняют чётность,то и для любых значений m имеем Yℓ,m (−r) = (−1) ℓ Yℓ,m (r). Это означает, что чётность состояния с определённым значением орбитального момента ℓ есть (−1) ℓ ,P̂|ℓ, m⟩ = (−1) ℓ |ℓ, m⟩.(8.30)Это соотношение, как и выражение (8.25), справедливо только в случае, когдаоператор момента импульса связан с координатами соотношениями (8.23).
Связьмежду моментом импульса и четностью (8.30) может не иметь места, например, длясуммарного момента нескольких электронов (электроны одного атома или иона).В этом случае собственные функции полного момента импульса продолжают оставаться собственными функциями оператора пространственного отражения, т. е. имеют определённую чётность, но соотношение (8.30) не выполняется.152Глава 8.
Момент импульсаПреобразования сферических функций при конечных вращениях. Оператор вращения на конечный угол относительно произвольной оси n имеет вид (8.4).Использование выражений (8.23) в этом операторе позволяет определить, как меняются выражения сферических функций при переходе к новым направлениям осей.Удобный и идейно очень простой способ найти результаты этих преобразованийдаёт запись сферических функций через компоненты единичного вектора nx , ny , nz(8.26), (8.27).
Для этого достаточно выразить указанные компоненты через их «повёрнутые» значения n′x , n′y , n′z и переразложить функции, записанные в этих осях поновому базису.Пример. Рассмотрим начальное состояние с моментом ℓ = 1 и его проекцией наось z, равной m и ось z ′ , получившуюся из z вращением на угол α в плоскости xzc единичным вектором, направленным вдоль этой оси λ так, что λ = (sin α, 0, cos α)и n′x = nx cos α + nz sin α, n′y = ny , n′z = nz cos α − nx sin α.
Найдём для каждого mсреднее значение проекции момента на ось n и вероятности получить те или иныезначения проекции момента на эту ось.Чтобы ответить на первый вопрос, заметим, что оператор проекции момента наось z ′ имеет вид (ℓ̂ n) и его среднее значение по состоянию |ℓ, m⟩ есть⟨ℓ, m|(ℓ̂ n)|ℓ, m⟩ ≡ ⟨ℓ, m|(ℓ̂x nx + ℓ̂y ny + ℓ̂z nz |ℓ, m⟩ = m cos α(средние значения операторов ℓ̂x и ℓ̂y равны нулю). Подобное вычисление даёт другоеℓ(ℓ + 1) − m2полезное в дальнейшем среднее ⟨ℓ, m|(ℓ̂ n) 2 |ℓ, m⟩ =sin2 α + m2 cos2 α.2Чтобы ответить на второй вопрос, заметим, что выражения для собственныхфункцийпроекций момента на повёрнутые оси имеют√√ вид (8.27)8π ′4π ′∓iY1,±1 = n′± = nx cos α − nz sin α ± iny , −iY = n′z = nz cos α + nx sin α.33 10∫ ′∗Теперь вычисление величины Y1m′ Y1m dΩ даёт амплитуду вероятности увидеть проекцию момента на ось λ, равную m′ , в состоянии c проекцией момента на ось z,равной m, а квадрат этой величины даёт искомую вероятность.
В частности, дляm = 1 вероятности обнаружить проекции момента на ось λ, равные ±1 и 0 равнысоответственно (1 ± cos α) 2 /4 и sin2 α /2, а для m = 0 такие же вероятности равнысоответственно sin2 α /2 и cos2 α.Другой способ ответить на второй вопрос доставляет вычисление среднего значения проекционного оператора на соответствующие состояния. Согласно (8.18),операторы проектирования на состояния с ℓλ = m′ для m′ = ±1 и 0 можно записать(ℓ̂ n) 2 ± (ℓ̂ n)в виде P̂±1 =, P̂0 = 1− (ℓ̂ n) 2 . Вычисление среднего значения этих опе2раторов с использованием найденных выше средних вновь приводит к выписаннымранее вероятностям.8.4. Задачи§ 8.4.153Задачи1.
В соответствии с правилом построения операторов по классическим величинам,выписанным перед (1.5), оператор момента импульса следовало бы писать в симметризованной форме, L̂ = (r̂ × p̂ − p̂ × r̂) /2. Покажите, что в данном случае такаяоперация не даёт ничего нового.2. Покажите, что для двух векторных операторов Â и B̂ коммутатор [(ÂB̂), L̂i ] = 0.3. Найти средние значения операторов L2x и L2y в состоянии |ℓ, m⟩. Можно ли одновременно измерить эти величины?4. Найти средние значения операторов ℓx , ℓy , ℓz , ℓx ℓy , ℓz ℓx , ℓ2x , ℓ2y , ℓ2z и направлениевектора ⟨L̂⟩ в состояниях√√(а) |ℓ, m⟩; (б) Ñ (|1, 1⟩ + e iα |1, −1⟩) / 2; (в) Ñ (|1, 1⟩ + e iα |1, 0⟩) / 2.5. Найти собственные векторы операторов ℓ̂x , ℓ̂y в базисе |ℓ, ℓz ⟩.6. Используя соотношения (8.5), выясните, при каких m, m′ будет ⟨m|xi |m′ ⟩ ̸= 0;⟨m|xi x j |m′ ⟩ ̸= 0.7.
Найти ⟨ℓz ⟩ и вероятности различных значений проекции момента на ось z в состоянияхψ (φ) = (I) A cos2 φ, (II) C · e iφ cos2 φ, (III) B(1 + cos φ). Как меняются со временем средние значения ⟨ℓz ⟩ в случае плоского ротатора Ĥ = L̂2z /2I ?8. Ось z ′ повернута под углом α к оси z. Пусть ℓ = 2.• Найти собственные векторы оператора ℓ̂z ′ в базисе |ℓ, ℓz ⟩ .• В состоянии |ℓ, m⟩ найти вероятности разных значений ℓz ′ и средние ⟨ℓ̂z ′ ⟩, ⟨ℓ̂2z ′ ⟩.9. С помощью уравнения (8.19) записать оператор конечного вращения, наподобие(8.22), при ℓ = 2.Глава 9Центрально-симметричноеполе§ 9.1.Задача двух тел.
Общие свойстваЗадача двух частиц, взаимодействие которых зависит только от расстояния междуними, описывается гамильтонианомĤ =p̂21p̂2+ 2 + U(r1 − r2).2m12m2Для описания движения этих частиц удобно ввести координаты и импульс центрамасс R̂ и P̂ и относительного движения r̂ и p̂ (и соответствующие массы M и m):m1 r̂1 +m2 r̂2, P̂ = p̂1 + p̂2 , M = m1 +m2 ,m1 + m2m2 p̂1 −m1 p̂2m1 m2r̂ = r̂1 − r̂2 , p̂ =, m=.m1 +m2m1 +m2R̂ =(9.1а)Перестановочные соотношения между операторами координат и импульса каждогоиз этих движений таковы же, как и для отдельной частицы (1.23):[P̂i , R̂ j ] = −i~δi j ,[ p̂i , r̂ j ] = −i~δij , [ p̂i , R̂ j ] = [P̂i , r̂ j ] = 0.(9.1б)Движения двух тел по отдельности входят только в выражение для кинетической энергии.
В свою очередь, операторы импульсов разных частиц коммутируютдруг с другом. Поэтому – в точности как в классической механике – эта кинетическая энергия, а вслед за нею и гамильтониан разбиваются на сумму гамильтонианадвижения центра масс ĤR и гамильтониана относительного движения Ĥr ,2Ĥ = ĤR + Ĥr ,ĤR =P̂,2MĤr =p̂2+ U(r) .2m9.1. Задача двух тел .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
