1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

д. Таким способом получается весь наборуровней осциллятора:εn = (n + 1/2),En = ~ω (n + 1/2);â |n⟩ = dn+1 |n + 1⟩+(n = 0, 1, 2 . . .).(4.9)Итак, оператор â понижает энергию состояния на ~ω, а оператор â+ – повышает,и оператор â+ â имеет собственными значениями целые числа,â+ â|n⟩ = n|n⟩(n = 0, 1, 2 . . .).(4.10)Это служит основой широко используемой интерпретации:• n-е состояние осциллятора содержит n тождественных частиц – «вибронов»с энергией E = ~ω. Оператор â+ – оператор рождения виброна, операторâ – оператор уничтожения виброна, оператор n̂ = â+ â есть оператор числавибронов1 .1 Виброны– «домашнее» название в этой главе. В реальных задачах это кванты звуковых колебаний(фононы), электромагнитных колебаний (фотоны) и т.

п.4.1. Одномерный осциллятор . Операторный метод69Определим теперь числа dn в соотношении между волновыми векторами (4.9),считая эти векторы нормированными (⟨n|n⟩ = 1) и действительными. Прежде всего, вектор, сопряжённый вектору â|n⟩, есть ⟨n|â+ = dn ⟨n − 1|. Таким√образом,⟨n|â+ â|n⟩ = n⟨n|n⟩ = dn2 ⟨n − 1|n − 1⟩. Отсюда следует dn2 = n, т. е. â|n⟩ = n|n − 1⟩.Подобным образом получается и сопряжённое соотношение}√â|n⟩ = n|n−1⟩,1 ( + )n⇒ |n⟩ = √â|0⟩.(4.11)√n!â+ |n⟩ = n+1|n+1⟩• Чётность состояний осциллятора. Заметим, что гамильтониан осцилляторакоммутирует с оператором отражения. Поэтому собственные состояния осциллятораобладают определённой чётностью. Основное состояние |0⟩ чётно, а операторы √â иâ+ меняют знак при отражении, т.

е. нечётны. Поэтому состояние |n⟩ = (â+) n |0⟩/ n!имеет чётность (−1) n ,P̂|n⟩ = (−1) n |n⟩.(4.12)• Энергетическое представление. Найденные состояния |n⟩ образуют базисэнергетического представления для осциллятора (представления чисел заполнения «вибронов»). Запишем теперь некоторые операторы в этом представлении, т. е.в виде матриц, строки и столбцы которых – номера состояний n (ср. (1.19)). Длягамильтониана и операторов â, â+ ответы выписаны в соотношениях (4.9), (4.11),которые принимают вид:1 0 0 0 ··· 0 3 0 0 ··· ~ω  0 0 5 0 ··· Ĥ =,2  0 0 0 7 ··· ..

.. .. .. . ... . . .(4.13)0 1 √00 ···0 00 0 ··· 0 0 1 00 0 ··· 2 √0 · · · √ 0 0 0 0+200···3 ··· â = â = ,.√ 0 0 0 0 03 0 ··· 0 ··· ........ . ... ............... ...♢ Чтобы найти вид операторов координаты и импульса в энергетическом представлении, выразим их через операторы â и â+ (4.3):x0p0x̂ = √ (â + â+), p̂ = √ (â − â+) .(4.14)2i 2После этого получается0 1 √00 ···1 02 √0 · · · √x0 ip002 √03 ···x̂ = √  , p̂ = √2 0 023 0...............0100...−10√√0 − 22 √003......00√− 30...·········.···...(4.15)Глава 4. Гармонический осциллятор70Неопределённости координат и импульсов в собственных состояниях осциллятора. В силу теоремы о вириале средние значения кинетической и потенциальной энергий осциллятора в его собственном состоянии совпадают:⟨p 2 / (2m)⟩n = ⟨mω 2 x 2 /2⟩n = (~ω /2) (n + 1/2) .Отсюда следует ⟨x 2 ⟩n = x02 (n + 1/2), ⟨p 2 ⟩n = p02 (n + 1/2).

Это нетрудно получитьи прямо из определений операторов â или из матричного представления (4.15).Средние значения координаты и импульса в собственных состояниях равны нулю.(Это следует из симметрии гамильтониана и отсутствия вырождения, и это фактически записано в соотношениях (4.15)). Поэтому получившиеся соотношения даютпрямо значения неопределённостей в собственных состояниях√√(4.16)∆x = x0 n + 1/2 , ∆ p = p0 n + 1/2 ⇒ ∆x∆p = ~(2n + 1) /2 .Иными словами, в n-м собственном состоянии осциллятора произведение ∆x∆p в(2n + 1) раз больше наименьшего значения, отвечающего соотношению неопределённостей (1.29). (Возрастание ∆x c ростом n иллюстрирует рис.

4.1.)• Границы применимости. Для реальных физических задач потенциал (4.1)представляет собой приближение, справедливое в некоторой области |x| . a.В простейшем случае при бо́льших x взаимодействие исчезает, U →const. В другихслучаях мы имеем дело с более сложным поведением. Чтобы увидеть влияние этихотличий, рассмотрим пример точно решаемой задачи с потенциалом, который приa ≫ x выглядит как осциллятор, а при x ∼ a «выполаживается»:U = U0 th2 (x/a) .(4.17)Волновые функции и уровни энергии для этой задачи En найдены в [1] (задачак § 23, см.

также [10, 11]). Обозначая√( x )22U0~~ω02ω =,x=,β==,0ma2mωaU0[(имеемEn = ~ω1n+2)√()]1221+β −β n +n+,2(4.18)√причём уровней с n > 1 + β 2 /β − 1/2 не существует.Параметром малости, определяющим «осцилляторность» системы, является величина β. При β ≪ 1 и небольших n уровни мало отличатся от уровней осциллятора.С ростом n расстояния между уровнями уменьшаются,()En+1 − En ≈ ~ω (1 − 2βn) ≈ ~ω 1 − En / (mω 2 a2) .Подобная картина сохраняется и для других «выполаживающихся» потенциалов.Это подтверждается расчётом с помощью теории возмущений, см. задачу 5.4.4.1.

Одномерный осциллятор . Операторный метод714.1.1. Оператор отражения координат любой системыРассмотрим оператор[ ( 2)]2()iπ x+2 d+ x0 2P̂ = exp iπ â â ≡ −i exp.2 x02dx(4.19)В соответствии с (4.12), действие этого оператора на собственные состояния осциллятора определяется соотношениемP̂ψn (x) = e iπn ψn (x) = (−1) n ψn (x) = ψn (−x) .(4.20)Набор волновых функций осциллятора ∑является полным. Поэтому для любой волновой функции можно записать ψ (x) =cn ψn (x). Соотношение (4.20) показывает,таким образом, что оператор (4.19) выражает в явной форме через операторыкоординаты и импульса оператор отражения координат, если операторырождения и уничтожения заданы соотношениями (4.3).Обратите внимание, что эта явная форма оператора отражения (4.19) справедлива для описания любой системы, вне зависимости от вида конкретного гамильтониана.

Вторая форма этого выражения применима при любом выборе масштаба x0 ,на практике этот выбор делается из соображений удобства.♢ В трёхмерном случае оператор отражения координат имеет вид (4.19), в котором â+ â заменяется на сумму произведений таких операторов по всем трём осям,++â+ â → â+x âx + ây ây + âz âz .4.1.2. Зависимость операторов от времениУравнения для эволюции основных операторов со временем (3.5) для осциллятора принимают видd x̂p=,dtmd p̂= −mω 2 x̂ ,dtd â= −iω â ,dtd â+= iω â+ .dt(4.21)Первая пара этих уравнений непосредственно получается из уравнений Эренфеста(3.6).

Для получения второй пары достаточно использовать перестановочные соотношения (4.6).Решение второй пары уравнений имеет видâ(t) = â(0)e −iωt ,â+ (t) = â+ (0)e −iωt .(4.22)Соотношения (4.14) позволяют выразить значения координат и импульсов в данный момент времени через соответствующие операторы рождения и уничтожения.Подстановка этих соотношений в (4.22) показывает, что операторы x̂H (t) и p̂H (t)выражаются через их начальные значения x̂ (0) и p̂ (0) соотношениями, имеющимиточно такой же вид, как и в механике, с заменой переменных x и p на операторы:x̂H (t) = x̂ (0) cos(ωt) + p̂ (0) sin(ωt) / (mω),p̂H (t) = p̂ (0) cos(ωt) − mω x̂ (0) sin(ωt).(4.23)Глава 4.

Гармонический осциллятор72Разумеется, эти соотношения получаются и из первой пары уравнений (4.21), которая выглядит так же, как соответствующие уравнения в механике.Обсудим теперь некоторые следствия уравнений (4.23).Во-первых, усреднение по любому состоянию показывает, что средние значениякоординат и импульса осциллятора эволюционируют точно так же, как соответствующие классические величины.Во-вторых, теперь уже нетрудно получить, например, коммутатор координатв разные моменты времени и соответствующее соотношение неопределённостей[x̂ (t), x̂ (t + τ)] = i~ sin(ωτ) / (mω) ⇒ ∆x(t)∆x(t + τ) > ~| sin(ωτ)|/ (2mω).(4.24)4.1.3. Переход к координатному представлениюЧтобы найти волновую функцию основного состояния осциллятора ψ0 (x)в x-представлении, запишем уравнение (4.8) в этом представлении[x/x0 + x0 (d/dx)] ψ0 (x) = 0 .Отсюда (коэффициент π −1/4 получен из условия нормировки)ψ0 (ξ) = π −1/4 e −ξ2/2−1/2 −x 2 /2x02⇒ ψ0 (x) = π −1/4 x00.6e.(4.25)0.250.50.200.40.150.30.20.100.10.050.0-2-10120.00-10-50510Рис.

4.1. Квадраты волновых функций (плотности вероятности) состояний с n = 0 (слева)и n = 30 (справа). Пунктиром справа показана соответствующая классическая плотностьвероятности при той же энергииСоответственно()2)â+ ψn−11de ξ /2 d ( −ξ2 /2√√√ψn (ξ) ==ξ−ψn−1 ≡ −eψn−1 ⇒dξn2n2n dξ 2( )nn(−1)dπ −1/4 e −ξ /222√⇒ ψn (ξ) = π −1/4 √e ξ /2e −ξ ≡Hn (ξ) .dξ2n n!2n n!(4.26)Последнее равенство можно интерпретировать как определение полиномов Эрмита Hn (ξ), выражения для которых можно найти в таблицах. В частности,H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x, Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x) .4.1.

Одномерный осциллятор . Операторный метод73На рис. 4.1 показаны квадраты волновых функций (плотности вероятности) осциллятора для «глубоко квантового случая» n = 0 и «почти классического случая»n = 30.В соответствии с (4.12) волновые функции состояний с чётным значениемn – чётные, а для нечётных n они нечётные.4.1.4. Двумерный осцилляторГамильтониан двумерного осциллятора со связью между колебаниями по разнымосям запишем в видеĤ =p̂12p̂ 2mω12 x12mω22 x22+ 2 ++ bm x1 x2 +.2m 2m22(4.27)Чтобы преобразовать эту систему в сумму двух независимых осцилляторов, достаточно диагонализовать потенциальную энергию при сохранении диагональной формыкинетической энергии (поворот на некий угол θ, далее c = cos θ, s = sin θ)( )( ) ( )( )()x1z1p1pz1c −s= F̂,= F̂, где F̂ =.(4.28)x2z2p2pz2s c«Новые» импульсы и координаты удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и «старые»1 , [ p̂zk , zℓ ] = −i~δkℓ .При tg 2θ = 2b/ (ω22 − ω12) гамильтониан приобретает вид суммы двух невзаимодействующих осцилляторов:√22222 22 2(ω12 − ω22) 2 + 4b 2ω+ω±p̂p̂mΩ1 z1mΩ2 z212Ĥ = z1 ++ z2 +, Ω21,2 =.

Характеристики

Список файлов книги