1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 36
Текст из файла (страница 36)
должны совпадать, т. е. удерживая лишь члены не вышепервого порядка по δφ, мы имеем[](Âx , Ây , Âz) + δφ(−Ây , Âx , 0) = (Âx , Ây , Âz) − iδφ ℓ̂z , (Âx , Ây , Âz) .Отсюда видно, что [ℓ̂z , Âx ] = −i Ây , [ℓ̂z , Ây ] = i Âx , [ℓ̂z , Âz ] = 0. Повторяя это вычисление для других компонент, можно записать общие перестановочные соотношениякомпонент момента импульса с компонентами любого вектора[ℓ̂i , Â j ] = ieijk Âk .(8.5)(В задаче (1.14) на стр. 34 мы проверяли это для случаев, когда A = r, p или L.)Подобное вычисление даёт коммутаторы компонент момента со скалярным оператором Ŝ, с компонентами произвольного тензора второго ранга Tab и т. д.:[ℓ̂i , Ŝ] = 0 ,[ℓ̂i , T̂ab ] = ieiar T̂rb + ieibr T̂ar .(8.6)Подчеркнём, что перестановочные соотношения (8.3) – (8.6) есть свойство группы вращений, вне зависимости от существования реализации (8.1), (8.2). В частности, они выполняются для операторов суммарного момента системы частиц (этолегко проверяется прямой подстановкой), для спина (см.
ниже) и т. п.§ 8.1.Следствия алгебры коммутаторовМногие свойства момента импульса определяются только его перестановочнымисоотношениями (8.3).• Соотношения (8.3) показывают, что различные компоненты момента импульсане могут быть фиксированы одновременно (не измеримы одновременно); имеют местосоотношения неопределённостей вида∆ℓx · ∆ℓy > |⟨ℓz ⟩|/2.(8.7)Это означает, что не существует такого состояния квантовой системы, в котором всекомпоненты момента имели бы определённые ненулевые значения.Глава 8. Момент импульса146• В то же время из (8.3) нетрудно получить, что( 2)2[ℓ̂ , ℓ̂ j ] = 0ℓ̂ = ℓ̂2x + ℓ̂2y + ℓ̂2z ,(8.8)т.
е. квадрат момента импульса и его проекция на одну из осей (например, ℓ̂z) одновременно измеримы1 . Поэтому мы будем искать совместные собственные векторы2операторов ℓ̂ и ℓ̂z , чьи собственные значения мы обозначим Λ (временно) и m:2|Λ, m⟩ ⇒ ℓ̂ |Λ, m⟩ = Λ|Λ, m⟩; ℓ̂z |Λ, m⟩ = m|Λ, m⟩.(8.9)Отметим, что при другом выборе оси квантования z → z ′ новые векторы состояний |Λ, m⟩z ′ получаются из |Λ, m⟩ с помощью линейных преобразований, подобныхпреобразованиям координат при вращении.♢ Определим ещёℓ̂± = ℓ̂x ± i ℓ̂y .(8.10)Тогда из соотношений (8.3) получается[ℓ̂z , ℓ̂± ] = ±ℓ̂± ;[ℓ̂+ , ℓ̂− ] = 2ℓ̂z ;2ℓ̂ = ℓ̂+ ℓ̂− +ℓ̂2z− ℓ̂z = ℓ̂− ℓ̂+ +ℓ̂2z+ ℓ̂z .(8.11)(8.12)Далее мы действуем тем же способом, что и при решении задачи об осцилляторе.
Существенное различие состоит в том, что для осциллятора возможныесобственные значения оператора â+ â не ограничены сверху, в то время как возможные собственные значения оператора ℓ̂+ ℓ̂− ограничены сверху величиной Λ.2♢ Рассмотрим векторы ℓ̂± |Λ, m⟩. Поскольку [ℓ̂ , ℓ̂± ] = 0, то22ℓ̂ ℓ̂± |Λ, m⟩ = ℓ̂± ℓ̂ |Λ, m⟩ = Λℓ̂± |Λ, m⟩,2т. е. ℓ̂± |Λ, m⟩ – собственные векторы оператора ℓ̂ с тем же собственным значениемλ.
С другой стороны, из соотношения [ℓ̂z , ℓ̂± ] = ±ℓ̂± следует, чтоℓ̂z ℓ̂± |Λ, m⟩ = ℓ̂± ℓ̂z |Λ, m⟩ ± ℓ̂± |Λ, m⟩ = (m ± 1) ℓ̂± |Λ, m⟩.Это означает, что ℓ̂± |Λ, m⟩ – собственные векторы оператора ℓ̂z с собственнымизначениями m ± 1:±ℓ̂± |Λ, m⟩ = cΛm|Λ, m ± 1⟩.(8.13)Поэтому ℓ̂+ и ℓ̂− – повышающий и понижающий операторы соответственно.♢ Поскольку операторы ℓ̂i эрмитовы, то средние значения операторов ℓ̂2x и ℓ̂2yне отрицательны (ср.
задачу 1.13). Следовательно, среднее ⟨|ℓ̂2z |⟩ по любому состо2янию не превышает Λ = ⟨|ℓ̂ |⟩. Поэтому при заданном Λ существует наибольшеезначение m, обозначим его ℓ. Как и в случае с действием оператора уничтоженияна основное состояние осциллятора, из определения ℓ следует, что ℓ̂+ |Λ, ℓ⟩ = 0.1 Можно показать, что из компонент оператора момента импульса нельзя построить ещё один нетривиальный оператор, коммутирующий с ℓ̂2 и ℓ̂z , но не выражающийся через них. (Это – свойство группытрёхмерных вращений.)8.1. Следствия алгебры коммутаторов147С учётом этого из (8.12) получается (ℓ̂2 − ℓ̂2z − ℓ̂z)|Λ, ℓ⟩ = ℓ̂− ℓ̂+ |Λ, ℓ⟩ = 0, т. е.Λ = ℓ(ℓ + 1).Теперь мы перейдем к обычно используемым обозначениям – заменим символ Λв |Λ, m⟩ на ℓ, т.
е. будем писать |ℓ, m⟩ взамен |Λ, m⟩:2ℓ̂ |ℓ, m⟩ = ℓ(ℓ + 1)|ℓ, m⟩;ℓ̂z |ℓ, m⟩ = m|ℓ, m⟩.(8.14)В силу (8.13), (ℓ̂−) k |ℓ, ℓ⟩ ∝ |ℓ, ℓ − k⟩. Увеличивая k, мы придем к наименьшему собственному значению ℓ̂z , равному −ℓ. Поэтому2ℓ – целое число.(8.15)Полное же число состояний с различными ℓz при фиксированном значении ℓ есть,очевидно, 2ℓ + 1.Из (8.14) видно, что даже в состоянии с наибольшим значением проекции момента на ось z, при m = ℓ, квадрат длины вектора момента больше ℓ2z , т.
е. ⟨ℓ2x ⟩, ⟨ℓ2y ⟩ ̸= 0.В состоянии |ℓ, m⟩ средние значения проекций момента на оси x и y – нули, т. е.,например, ℓ2x = ∆ℓ2x . Из симметрии задачи ясно, что ∆ℓx = ∆ℓy . Поэтому равенство ⟨ℓ2x ⟩ + ⟨ℓ2y ⟩ + ⟨ℓ2z ⟩ = ℓ(ℓ + 1) для состояния |ℓ, ℓ⟩ означает, что ⟨ℓ2x ⟩ = ℓ/2,и произведение ∆ℓx ∆ℓy тоже равно ℓ/2. Это нетрудно понять с помощью соотношения неопределённостей (8.7).
Иными словами, в состоянии |ℓ, ℓ⟩ реализуется минимально допустимый соотношением неопределённостей разброс проекций моментана оси x и y.• Чётность собственных состояний моментаПри отражении координат компоненты радиуса-вектора и импульса меняют знак.Такие векторы называют полярными (или просто векторами). Полярным векторомявляется, например, и вектор электрического поля E.В то же время, согласно определению (8.1), компоненты вектора момента импульса при отражении не меняют знак:[P, Li ] = 0 .(8.16)Поэтому существуют общие собственные состояния оператора пространственногоотражения P̂ и операторов ℓ̂2 и ℓ̂z .
Именно они были найдены выше. Иными словами, состояния |ℓ, m⟩ имеют определённую чётность; состояния |ℓ, m⟩, различающиеся лишь проекцией m момента на ось z, имеют одинаковую чётность.(Заметим, что векторы состояний |ℓ, m⟩ реализуют базис 2ℓ + 1-мерного представления группы вращений.)Векторы, координаты которых не меняются при отражении, называют аксиальными (или псевдовекторами). Помимо момента импульса, аксиальным вектором является также и вектор магнитного поля B.В гамильтониан (скаляр в трёхмерном галилеевом мире) могут входить в качестве слагаемых скалярные произведения двух полярных векторов, например (pA),или двух аксиальных векторов, например (LB), но не может входить скалярное произведение полярного и аксиального векторов (это псевдоскаляр, который меняетзнак при отражении).Глава 8. Момент импульса148• Матричные элементы ℓ± , ℓx , ℓy .
Усреднение (8.12) по состояниям |ℓ, m⟩с учётом соотношения (8.13) даёт цепочку равенств:2⟨ℓ, m|ℓ̂ |ℓ, m⟩ ≡ ℓ(ℓ + 1) =2= ⟨ℓ, m|ℓ̂− ℓ̂+ + ℓ̂z + ℓ̂z |ℓ, m⟩ = ⟨ℓ, m|ℓ̂− ℓ̂+ |ℓ, m⟩+m+m2 == ⟨ℓ, m|ℓ̂− |ℓ, m + 1⟩⟨ℓ, m + 1|ℓ̂+ |ℓ, m⟩ + m2 + m ⇒⇒ |⟨ℓ, m + 1|ℓ̂+ |ℓ, m⟩|2 = ℓ2 + ℓ − m2 − m.Если ещё потребовать, чтобы матричные элементы были положительными числами, то отсюда получается√⟨ℓ, m + 1|ℓ̂+ |ℓ, m⟩ = (ℓ − m) (ℓ + m + 1) ⇒(8.17а)√⇒ ℓ̂+ |ℓ, m⟩ = (ℓ − m) (ℓ + m + 1)|ℓ, m + 1⟩и эрмитово сопряжённое равенство (со сдвигом m на 1)√⟨ℓ, m − 1|ℓ̂− |ℓ, m⟩ = (ℓ + m) (ℓ − m + 1).(8.17б)Теперь матричные элементы ℓ̂x и ℓ̂y определяются так же, как матричные элементыоператоров x̂ и p̂ для осциллятора, с помощью соотношений ℓ̂x = (ℓ̂+ + ℓ̂−) /2,ℓ̂y = (ℓ̂+ − ℓ̂−) / (2i).• Некоторые проекционные операторы.
Рассмотрим действие оператора∏ ℓ̂z − mP̂ℓz =m =на состояния с заданным полным моментом ℓ (произведение′m′ ̸=m m − mберётся по всем возможным значениям m′ проекции момента на ось z, кроме m.Действие этого оператора на любую волновую функцию, вырезает из неё толькокомпоненты, для которых ℓz = m. Кроме того, нетрудно понять, что P̂ℓ2z =m = P̂ℓz =m ,т. е. это – проекционный оператор. Переход к проектированию на любую другую осьотвечает замене ℓ̂z → (ℓ̂n), где n – единичный вектор, направленный вдоль этой оси.В итоге оператор, вырезающий из волновой функции состояния с проекцией моментана ось n, равной m, и вероятность w найти частицу с этой проекцией, равныP̂ℓn =m =∏ (ℓ̂n) − m,m′ − m′2w = P̂ℓn =m |ψ⟩ ≡ ⟨ψ|P̂ℓn =m |ψ⟩ .(8.18)m ̸=mПолезно записать также почти очевидное соотношение∏[(ℓ̂n) − m] = 0,(8.19)mгде произведение берётся по всем возможным значениям проекции момента на любую ось m (мы просто добавили в наш проекционный оператор множитель, «убивающий» проекцию m).8.2.
Состояния с моментом ℓ = 1§ 8.2.149Состояния с моментом ℓ = 1Рассмотрим для примера состояния с моментом импульса ℓ = 1 в ℓz -представлении.Будем изображать базисные состояния этого представления в виде столбцов, опуская в обозначении волнового вектора обозначение ℓ = 1 100|m = 1⟩ ≡ 0, |m = 0⟩ ≡ 1, |m = −1⟩ ≡ 0.(8.20)001Произвольное состояние – суперпозиция этих базисных. Сопряжённые векторы состояний изображаются соответствующими строками.Рассматривая соотношения (8.9), (8.17) как выражения для элементов матрицоператоров ℓ̂i в базисе (8.20), запишем теперь выражения для этих операторовв матричной форме (наподобие представлений операторов координат и импульсадля осциллятора (4.14)):0 1 00 −i 01 0 011ℓ̂x = √ 1 0 1 , ℓ̂y = √ i 0 −i , ℓ̂z = 0 0 0 .(8.21)2 0 1 02 0 i 00 0 −1Этот набор матриц можно рассматривать как базис трёхмерного представлениягруппы вращений в пространстве матриц.Полученные выражения удобно использовать для описания вращения на конечный угол вокруг какой-нибудь оси n.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
