1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

На одной из асимптотик, например, x → −∞ асимптотика волновой функции точно известна, она или убывает(2.18), или обращается в уходящую или приходящую плоскую волну (2.33). Будем говорить для определённости о первом случае. При увеличении x мы приходим к первой точке поворота. Здесь первое правило (6.13) даёт волновую функциюв классически достижимой области. При подходе ко второй точке поворота эта функция приобретает вид суперпозиции решений вида sin α и ортогонального ему cos α∫b(где α = k(x)dx + π /4). Вклад, пропорциональный sin α, продолжается за точкуxповорота в падающее с ростом x решение по первому правилу (6.13). Вклад, пропорциональный cos α, продолжается за точку поворота в растущее с ростом x решениепо второму правилу (6.13).

На первый взгляд, коэффициент при растущей экспоненте получен правильно, но вот за коэффициент при падающей экспоненте ручатьсянельзя. В действительности, коль скоро мы правильно нашли коэффициент при растущей экспоненте, коэффициент при падающей экспоненте жестко фиксируется требованием сохранения Вронскиана для пары независимых ортогональных друг другурешений линейного дифференциального уравнения второго порядка. Поэтому теперьоба вклада можно довести до следующей точки поворота и т. д. до выхода в областьx → −∞, где решение фиксируется с помощью одного из граничных условий (2.18)или (2.33).Если в небольшой окрестности точки поворота, потенциал меняется оченьбыстро, а вне этой окрестности потенциал – достаточно гладкая функция, то физическую реальность лучше описывает приближение скачкообразно меняющегосяпотенциала, для которого условия сшивки имеют вид (2.15), стр.

43.Если классически достижимая область ограничена бесконечновысокой стенкой при x = a (это имеет место при описании радиального движения в трёхмерном случае, когда a = 0), то при ψ (x = a) = 0, а квазиклассическоеприближение справедливо вплоть до стенки, т.

е. ψ (x < a) = 0, и x∫Cψ (x > a) = √ sin  pdx  .(6.14)ka6.4. Метод комплексной плоскости для получения правил сшивки103§ 6.4. Метод комплексной плоскости для получения правилсшивкиРассмотрим волновые функции в плоскости комплексной переменной x.♢ Игрушечный пример. Рассмотрим уравнение w(x) ′′ − g 2 w(x) = 0 при g > 0и его решение w = a e gx + b e − gx . В правой полуплоскости при Re(x) ≫ 1 асимптотика этого решения имеет вид w ≈ a e gx , в левой полуплоскости при −Re(x) ≫ 1асимптотика этого решения имеет совершенно другой вид w ≈ b e − gx . Находясьв правой полуплоскости, нельзя угадать, как выглядит решение в левой полуплоскости, и наоборот. Только на линии Стокса Re x = 0 растущая и падающая экспонентысравниваются друг с другом.

Именно здесь работают оба асимптотических слагаемых, а при переходе через эти линии (за пределами узких секторов) вид асимптотикименяется скачком, хотя на самом деле мы имеем дело с единой функцией, котораяпросто по-разному выглядит в разных областях.• Ниже мы будем различать решения уравнения Шредингера – аналитическиефункции координаты в рассматриваемой области и их квазиклассические асимптотики (6.5), для которых точки поворота – точки ветвления (A. Zwaan, 1929). Во всейобласти комплексной переменной x, удовлетворяющей условиям квазиклассичности,решение можно записать в виде суперпозиции асимптотик (6.5), но коэффициентыэтой суперпозиции могут быть неодинаковыми в разных частях этой области.Запишем вблизи точки поворота x = a приближение U(x) = E +F(x − a) (6.12).Это приближение не меняет свойств аналитичности потенциала, а стало быть и решений уравнения.

Обозначая z = (8mF/9~2) 1/3 (a − x), мы преобразуем уравнениеШредингера к виду d 2 ψ /dz 2 + (9/4)zψ = 0. Выбирая в (6.5) x0 = a, получаемвыражения для квазиклассических асимптотик в видеψ±k = z −1/4 exp(±iz 3/2) .(6.15)−iπ /4(При z → −z асимптотики ψ±k превращаются в eψ±κ .)Рассмотрим решения уравнения Шредингера в комплексной плоскости переменной z. При z = 0 наши асимптотики (не точные решения уравнения Шредингера!)имеют корневую точку ветвления. Поэтому в описании появляется разрез, выходящий из точки z = 0. Направим его для определённости в сторону другой точкиповорота, в нашем случае – в положительном направлении оси z.Мы изучим поведение решений в разрезанной комплексной плоскости переменной z при таких значениях |z|, что здесь справедливо и приближение линейности потенциала (6.12) и квазиклассическое приближение.

Примем, чтофизическая волновая функция (для реальных z) отвечает предельному переходу на разрез из верхней полуплоскости z. Обозначим z = ρe iϕ , где уголϕ ∈ [0, 2π) отсчитывается от положительного направления z против часовой стрелки. При этом базисные асимптотики (6.15) имеют видψ±k = e −iϕ/4 ρ−1/4 exp(±iρ3/2 e 3iϕ/2) .(6.16)В частности, на верхнем берегу разреза z → ρ, а на нижнем берегу z → ρ e 2iπ ,и для решений на этих берегах мы имеем (смысл значков "в" и "н" очевиден)вψ±k= ρ−1/4 e ±iρ3/2,нψ±k= e −iπ/2 ρ−1/4 e ∓iρ3/2.(6.17)104Глава 6.

Квазиклассический случай♢ Асимптотика решения, удовлетворяющего этим граничным условиям, имеет видψ = C+ ψ+k + C− ψ−k .(6.18)При этом коэффициенты C± могут различаться в разных областях z-плоскости.Например, в соответствии с (6.16) при переходе через разрезнψ в = C+ ψ+k + C− ψ−k ⇒ ψ±k= −i(C− ψ+k + C+ ψ−k) .(6.19)▽ Но что означает сумма (6.18)? Здесь полезно повторить другими словами сказанное на стр. 101. На прямых Im z 3/2 = 0 оба слагаемых суммы имеют одинаковыйпорядок величины, и мы имеем дело с настоящей суперпозицией. Помимо этих прямых, во всей остальной плоскости Im z 3/2 ̸= 0, при этом одна из функций ψ+k илиψ−k экспоненциально велика, а другая – экспоненциально мала, малый член обычно меньше (степенных) поправок к большому члену, отброшенных при полученииасимптотики.

Говорить в таком случае о поправке, даваемой этим малым асимптотическим членом, является превышением точности, он «тонет» в тени большогослагаемого. Если мы каким-то образом получили значения волновой функции в этойобласти, восстановить по ним вклад малого слагаемого невозможно (если толькобольшое слагаемое по каким-то причинам не обращается в нуль тождественно). Темне менее следить за обоими слагаемыми ψ+k и ψ−k при вычислениях возможно.Действительно, пусть при Im z 3/2 = 0 мы имеем некоторую волновую функцию ψ1с асимптотикой (6.18) с известными коэффициентами C± , удовлетворяющую граничным условиям. Помимо этого, можно определить на том же луче Im z 3/2 = 0ещё и волновую функцию ψ2 , ортогональную к ψ1 .

Определим теперь Вронскиан′′W = ψ2 ψ1 − ψ1 ψ2 . Асимптотика функции ψ2 при Im z 3/2 ̸= 0 определяется по поведению в этой области ψ1 из условия сохранения Вронскиана. Именно такой подходделает осмысленным слежение за обоими независимыми решениями.• Линии Стокса и параметры Стокса. Особую роль играют линии, на которых действительная часть фазы решений (6.16) обращается в нуль, это лучи ϕ = 0(луч 0А), ϕ = 2π /3 (луч 1А) и ϕ = 4π /3 (луч 2А) – см.

рис. 6.2. На этих линиях– сопряжённых линиях Стокса – антистоксовых линиях обе асимптотики ψ+kи ψ−k – одного порядка величины1 . На этом рисунке в каждом секторе указана таиз функций ψ±k , которая не убывает.Напротив, на линиях Стокса обращается в нуль мнимая часть фазы второгосомножителя (6.16), эти линии образуют лучи ϕ = π /3 ϕ = 5π /3 (лучи 1S и 2S соответственно), ϕ = π (луч 3S). Линии Стокса делят пополам области, ограниченныесопряжёнными линиями Стокса.1 Понятиялиний Стокса и параметров Стокса (см. ниже) сохраняют смысл и вдали от точек поворота,где разложение (6.12) не работает, лишь бы работало квазиклассическое приближение.

Заметим, чтонекоторые авторы названия «линии Стокса» и «сопряженные линии Стокса» определяют противоположным образом.6.4. Метод комплексной плоскости для получения правил сшивки105В каждом секторе между двумя сопряжёнными линиями Стокса функция ψ+k или ψ−kлибо возрастает, либо убывает, при переходе через сопряжённую линию Стокса эти ролименяются. На линиях Стокса одна из асимптотик ψ+k или ψ−k растет всего быстрее, а другая из этих асимптотик убывает всего быстрее.Рассмотрим теперь, что происходит с общим решением (6.18) при возрастании ϕ отнуля (луч 0А). При 0 < ϕ < 2π /3 (вплотьРис.

6.2.до луча 1А) функция ψ+k экспоненциальномала, а ψ−k экспоненциально велика. При изменении ϕ отброшенные поправки к ψ−kперестраиваются, и после первой линии Стокса (луч 1S) можно говорить уже, чтов рамках нашего приближения коэффициент при падающей асимптотике изменился(пропорционально коэффициенту при растущей асимптотике C−),1S1AJ]J ψψ+k J −k ψ−k- 0AJ3S Jψ+k J ψ−k ψ−k JJ^2S2A1C+ → C+= C+ + T1 C− ,1C− → C−= C− .(6.20а)С этими коэффициентами наше решение вступает в сектор между сопряжённымилиниями Стокса 1А и 2А.

Здесь уже функция ψ−k экспоненциально мала, а ψ+kэкспоненциально велика так, что при переходе через линию Стокса 3S1211C−→ C−= C−+ T2 C +,121C+→ C+= C+.(6.20б)На сопряжённой линии Стокса 2А растущая и падающая экспоненты опять меняются местами, и при переходе через линию Стокса 2S2232,+ T3 C−= C+→ C+C+232.= C−→ C−C−(6.20в)Числа Ti называют параметрами Стокса.3С коэффициентами C±мы подходим к лучу 0А и должны были бы получить исходное выражение (6.18). Однако мы пришли на нижний берег разреза,нвгде ψ±k= −iψ∓k(6.17) (как и ранее, значки н и в указывают на нижний и верхнийберега разреза соответственно).Собирая все преобразования (6.20), мы получаем на нижнем берегу разрезаψ = [T2 C+ + (1 + T1 T2)C− ] ψ−k ++ [C+ (1 + T2 T3) + (T1 + T3 + T1 T2 T3)C− ] ψ+k .Приравнивая это выражение получающемуся из (6.17) ψ = e −iπ/2 [C+ ψ−k + C− ψ+k ] ,получаемT1 = T2 = T3 = e −iπ/2 = −i .(6.21)• Получение правил сшивки.

Рассмотрим случай, когда решение убывает приz → −∞ (в силу требования нормируемости волновой функции), т. е. асимптотика3/2(на линии Стокса 3S) имеет вид ψ = (−z) −1/4 e −(−z) , где −z = ρ. В предшествуiπ /4ющих обозначениях на линии 3S мы имеем C− = e, C+ = 0.106Глава 6. Квазиклассический случайСовершим далее переход на нижний берег разреза через нижнюю полуплоскостьпеременной z, с последующим переходом на верхний берег разреза с помощью соответствия (6.19).

Вплоть до антистоксовой линии 2А наша функция была убывающей,на этой линии она стала осциллирующей, а затем превратилось в растущую. Послеперехода через линию Стокса 2S в соответствии с предыдущим построением к этойвозрастающей функции добавилась убывающая функция с коэффициентом T3 . Витоге на нижний берег разреза 0А прибыло решение)()(3/23/23/23/2e −iπ/4 ρ−1/4 e −iρ + T3 e iρ≡ ρ−1/4 e −i(ρ +π/4) − e i(ρ +π/4) ≡ x∫(6.22)2iπ≡ −2i ρ−1/4 sin(ρ3/2 + π /4) → − √ sin  k(x)dx +  .4kaИспользуя теперь правило перехода через разрез (6.19), мы получаем, что убывающей в классически недостижимую область асимптотике в области классическогодвижения переходит в решение «синусного типа», т.

Характеристики

Список файлов книги