1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 28
Текст из файла (страница 28)
2.6.3.Пусть поле U(x) представляет собой две очень немного различающиеся потенциальные ямы A и B, разделённые не очень высоким барьером, рис. 6.6. Если бы барьербыл непроницаем (бесконечно высок), то существовали бы состояния ψ0A (x) и ψ0B (x)с энергиями E0A ≈ E0B , отвечающие движению частицы в одной из ям.6.8. Двойная яма111U(x)IIIIIIa1IVVa2b1b2xEBAРис. 6.6. Двойная ямаДля одинаковых ям A и B было бы E0A = E0B ≡ E0 , ψ0A (x) = ψ0B (−x) и b2 = −a1a2 = −b1 . В таком случае существование переходов через барьер приводит к расщеплению каждого из этих состояний на два (аналог – биения в системе двух связанных одинаковых маятников).
В этих состояниях частица живет одинаково долгов каждой из ям. Что же происходит, когда ямы A и B немного различаются?Рассмотрим эту задачу в полной аналогии с предыдущими, используя правиласшивки (6.13). Естественные обозначения: слева от точки поворота a1 расположенаобласть I, между точками поворота a1 и b1 – область II, между точками поворотаb1 и a2 – область III, между точками поворота a2 и b2 – область IV, правее точкиповорота b2 – область V. Помимо этого, обозначим текущие значения показателейквазиклассических экспонент ϕi , ti и величины, удобные для описания изменениянаправления отсчёта в каждой из областей с левого края на правый:ϕ1ℓ =∫xk(x)dx +a1ϕ2ℓ =∫xk(x)dx +a2π,4ϕ1r =tℓ =D = exp −2ϕ2r =∫b2x∫xκ (x)dx ,b1∫a2b1k(x)dx +xπ,4(∫b1κ (x)dxπ,4αA =,k(x)dx +a1π,2∫b2ππ, αB = k(x)dx + ;42a2a2∫tr = κ (x)dx ,k(x)dx +x)∫b1G(x) = exp(∫x)κ (x)dx.b2Построим теперь выражения для волновой функции в каждой из областей, стартуя с области I, где – в силу требования нормируемости – волновая функция исчезает при x → −∞.Глава 6.
Квазиклассический случай112∫a1−A(I) : √ e x2 κψ=κ (x)dx⇒AAA(II) : ⇒ √ sin ϕ1ℓ = √ sin(αA − ϕ1r) = √ (sin αA cos ϕ1r − cos αA sin ϕ1r) ⇒kkk()√()A1A1D−t2t1−t1t2√ sin αA e(III) : ⇒ √sin αA e − cos αA e=√−cos αA e⇒22κκD][√sin αADAcos αA cos ϕ2r =sin ϕ2ℓ −(IV) : ⇒ √ 2 √2kD][√Asin αAD√ 2 √cos αA cos(αB − ϕ2r) =sin(αB − ϕ2r) −2kD[(4 sin αA sin αB −D cos αA cos αB) cos ϕ2 − (4 sin αA cos αB +D cos αA sin αB) sin ϕ2 ]√A⇒2kD[]A4 sin αA cos αB +D cos αA sin αB(4 sin αA sin αB −D cos αA cos αB) G(x) −.(V) : ⇒ √2G(x)κЗначение энергии состояния определяется из требования обращения в нуль коэффициента при растущей вправо экспоненте G(x),4 sin αA sin αB − D cos αA cos αB = 0 .(6.30)Мы ищем значения энергии собственных состояний двойной ямы E, близкие к энергии состояния в уединённой яме E0 .• Рассмотрим сначала случай симметричной ямы E0л = E0п ≡ E0 .
В этом случаеαA = αB = α и E = E0 + ∆, где ∆ – малая добавка. Разлагая подынтегральноевыражение в величине α по малой добавке ∆ с помощью (6.9), имеемα = α0 +T∆.2~Здесь α0 – значение величины α при E = E0 , а T – период колебаний частицыв уединённой яме, например, левой. При этом согласно правилу квантования (6.7)sin α0 = 0, cos α ≈ cos α0 ≈ ±1. Таким образом, мы получаем уравнение(T∆2~)2=√ ~D⇒ ∆ = ±∆s , где ∆s = D .4T(6.31)√Итак, уровень расщепился на два, и расщепление энергий ∆s в D раз меньшерасстояния между уровнями уединённой ямы.• Небольшое отклонение от симметрии. Рассмотрим теперь случай небольшого отклонения от симметрии, когда уединённые ямы близки по форме друг к другу,но их энергии отличаются друг от друга меньше, чем расстояние между уровнями6.8.
Двойная яма113внутри каждой из ям ~/T . (Мы пренебрегаем различием периодов классическогодвижения в каждой из ям TA и TB , полагая TA ≈ TB = T .)E0A = E0 − δ ,E0B = E0 + δ ,δ ≪ ~/T .(6.32)Обозначая через ∆ отклонение истинной энергии от усреднённой энергии уединённых ям E0 и через ∆S величину расщепления для симметричной ямы (6.31), найдемиз (6.30) точно так же, как и выше√(∆ − δ)T (∆ + δ)TD·=⇒ ∆ = ± δ 2 + ∆2S .(6.33)2~2~4Итак, расщепление термов близко к тому, что было в симметричном случае, если расщепление исходных термов δ меньше того, которое даётся туннелированием,δ < ∆S .
Наоборот, если ∆S < δ, туннелирование почти не меняет уровней.Сравним вероятности пребывания частицы в ямах A и B для полученных состояний. В рамках нашего приближения значения sin αA и sin αB могут быть оченьразными (хотя и малыми), а вот cos αA ≈ cos αB ≈ 1. Идея вычисления та же, чтои при получении нормировки для квазиклассической волновой функции (6.8).Использование для волновой функции в области II первого из выписанных выше(6.30) выражений даёт вероятность пребывание в яме A, равную wA = A2 TA (~/4m).Вероятность пребывание в яме B вычисляется из первого выражения для областиIV , что даёт wB = A2 TB (~/4m) [(4/D) sin2 αA + (D/4) cos2 αA ] .
Используя (6.30) иотбрасывая второе слагаемое в квадратных скобках в силу условия D ≪ 1, найдёмwB /wA = (TB /TA) (sin αA / sin αB) ≈ sin αA / sin αB .(6.34)Из (6.33) легко получается, чтоПри ∆ > 0sin αA∆−δ=,sin αB∆+δпри ∆ < 0sin αA|∆| + δ=.sin αB|∆| − δ(6.35)Теперь можно дать описание общей картины.▽ При δ ≪ ∆S расщепление исходных термов δ несущественно по сравнениюс эффектом туннелирования, смешивающего состояния.
В этом случае на каждомиз состояний sin αA ≈ sin αB , т. е. вероятности пребывания в ямах A и B одинаковы,как и в случае симметричной ямы. Сравнение второй формы волновой функции в области II и её первой формы в области IV показывает, что для энергии E = E0 − ∆Sволновая функция в яме B такова же, как и в яме A, ψ0B (x) = ψ0A (−x) (в целомсимметричная функция), а для другого значения энергии E = E0 + ∆S волноваяфункция в яме B имеет противоположный знак, ψ0B (x) = −ψ0A (−x) (в целом антисимметричная функция). Нетрудно увидеть теперь, что если частица в начальныймомент находится в правой яме (ψ (x, t = 0) = ψ0п (x)), то через время πτ /2 она окажется в левой яме, т. е.
волновая функция осциллирует,ψ (x, t) = e−iE0 t/~ [ψ0ï (x) cos(t/τ) +iψ0ï (−x) sin(t/τ)] ,√где частота биений τ = 2~/∆s = 2T/ D.Глава 6. Квазиклассический случай114▽ При δ ≫ ∆S состояния с высокой точностью остаются локализованнымисправа или слева, туннелирование почти не меняет состояний, биений не возникает.Действительно, рассмотрим отношение вероятностей wB /wA для решения с ∆ > 0.Подстановка в (6.34) соотношений (6.35) и (6.33) даёт wB /wA ≈ (∆s /2δ) 2 ≪ 1,т. е. система локализуется в яме B, вероятность найти её в яме A очень мала.
Точно так же для состояния с ∆ < 0 легко получается wB /wA ≈ (2δ /∆s) 2 ≫ 1, т. е.система локализуется в яме A, вероятность найти её в яме B очень мала.Иными словами, если исходные ямы немного различались, то при большом расстоянии между ними – когда коэффициент туннелирования очень мал – возможные состояния локализованы в этих ямах. По мере сближения ям – при увеличении коэффициента туннелирования – происходит обобществление состояний, и приD > (T δ /~) 2 мы приходим к симметричным или антисимметричным состояниям, илик биениям между двумя ямами.§ 6.9.Надбарьерное отражениеЕсли волна с большой энергией (большим волновым числом) проходит над небольшой по величине неоднородностью потенциала, она продолжает двигаться впередпочти без искажений, но возникает и отражённая волна небольшой амплитуды.Это явление называют надбарьерным отражением.
Это явление имеет место дляволн любой природы, но мы ограничимся изучением квантовой задачи.Заранее ясно, что коэффициент надбарьерного отражения – малая величина.Итак, рассмотрим задачу о распространении волны в случае, когда E > U(x) привсех x. Для её решения полезно перейти в плоскость комплексной переменной x.Если потенциал U(x) – аналитическая функция x, отличная от константы, то в силудействительности U(x) при действительных x уравнение E = U(x), не имея решенийна действительной оси, имеет только пары комплексно сопряжённых решений, отEвечающих комплексным точкам поворота xi±= αi ± iβi .
Если энергия E оченьвелика, то уравнение для точки поворота имеет решения только вблизи особенностейVпотенциала (решений уравнения V(x) = ∞) с координатами xi±= ai ±ibi . При оченьVEбольших энергиях положения особенностей xi± и xi± очень близки друг к другу.Мы разберем здесь лишь случай умеренно больших энергий, когда расстояниеVEмежду точками xi±и xi±не очень мало.Рассмотрим для начала случай, когда в верхней полуплоскости есть лишь одEна комплексная точка поворота x0+= α0 + iβ0 (и одна в нижней полуплоскостиEx0− = α0 − iβ0).
В этом случае разрез в комплексной плоскости удобно направитьот одной комплексной точки поворота к другой (по вертикали вниз). Структура линий Стокса вблизи каждой из точек поворота сходна с той, что обсуждалась выше,но на больших расстояниях от этих точек эта структура усложняется из-за наличияVособенностей xi±. Помимо этого, линии Стокса искривляются так, что линии 0Аи 3C асимптотически приближаются к действительной оси (сверху для точки повоEрота x0 и снизу для точки поворота x0−).()∫x1Запишем прошедшую волну ψпр = √ exp i k(x)dx .
Здесь x1 – некотоkx16.10. Задачи115рая точка на действительной оси. Проследим, как меняется это решение при обходе против часовой стрелки в верхней полуплоскости по контуру Ñ, огибающемуEVсверху точку x0+и проходящему ниже точки xi±так, что на этом контуре погрешEность квазиклассического приближения достаточно мала. Обход точки x0+приводитiπк изменению знака показателя экспоненты (k → ke ), т. е. даёт отражённую волну∫xψотр∫1 −i k(x)dx+i C= √ e x1kk(x)dx, что отвечает коэффициенту отражения∫−2Im kdx2CR = ψотр /ψпр = e.Чтобы вычислить контурный интеграл в показателе, продолжим контур по действительной оси до точки xℓ = α − ε, затем направим его вверх, обогнем сверху точку ветвления x0 = α0 + iβ0 по окружности малого радиуса ε, спустимся надействительную ось в точке xr = α + ε и продолжим по действительной оси доначала нашей дуги. Получившийся контур не содержит внутри себя особых точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
