1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Поэтому не удивительно, что в этом пределе соотношение (2.24) принимает вид условия сшивки на δ-потенциале (2.16).Удобно записать решение именно для этого предельного случая. При√этом внеямы мы имеем свободное уравнение Шредингера с решениями e ±κx , κ = 2m|E|/~.Как и в предыдущем разделе, при произвольной энергии E < 0, стартуя от волновой функции, обращающейся в нуль при x → ∞, с помощью последовательногоприменения правил сшивки, при x < −a мы получаем волновую функцию (2.19) с(g )gA1 (κ) = A 1 −,B=A.(2.25)2κ2κГраничное условие ψ (x) → 0 при x → −∞ означает, что решение существует толькопри A1 (κ) = 0.
Отсюда получается решение при любом положительном g:κ = g/2 ⇒ E = −~2 g 2,8mψ=√g/2e −g|x|/2 ∀ |x| ≫ a .(2.26)Итак, связанное состояние существует в сколь угодно мелкой или сколь угодно узкойпотенциальной яме при единственном условии положительности интеграла (2.24).Полученное значение энергии уровня значительно меньше U0 . Полезно заметить ещё, что разброс координат в этом случае ∆x = 1/ g значительно больше a,т.
е. частица бо́льшую часть времени проводит вне ямы – в полном согласии с соотношением неопределённостей.• Подчеркнём, что вывод о существовании хотя бы одного уровня в мелкой ямесправедлив только в одномерном случае. В трёхмерном случае это заведомо нетак. В частности, радиальная прямоугольная яма U(r) = −U при r < a, U(r) = 0при r > a описывается радиальным уравнением Шредингера с U(r) = ∞ при r < 0(r < 0 не бывает).
Решение описывается волновой функцией нечётного состояниязадачи (2.20), которая обращается в нуль при r = 0. Оно существует только приU > π~2 / (8ma2). В двумерном случае уровень существует «почти всегда» [1].2.6.3. Две δ-ямы. ТуннелированиеОснову для многих физических обсуждений даёт случай, когда потенциал рис. 2.1сводится к паре ям, разделённых областью Ui = 0. В классической задаче состояниячастиц в каждой из ям независимы, они «не знают» друг о друге. В квантовом случаеГлава 2. Состояния и их эволюция50«крылья» волновых функций каждой из ям достигают другой ямы, происходит туннелирование между ямами. Поскольку волновая функция вне ямы довольно быстроубывает, обычно туннелирование – слабый эффект, лишь немного меняющий уровни энергии и волновые функции.
Однако в случае если энергии уровней в обеихуединённых ямах совпадают, туннелирование может привести к «перекачке» состояний между двумя ямами, наподобие биений при слабой связи между одинаковымиколебательными контурами или грузиками на пружинках.Основные черты этой задачи удобно изучить на примере системы из двух δ-ямU(x) = −G1 δ (x + a) − G2 δ (x − a) .(2.27)Наши действия воспроизводят то, что делалось при получении (2.22).
При произвольной энергии E = −~2 κ 2 /2m, стартуя от волновой функции, обращающейсяв нуль при x → ∞, с помощью последовательного применения правил сшивки (2.16)в точках x = ±a получается волновая функция при x < −a в виде (2.19) с]A [ 24κ − 2κ (g1 + g2) + g1 g2 (1 − D) ,24κгде gi = 2mGi /~2 ,D = e −4κa .A1 (κ) =(2.28)Мы ввели здесь коэффициент туннелирования D, который показывает, как уменьшается вероятность нахождения частицы с энергией, отвечающей стационарномусостоянию, на пути между двумя ямами.Граничное условие ψ (x) → 0 при x → −∞ означает, что решение существуеттолько при A1 (κ) = 0. Это даёт уравнение для определения уровнейg1 + g2g1 g2κ+(1 − D) = 0 ⇒24√()2g1 + g2g1 − g2⇒κ=±+ g1 g2 D .44κ2 −(2.29)Графическое исследование этого уравнения показывает, что оно имеет два решения при больших a и одно решение при небольших a. Если расстояние междуямами велико, D ≪ 1, то мы имеем дело с уровнями двух уединённых ям, κi = gi /2,не зависящими от существования второй ямы, состояния локализованы в окрестности либо первой ямы, либо второй ямы.
При a → 0 уравнение имеет решениеκ = (g1 + g2) /2, соответствующее одной яме суммарной глубины.Разберём теперь некоторые важные частные случаи, рассматривая D как параметр, принимающий небольшие значения, D ≪ 1.• Симметричная система. Если G1 = G2 = G (одинаковые ямы), система симметрична относительно замены x → −x чётность сохраняется, решения для волновых функций обладают определённой чётностью. Мы видим, что первоначальныйуровень E = E0 = −~2 g 2 / (8m) расщепляется на два уровня с энергиями√E± = E0 ± ∆S ,∆s = 2 DE0 ≪ E0 .(2.30)2.6. Одномерная задача .
Дискретный спектр51Подстановка полученных решений в волновые функции показывает, что для наименьшей энергии E = E0 − ∆S волновая функция в правой яме такова же, каки в левой, ψ0п (x) = ψ0л (−x) (в целом симметричная функция), а для другого значения энергии E = E0 + ∆S волновая функция в правой яме имеет противоположныйзнак, ψ0п (x) = −ψ0л (−x) (в целом антисимметричная функция).Нетрудно увидеть теперь, что если частица в начальный момент располагаетсяв окрестности правой ямы (ψ (x, t = 0) = ψ0п (x)), то через время πτ /2 она окажетсяв левой яме, т.
е. волновая функция осциллирует,ψ (x, t) = e−iE0 t/~ [ψ0ï (x) cos(t/τ) +iψ0ï (−x) sin(t/τ)] ,где ψ0ï (−x) = ψ0ë (x) – волновая функция частицы в окрестности левой ямы.• Небольшое отклонение от симметрии. Рассмотрим теперь случай небольшого отклонения от симметрии, когда глубины уединённых ям мало отличаются другот друга, |G1 − G2 | ≪ G1 . Удобно обозначить g = (g1 + g2) /2 ⇒ E0 = −~2 g 2 / (8m).Кроме того, δ g = (g1 − g2) /2 так, что энергии уединённых ям составляютE0л = E0 − δ ,δ = ~2 gδ g/ (4m) ≪ E0 .(2.31)Прямая подстановка в решение (2.29) даёт энергии уровней в виде√E± = E0 + ∆ ,∆ = ± δ 2 + ∆2S .(2.32)E0п = E0 + δ ,Отсюда видно, что при ∆S < δ туннелирование почти не меняет уровней.
Наоборот, при ∆S > δ расщепление термов близко к тому, что было в симметричном случае(система забывает об исходной малой асимметрии). Прямое вычисление волновойфункции в обоих указанных предельных случаях показывает следующее.▽ При δ ≫ ∆S состояния с высокой точностью остаются локализованными справаили слева, туннелирование почти не меняет состояний, биений не возникает.▽ При δ ≪ ∆S расщепление исходных термов δ несущественно по сравнению с эффектом туннелирования, смешивающего состояния. При ∆ < 0 волновая функциясимметрична, а при ∆ > 0 волновая функция антисимметрична – как и в случае,когда расщепление исходных термов δ отсутствует. Как и для полностью симметричного случая, если сосредоточить начальное состояние вблизи одной из ям,с течением времени оно перетечёт в другую, возникнут биения с частотой π /∆S .Иными словами, если имеются две немного различающиеся ямы, то при большом расстоянии между ними – когда коэффициент туннелирования очень мал –возможные состояния локализованы вблизи этих ям.
По мере сближения ям – приувеличении коэффициента туннелирования – происходит обобществление состояний,и при ∆S > δ мы приходим к симметричным или антисимметричным состояниям илик биениям между двумя ямами. В § 6.8 подобные результаты получаются для парыгладких ям с помощью квазиклассического приближения.Глава 2.
Состояния и их эволюция52§ 2.7.Непрерывный спектр. Одномерная задача рассеянияПостановка задачи. При E > 0 (см. разд. 2.4.2) естественно возникаетодномерная задача рассеяния.Слева направо падает поток частиц Ne ikx . Из-за взаимодействия с рассеи′вателем возникает рассеянная волна iNf(k, k′)e ik x , состоящая из отраженной волны, c k′ = −k при x → −∞, и прошедшей волны с k′ = k при x → ∞.Требуется определить амплитуду рассеяния f(k, k′).
Иначе говоря, граничноеусловие для уравнения Шредингера выбирается в виде{()e ikx + if(k, −k)e −ikx ∀ x → −∞ ,)(2.33)ψ → N ( ikx∀x → ∞,e + if(k, k)e ikxи требуется найти амплитуду рассеяния f(k, k′), где k′ = ±k.√Выбор N = m/ (~k) отвечает нормировке на поток. Обозначения для амплитудырассеяния выбраны по аналогии со стандартными обозначениями трёхмерной задачи,гл. 17. В частности, iNf(k, −k)e −ikx и iNf(k, k)e ikx вместе представляют собой волны, расходящиеся от рассеивателя, а σ = | f(k, k)|2 + | f(k, −k)|2 – величину полногопотока, идущего от рассеивателя.
В трёхмерной задаче подобную величину называютполным сечением рассеяния.Нередко используют единое обозначение для амплитуды прошедшей волны, например, A ≡ 1 + if(k, k) и соответственно B ≡ if(k, −k). При этом |A|2 – коэффициент прохождения, |B|2 ≡ |f(k, −k)|2 – коэффициент отражения.♢ Формулы (2.33) описывают ситуацию когда волна падает слева, затем отражается влево и частично уходит направо. Для рассеяния «справа налево», когдаисходная волна приходит справа, точно так же()ψ2 → N e −ikx + A2 e ikx ∀ x → ∞ , и ψ2 → NB2 e −ikx ∀ x → −∞ .Приравнивая теперь значения вронскиана (2.14) ψψ2′ − ψ ′ ψ2 при x → ∞ и x → −∞,получаем B = B2 , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
