1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 15
Текст из файла (страница 15)
имеет место закон распадаdN(t) = −γN(t)dt ⇒ N(t) = N(0)e −γt .При этом зависимость волновой функции от времени выглядит как e −i(Er −iΓ/2)t/~ .В соответствии с этим определяются (ср. (2.40)1 Подобноеявление известно в электротехнике — если в цепи, состоящей из конденсаторов, сопротивлений и индуктивностей, есть резонансный контур, то при частотах, близких к резонансу, напряженияи токи в этом контуре могут многократно превосходить входное напряжение и ток. В оптике подобнымобразом усиливается сигнал внутри объёмного резонатора или внутри интерферометра Фабри–Перо.Глава 2. Состояния и их эволюция56время жизни (квази-)уровня τ = γ −1 ,ширина (квази-)уровня Γ = ~γ,комплексная энергия уровня Ẽr = Er −iΓ/2.(2.41)Как уже говорилось, состояние нестабильной частицы ψ (x, t) не есть стационарное состояние (с определённой энергией)ψE (x)e −iEt/~ , а волновой пакет – су∫перпозиция таких состояний ψ (x, t) = cE ψE (x)e −iEt/~ dE, где коэффициенты cEописывают этот пакет в энергетическом представлении.
В общем случае вероятность W(t) и амплитуда вероятности a(t) того, что система к моменту времени t останется в начальном состоянии даётся интегралом (мы учитываем, чтостационарныесостояния с различными значениями энергии ортогональны,∫ ∗ψE ′ (x)ψE (x)dx = δ (E ′ − E))∫∫a(t) = ψ ∗ (x, 0)ψ (x, t)dx ≡ cE∗ ′ ψE∗ ′ (x)cE ψE (x)e −iEt/~ dxdEdE ′ =(2.42)∫= |cE |2 e −iEt/~ dE,W(t) = |a(t)|2 .Зависимость вероятности распада от времени определяется энергетическимраспределением начального состояния (В. А.
Фок и Н. М. Крылов).Считая для ψ (x, t) выполненным приближение (2.40), вычислим зависимость волновой функции cE от энергии, если энергия распадающегося состояния есть Er(см. (2.45))∫1RcE = √ψ (t)e iEt/~ dt ∝.(2.43)E − Er + iΓ/22πКвазиуровням отвечают в комплексной плоскости энергии полюса E = Er −iΓ/2в нижней полуплоскости и с положительной действительной частью.Если пренебречь вблизи полюса зависимостью коэффициента R от E, то спектральный состав состояния выглядит как резонансная кривая с шириной ∆E = Γ:dW(E) ∝ |cE |2 →Γ.(E − Er) 2 + Γ2 /4(2.44)При Γ → 0 имеем dW/dE → (π /2)δ (E − Er) ∫(ср.
(Б.4)).По условию для первоначального пакета |ψ (x, 0)|2 dx ≈ 1 (здесь значок V ознаVчает «рассеиватель»). Со временем пакет уплывает из рассеивателя, вероятностьнайти частицу внутри рассеивателя падает по закону2∫ ∫R−Et/~ −tΓ/~ dEψE (x)e≡ e −t/τ . dx ∝ eE − Er + iΓ/2(2.45)VЭто означает, что поток частиц устремлён от рассеивателя наружу. Таким образом,поиск квазиуровня можно вести как поиск того (комплексного) значения энергии,для которого в задаче рассеяния коэффициент отражения обращается в бесконечность, или – что то же – в задаче о собственных значениях есть лишь уходящиеот рассеивателя волны, но уже с комплексной энергией. (В таком подходе распад2.8.
Нестабильные частицы . Квазистационарные состояния57нестабильного состояния – это переход системы из состояния, где частицы, за которыми мы следим, сначала находятся вблизи рассеивателя, но со временем уходятоттуда. Мы интересуемся только числом частиц в (более или менее широкой) области вблизи рассеивателя. Вероятность пребывания частицы в этой области со временем падает – явно нарушается сохранение вероятности в конечной областипространства.
Разумеется, при этом растёт со временем вероятность найти частицуна очень большом расстоянии от рассеивателя, но нас эти дали не интересуют.)2.8.1. Примеры1. Рассмотрим задачу рассеяния на потенциале, представляющем собой паруδ-пиков, как в разд. 2.6.3 (только с другими знаками Gi). Как и в случаес прямоугольной ямой, амплитуда рассеяния определяется значением коэффициентаA1 (κ) (2.28), вычисленным для κ → −ik при gi = 2mGi /~2 :[])1g1 + g2g1 g2 (4ika1 + if(k, k) =, A1 (−ik) = A 1 + i−1−e. (2.46)A1 (−ik)2k4k2Квазистационарным состояниям отвечают решения уравнения A1 (−ik) = 0. В обозначениях 2ka = u, gi a = bi это уравнение принимает вид (ср. (2.29))u2 / (b1 b2) + iu(b1 + b2) / (b1 b2) = 1 − e 2iu .(2.47)Мы разберём случай больших расстояний между пиками, b1 & b2 ≫ π.Решения уравнения (2.47) удобно искать в виде малых отклонений от уровнейбесконечно глубокой потенциальной ямы E0n :u = un ≡ πn − δn − iγn ⇒ En = E0n (1 − 2δn / (πn) − 2iγn / (πn)) ,E0n =π 2 ~2 n2.8ma2Приближённое решение уравнения при небольших n получается довольно легко.При этом левая часть мала, и в ней можно отбросить поправки δn и γn .
Если удержать в правой части только первый член разложения экспоненты в ряд, то приравнивая по отдельности действительные и мнимые части, мы получили бы, что величинаδn – первого порядка по отношению πn/bi , а именно δn = πn(b1 + b2) / (2b1 b2),а вот поправка γn оказалось бы второго порядка малости по этому параметру,γ̄n = (πn) 2 / (2b1 b2). Значит, для получения правильного значения γ экспоненту надоразложить с точностью до второго порядка по δn , что даёт для действительной части(1 − e 2iu) выражение 2(γn − δn2).
Подставляя полученное выше значение δn , найдём[()2 ]1b1 + b22γn = (πn)+,2b1 b22b1 b2(2.48)()2b1 + b2nn 2b1 b2 + (b1 + b2)En ≈ E0 1 −, Γn = πnE0.b1 b2(b1 b2) 2Таким образом, положения квазиуровней близки к положениям уровней бесконечно глубокой прямоугольной ямы, а ширины растут с ростом энергии уровня. Вычисление коэффициента B1 дало бы нам отношение числа частиц, уходящих в разные58Глава 2. Состояния и их эволюциястороны от рассеивателя – в соответствии с естественно разными коэффициентамитуннелирования через барьеры разной высоты.С ростом n абсолютная величина поправок возрастает, и простое разложениеэкспоненты в правой части (2.47) перестаёт работать.
Тем не менее, легко√увидеть,что – в отличие от бесконечно глубокой ямы уровни кончаются при nmax ∼ b1 b2 /π.2. Виртуальный уровень. Рассмотрим√ прямоугольную потенциальную ямуc −V ≫ E0 = ~2 / (2ma2) и такую, что 2a 2m|V |/~2 = πn − ε, где ε ≪ 1 (принебольшом увеличении ширины такой ямы в ней появился бы ещё один уровеньс очень близкой к нулю энергией).
Опишем поведение амплитуды прохождения вблизи первого максимума коэффициента прохождения с помощью (2.36). Положениепервого максимума определяется условием 2ka = πn. Соответствующая энергияEr = −|V | + E0 π 2 ≪ E0 . В этом максимуме k/k1 ≪ 1 и ka ≪ 1. В окрестности этогомаксимума k1 a = kr1 a + (E − Er) / (E0 πn). Теперь простое разложение (2.36) вблизиΓ/2максимума даёт 1 + if(k, k) ∝, где Γ = 4(ka)E0 . Простое вычислениеE − Er + iΓ/2показывает также, что амплитуда волны внутри рассеивателя возрастает по сравнению с амплитудой падающей волны в k1 /k раз.3.
В квазиклассическом приближении время жизни и ширина уровня вычисляются в § 6.7. Для заряженной частицы возбуждённые состояния нестационарны,поскольку она может переходить на нижележащий уровень, излучая фотон (излучение). Вероятность дипольного излучения, определяющая собственную ширинууровня, вычисляется в гл. 16.2.8.2. Особенности рассеяния волнового пакетаДадим сначала описание этого пакета в области вдали от рассеивателя. Пустьв нашем пакете средняя энергия частиц E0 = ~ω0 , а разброс частот есть ∆ω ≡ ∆E/~.Зависимость энергии от импульса (закон дисперсии) E(p) мы будем считать достаточно гладкой. Если закон дисперсии линеен E = cp (свет, звук), то при движениив среде без потенциала такой пакет сохраняет свою форму. Если закон дисперсиинелинеен, например E = p 2 / (2m) (электроны, ядра), то при движении в среде безпотенциала такой пакет расплывается, см.
обсуждение на стр. 13.Наличие потенциала в любом случае модифицирует волновой пакет, посколькуразные компоненты Фурье при прохождении области потенциала по-разному меняютсвою амплитуду и фазу. Нетривиальные явления имеют место, если средняя энергиячастиц пакета E0 находится в области, где коэффициент прохождения отдельныхгармоник заметно меняется с изменением энергии.
Важнейший пример такого родапредставляют пакеты, отвечающие квазистационарным состояниям.Если основной интервал энергий пакета располагается в стороне от резонансов,изменения в амплитудах и фазах разных гармоник при рассеянии различаются неочень сильно, в этом случае пакет модифицируется как целое – его амплитуда падаетпримерно в D(E0) раз, а различие во временах задержки для разных Фурье-гармоникприводит к некоторому дополнительному расплыванию. Если средняя энергия E0близка к значению, отвечающему максимуму или минимуму коэффициента прохождения, и величина ∆E превышает энергетическую ширину этого максимума или ми-2.9.
Задачи59нимума, в результате рассеяния форма пакета может сильно видоизмениться. Частный пример даёт обсуждавшееся выше поведение пакета, отвечающего квазиуровню.Волновой пакет, локализованный на рассеивателе, может охватывать два или более квазиуровней. Амплитуды сигналов для каждого из них велики, а времена жизни(ширины) различаются. Фактически пакет покидает рассеиватель как набор разделённых во времени цугов, отвечающих каждому из квазиуровней по отдельности.§ 2.9.Задачи1. Как изменится ψ (x, t) при замене V(x) → V(x) + V0 .2. Как изменится вид ψ (x, t) в системе отсчёта, движущейся относительно первоначальной со скоростью v?3.
Почему теорема о вириале не выполняется для инфинитного движения?4. Вычислить оператор e aP̂ , где a – число, а P̂ – оператор отражения.5. Для свободного движения найти общие собственные функции гамильтонианаи оператора отражения P̂.6. В бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике найти ψ (x, t), еслиψ (x, 0) = A(x 2 − a2).7. Частица с массой m находится в стационарном состоянии ψ (x) в поле U(x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
