1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 22
Текст из файла (страница 22)
в виде матрицы∗Vmn =0 ⟨m|V̂ |n⟩0 ≡ Vnm.(5.4)Для удобства и чтобы подчеркнуть малость возмущения V̂ , мы будем писатьниже εV̂ вместо V̂ и вести расчёт так, будто бы ε → 0. На самом деле в конце мыположим ε = 1, сохраняя требование малости за самим возмущением V̂ .Разложим решения уравнения (5.3) |n⟩ по собственным функциям |m⟩0 невозмущённого гамильтониана Ĥ0 , а затем разложим в ряд по ε энергии En и коэффициентыразложения |n⟩ по |m⟩0 :∑012|n⟩ = cnm |m⟩0 , cnm = cnm+ εcnm+ ε2 cnm+ ...,m(0)(1)(2)En = En + εEn + ε2 En + . . .
.(5.5)Тогда уравнение (5.3) примет вид∑012(Ĥ0 + εV̂) (cnm+ εcnm+ ε2 cnm+ . . .)|m⟩0 =m∑ (0)(1)(2)012+ εcnm+ ε2 cnm+ . . .)|m⟩0 .= (En + εEn + ε2 En + . . .) × (cnmmУмножим это уравнение скалярно слева на 0 ⟨k|. С учётом ортонормированностибазиса |n⟩0 , т. e. 0 ⟨k|m⟩0 = δkm , и определения (5.4) мы получим:∑ (0)012(Ek δkm + εVkm) (cnm+ εcnm+ ε2 cnm+ . . .) =m(5.6)(2)(1)(0)012+ εcnk+ ε2 cnk+ . . .).= (En + εEn + ε2 En + . . .) · (cnk5.3. Теория возмущений . Невырожденный случай87Далее приравниваются выражения при одной степени ε. Детали решения различныв зависимости от того, является ли исходная невозмущённая система состояний |n⟩0вырожденной (т.
е. энергии некоторых состояний совпадают) или невырожденной.§ 5.3.Теория возмущений. Невырожденный случай(0)(0)Мы начнём с технически простейшего случая, когда вырождения нет, En ̸= Em .H Нулевое приближение получается из (5.6) при ε → 0. При этом уравнение (5.6)(0)(0)00принимает вид (En − Ek )cnk= 0. Его решение есть cnk= δnk .H Первое приближение получается, если приравнять выражения при первой сте(1)пени ε в (5.6). При k = n остаются два слагаемых и получается En = Vnn .
Приk ̸= n получается уравнениеVkn(0) 1(1)(0)1= (0)= 0 ⇒ cnk, En = Vnn .Vkn + (Ek − En )cnk(5.7)(0)En − Ek1При этом коэффициент cnnне определяется. Обычно его фиксируют условием со1хранения нормы возмущённого вектора состояния, cnn= 0.H Второе приближение получается, если приравнять выражения при второй степени ε в (5.6). При k = n оно даётEn(2) =∑ Vmn Vnm(0)m̸=n(0)En − Em≡∑|Vnm |2m̸=nEn − Em(0)(0).(5.8)В частности, поправка второго порядка к энергии основного состояния всегдаотрицательна.Запишем теперь найденные решения, положив в них ε = 1:cnm = δnm +Vmn(0)En−(0)Em+ ...;(0)En = En + Vnn +∑|Vnm |2(0)m̸=n En(0)− Em+ ...(5.9)В большинстве практически интересных задач этого достаточно.Примеры. Вычислите в первом неисчезающем приближении поправки к энергии√гармонического осциллятора в полях (x0 = ~/mω):( )2( )3( )4xxxx(а) V = a ; (б) V = b; (в) V = A~ω; (г) V = B~ω.x0x0x0x0Случаи (а) и (б) сравните с точными решениями.
Покажите, что в случаях (в) и (г)(â)(2)(1)]EnA2 [En3B=−10(3n2 + 3n + 1) + 1 ; (ã)=(2n2 + 2n + 1).~ω8~ω45.3.1. Производная от энергии по параметруПусть Ĥ = Ĥ (λ) – непрерывная функция параметра λ. ТогдаĤ (λ + ∆λ) ≡ Ĥ0 + V̂ → V̂ = ∆λ∂ Ĥ /∂λ.(5.10)88Глава 5. Вариационный метод . Теория возмущенийПоправка к энергии En1 = Vnn ≡ ⟨n|∆λEn1 = ∆λ(∂En /∂λ), поэтому∂En=∂λ∂ Ĥ|n⟩. С другой стороны, эта величина∂λ ⟩⟨ ∂ Ĥ nn .
∂λ (5.11)5.3.2. Условия применимостиКритерий применимости первых приближений теории возмущений. Чтобытеория возмущений работала хорошо, вектор |n⟩ должен лишь немного отличатьсяот вектора |n⟩0 , и поправки к энергиям уровней должны быть меньше расстояниямежду уровнями, т. е. должно быть0|Vmn | ≪ |Em− En0 |.(5.12)В качестве иллюстрации рассмотрим поправки к уровням энергии осциллятора.В реальных задачах гамильтониан осциллятора, даже с поправками (5.10), являетсялишь приближением, пригодным при не очень больших x. При достаточно больших x взаимодействие исчезает, рост потенциала останавливается. Это означает,в частности, что вывод о равенстве расстояний между уровнями энергий осциллятора справедлив лишь при не очень больших энергиях (небольших n), как этообсуждается на стр.
70.В рамках нашего приближения теория возмущений применима, если малы параметры A и B (5.10). Этого достаточно и для малости поправок нескольких следующихпорядков. Для высоко лежащих уровней – при больших n – поправки становятсянеприемлемо большими. Возникающую в реальной ситуации целостную физическуюкартину предлагается обсудить в задаче 5.4Ряд в целом. Обычно ряды теории возмущений – асимптотические. Это значит,что первые члены ряда хорошо описывают ситуацию, и качество приближения улучшается при учёте поправок следующих порядков, но начиная с некоторого порядкакачество приближения ухудшается, и ряд может даже начать расходиться. Иногдаотличия в полной сумме ряда становятся катастрофическими, и теория возмущенийописывает реальность лишь при некоторых дополнительных предположениях.Яркий пример являет «игрушечный» случай ангармонического осциллятора с кубической нелинейностью (5.10).
При A ≪ 1 кубическое слагаемое лишь слегка деформирует потенциал при небольших x, и теория возмущений для низко лежащихуровней кажется вполне оправданной. Однако (для A > 0) при больших отрицательных x потенциал становится отрицательным. Значит, частица может туннелировать сквозь барьер, и состояния становятся нестабильными (см. § 6.7), системане имеет стационарных уровней энергии (это невозможно увидеть в расчёте теориивозмущений).
Тем не менее, результаты теории возмущений имеют смысл и в этомслучае, если рассматриваются явления в течение долгого, но конечного времени . (2π /ω) · (1/D), где D – коэффициент туннелирования, который при нашихусловиях – очень маленькая величина (см. решение задачи 6.5 h).5.4. Теория возмущений при наличии вырождения89Если учесть обе поправки (5.10) к осцилляторному потенциалу, приняв для определённости A > 0, то полный потенциал может иметь второй минимум при большихотрицательных x, возникает сильно несимметричная двойная яма, и в общем случаечастица с энергией ~ω (n + 1/2) некоторую часть времени проводит в новой «левой яме», и есть ещё новые стационарные состояния, почти не задерживающиесяв основной яме.
Если же ещё окажется, что какие-то уровни обеих ям совпали,между ними возможны биения с очень большим периодом ∼ (2π /ω) · (1/D). Все этиэффекты не обнаруживаются стандартной теорией возмущений.К сожалению, общих рецептов здесь нет. Тем не менее, в большинстве случаевряды теории возмущений дают хорошее описание, пригодное в течение достаточнодолгого времени, иногда с очень высокой точностью.§ 5.4.Теория возмущений при наличии вырожденияВырождение означает, что по крайней мере одному собственному значению En0соответствует s > 1 (ортогональных) собственных векторов. При попытке воспользоваться полученными выше результатами оказывается, что некоторые из знаменателей (5.9) обратятся в нуль.
Это не опасно в случаях, когда возмущение не снимаетвырождения, т. е. если равны нулю и соответствующие матричные элементы в числителях. В общем случае это не так. Надо научиться исключать это деление на ноль.Рассмотрим группу из всех s собственных векторов, отвечающих вырожденномусобственному значению энергии En0 . Для их обозначения введем на время двойную нумерацию |nj⟩, j = 1, ..., s. Эти функции образуют ортонормированный базисв s-мерном подпространстве Cs всего гильбертова пространства состояний. Любойвектор Cs является собственным вектором невозмущённого гамильтониана с одними тем же собственным значением En0 . Это справедливо и для любой линейной комбинации векторов |nj⟩,∑ 0cα j |nj⟩.Ĥ0 |ñα⟩ = En0 |ñα⟩ при |ñα⟩ =jПроблема деления на ноль исчезает в таком базисе |ñα⟩, в котором все недиагональные матричные элементы возмущения обращаются в ноль (базис, в котором матрицавозмущения Vnα,nβ ≡ Vαβ диагональна).
Это замечание сводит нашу задачу к поиску такого базиса.p̂x2 + p̂y2mω 2 (x 2 + y 2)Простой пример даёт плоский осциллятор Ĥ0 =+2m2(разд. 4.1.4). Этот гамильтониан обладает симметрией относительно вращенийв плоскости (x, y). Энергии его уровней – суммы энергий независимых осцилля(0)торов по осям x и y, т. е. En = ~ω (nx + 1/2 + ny + 1/2) ≡ ~ω (n + 1). При этомсобственные векторы |nj⟩ ≡ |nx ⟩|ny ⟩ и n = nx + ny .Состояние с данным значением n вырождено (n + 1)-кратно (это – число способов, которыми данное значение n можно составить из целых чисел nx и ny). Так,собственные векторы состояния с n = 3 – это |i1 ⟩ = |0⟩|3⟩, |i2 ⟩ = |1⟩|2⟩, |i3 ⟩ = 2⟩|1⟩,|i4 ⟩ = |3⟩|0⟩. Они и образуют невозмущённый базис пространства Cs ≡ C4 .Рассмотрим разные возмущения в C4 .90Глава 5.
Вариационный метод . Теория возмущений♢ Возмущение V = b(x 2 + y 2) 2 не нарушает исходной симметрии. Матрица возмущения диагональна и пропорциональна единичной. Недиагональные элементы отсутствуют, проблемы деления на ноль не возникает.♢ Возмущение V = bx 2 нарушает симметрию.
Оно «направлено» вдоль одной изпервоначально выбранных осей. Матрица возмущения диагональна, но не пропорциональна единичной – bx02 /2·diag(7, 5, 3, 1). Недиагональные элементы отсутствуют,проблемы деления на ноль не возникает.♢ Возмущение V = b(x + y) 2 /2 получается из предыдущего при повороте осей на45◦ , поэтому и результат здесь должен совпадать с предыдущим.
Однако при нашемвыборе осей матрица возмущения уже недиагональна. Она имеет вид:√00 82 3√bx02 2 3840√.4 0482 3 √002 38Диагонализация этой матрицы даёт, как и следовало ожидать, те же собственныезначения, что и в предыдущем случае. Новые собственные векторы получаются изстарых вращением осей на 45◦ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
