1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Отметим, чтона решениях Ynd1 и Yn c чётным n мы имеем qa = 0, а на решениях Ynd2 и Ync нечётным n мы имеем qa = ±π.Графическое решение этих уравнений показывает, что последовательность решений, а стало быть разрешённых√(Р) и запрещённых (З) зон при возрастании энергииот нуля (напомним, что Y = a 2mE/~2) выглядит следующим образом:Y = Yí ↔ Y1d1Ç1↔πÐ2↔ Y1d2Ç2↔ 2πÐ3↔ Y2d1Ç3↔ 3πÐ4↔ Y2d2Ç4......(7.28а)(Значок снизу указывает номер запрещённой или разрешённой зоны, первая разрешённая зона расположена при E < 0, для k0 a < 4 нижняя граница первой запрещённой зоны Yí расположена при отрицательных энергиях, а при k0 a > 4 определяется наименьшей величиной Y d2). Иными словами, при положительных энергияхразрешённые зоны располагаются в следующих границах по величине Y = ka:Ð2 : ( Y1d1 , π), Ð3 : (Y1d2 ,2π ),Ð4 : ( Y2d1 , 3π), Ð5 : (Y1d2 ,4π ), ...(7.28б)7.2.
Движение в периодическом поле125В рамку заключены те значения Y , для которых q = 0.Таким образом, зоны, для которых квазиимпульс обращается в нуль на дне зоны(эффективная масса положительна) чередуются с зонами, для которых квазиимпульсобращается в нуль на «потолке» зоны (эффективная масса отрицательна).Решение уравнений (7.27) при больших энергиях (при больших n) даёт по аналогии с записью (7.28б) следующие приближённые выражения для границ запрещённых зон:()(g )gÇ2k+1 = 2πk, 2πk+ 2πk , Ç2k+2 = π (2k + 1) − π (2k + 1) , π (2k + 1) .
(7.28в)Таким образом, с ростом энергии запрещённые зоны становятся всё уже (по переменной k), а разрешённые зоны заполняют почти всю полупрямую Y . Однаков шкале энергий ширины запрещённых зон ∆En становятся не зависящими от энергии, ∆En ∼ ~2 g/ (ma2) (ширины разрешённых зон растут с энергией). Последнееутверждение, по-видимому, справедливо для любой периодической решётки, в частности оно справедливо для периодической решётки V = V0 sin(2πx/a) (см. [2] , [11]).В реальных системах нарушения периодичности, вызванные примесями и (или)конечностью решётки, приводят к исчезновению запрещённых зон при достаточновысоких энергиях электрона.♢ Эффективные массы.
Чтобы вычислить эффективную массу в каждой зоне,достаточно разложить обе стороны уравнения (7.26) по малым отклонениям от границы зоны. При этом отклонение величины X от границы√ зоны выражается черезэнергию на границе зоны Eb и граничное значение Yb = a 2mEb /~2 простым соотношением:∆E∆Yb =Yb .2EbИз (7.26) для малых отклонений квазиимпульса от нуля получается соотношение[]q 2 a2gg−= ∆Yb − sin Yb − 2 sin Yb +cos Yb .2YbYbОпределение (7.18) позволяет получить теперь[()]~2 Ybggm∗ =1+sinY−cosY.bb2Eb a2YbYb2(7.29а)Используя (7.27), (7.28), упростим это уравнение.Для нечётной по порядку снизу разрешённой зоны значение q = 0 отвечает нижнему краю зоны, для которого Yb = Xkd1 (первое уравнение в рамке (7.27)). Подстав2tляя в (7.29а) решение указанного уравнения [с учётом соотношений sin z =,1 + t21 − t2cos z =, где t = tg(z/2)] обнаруживаем, что в этой зоне эффективная масса1 + t2положительна:()2g~2 g∗1+ 2m =.(7.29б)2Eb a2Yb + g 2Глава 7. Периодическое поле126Для высоко лежащих зон скобка обращается в 1, эффективная масса уменьшаетсякак 1/Eb .Для чётной по порядку снизу зоны значение q = 0 отвечает верхнему краю зоны,для которого Yb = 2πn.
При этом эффективная масса отрицательна и описываетсяпростым соотношением~2 gm2 Gam∗ = −≡− 2.(7.29в)22Eb a~ (πn) 2С ростом энергии величина эффективной массы уменьшается как 1/Eb .7.2.5. Слабое периодическое полеРассмотрим ещё случай, когда характерная энергия периодического возмущенияV1 мала по сравнению с характерной энергией локализации электрона на периодеV1(π~/a) 2решётки a, т. е. ε =.
В этом случае возмущение можно≪ 1, Ta =Ta2mсчитать слабым, и применима теория возмущений. Мы разберем простейший случайпотенциала V = 2V1 cos(2bx) при b = π /a.Невозмущённые волновые функции – это плоские волны e ikx для состоянийс энергией E(k) = ~2 k2 /2m. Согласно формулам теории возмущений (5.9), перваяпоправка к энергии под действием нашего возмущения обращается в ноль, и энергиисостояний меняются лишь во втором порядке:E(k) → Ẽ (k) = E(k) +V12V12+.E(k) − E(k − 2b)E(k) − E(k + 2b)Но при k ≈ ±b один из знаменателей становится малым.
В этой области импульсовсистема близка к вырождению, и взамен предшествующего вычисления следуетиспользовать подход, разработанный для пары близко расположенных (резонирующих) уровней |k⟩ и |k − 2b⟩ при k ≈ b (или |k⟩ и |k + 2b⟩ при k ≈ −b) (см.
разд. 5.4).Воспользовавшись (5.19), при k ≈ b получим взамен E(k) и E(k − 2b) пару уровней:√E(k) +E(k−2b) ± (E(k) −E(k−2b)) 2 +4V12Ẽ± (k) =.2При k = b энергия Ẽ+ (k) имеет минимум, а энергия Ẽ− (k) – максимум,Ẽ+ (b) = E(b) + |V1 |, Ẽ− (b) = E(b) − |V1 |. В итоге значения энергии от Ẽ− (0)до Ẽ− (b) образуют разрешённую зону, а от Ẽ− (b) до Ẽ+ (b) – запрещённую зонушириной 2|V1 |.Получающаяся при этой диагонализации волновая функция ψ−(k=b) (x) пропорциональна e ibx − e −ibx ∝ sin(bx). Следовательно, при сдвиге на период решёткиволновая функция меняет знак, ψ− (x + a) = −ψ− (x), т.
е. λT = −1. В силу (7.2)это значение k отвечает значению квазиимпульса q = b = ±π /a – верхнему краюразрешённой зоны.♢ Итак, в случае слабого поля квазиимпульс ~q почти не отличается от импульса~k. Зависимость энергии от квазиимпульса (закон дисперсии) лишь слабо отличается от этой зависимости в случае свободного движения, Ẽ (q) = (~q) 2 / (2m) + cε2 V17.2. Движение в периодическом поле127(c ∼ 1) до тех пор пока квазиимпульс не приближается к границам области периодичности квазиимпульса q = ± b. На этих границах закон дисперсии терпит разрыв.В их окрестности зависимость энергии от квазиимпульса ниже и выше области разрыва по энергии имеет вид функций E− (q) и E+ (q), определённых выше.7.2.6. Качественная картинаВозникновение зонной структуры связано с двумя механизмами.• При отрицательной энергии наиболее важный механизм образования зон –обобществление состояний множества одинаковых ям, составляющих решётку(это можно наблюдать при компьютерном моделировании). Рассмотрим сначалауединённую яму, отвечающую одной ячейке решётки.
Пусть в ней существуют уровни энергии (сверху вниз) −E1 , −E2 ..., −Ek (в реальных кристаллах это электронныеуровни энергии в ионах, в типичном случае энергия E1 – порядка 1 эВ, энергии E2 , E3и последующие составляют десятки и сотни электронвольт). Если поместить рядом,на расстоянии a, ещё одну точно такую же яму, то из-за туннелирования между нимикаждый уровень расщепится на два, как это обсуждалось, например, в разд. 2.6.3,§ 6.8. Величина расщепления ∆Ek связана с коэффициентом туннелированиямежду ямами Dk соотношением∫ √2m|Ek −V | dx/~)∆Ek ∼ Dk |Ek |, Dk ≈ e (−2,(7.30)где интеграл берется по области между точками поворота соседних ям (. a).
Состояния, отвечающие этим уровням, не локализованы вблизи одной из ям, а распределены между ямами (для двух ям одно из состояний симметрично, а другоеантисимметрично по переходу между ямами).При добавлении третьей, четвертой, ... таких же ям полное число уровней сохраняется, так что каждый из «родительских» уровней расщепляется на 3, 4, ...
уровняв пределах того же интервала энергий ∼ ∆Ek , т. е. появляются разрешённые энергетические зоны. Собственные состояния, отвечающие каждому из этих значенийэнергии, распределены по всем ямам. В решётке из N элементарных ячеек каждаязона содержит N уровней.При оценке ширины зоны (7.30) полезно использовать грубое понимание структуры атома, доставляемое изучением атома водорода, § 9.3.Для верхней зоны в области отрицательных энергий расстояние между точками поворота не очень велико. Действительно, «родительские» состояния уединённых электронов отвечают наибольшему значению квантового числа n, а поле ядраэкранируется остальными электронами, так что эффективный заряд ядра в оценках(9.23) Z = 1.
Поэтому коэффициент туннелирования не слишком мал, и верхние изразрешённых зон при E < 0 – относительно широкие.Для более глубоких зон «родительские» состояния уединённых электронов отвечают меньшим значениям квантового числа n, чем для верхнего уровня, а эффективный заряд ядра больше 1 (меньше электронов участвует в экранировании).Поэтому расстояние между точками поворота приближается к максимально возможному значению – расстоянию между ионами (параметру решётки) a. Для этих уровней увеличивается по величине и второй множитель под интегралом коэффициента128Глава 7.
Периодическое полетуннелирования. В большей части классически запрещённой области, определяющейкоэффициент туннелирования,|Ek | ≫ |V |, поэтому, делая оценки, можно принимать√Dk ≈ exp (−2a 2m|Ek |/~). В итоге коэффициент туннелирования Dk становитсяочень малым. В частности , для Al и Cu объём одного грамм-атома составляет примерно 10 см3 . Поэтому среднее межатомное расстояние в таком кристаллесоставля√ет примерно 2, 5·10−8 см .
Для энергии Ek ≈ −10 эВ величина ~/ 2m|E| ≈ 0, 6·10−8см . Поэтому для такой энергии уровня Dk ≈ e −8 ≈ 0, 0003, что даёт очень малуюширину зоны ∆Ek ≈ 0, 003 эВ . При переходе к более глубокому уровню с энергией−100 эВ ширина зоны составит ничтожно малую величину ∆E ∼ 10−9 эВ . Итак,набор разрешённых энергий глубоко расположенных зон практически не отличаетсяот N -кратно тиражированного набора энергий уровней изолированных ионов.В реальном кристалле периодичность решётки чуть-чуть нарушена тепловымиколебаниями (существенную роль могут играть и дислокации и примеси).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
