1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. амплитуды прохождения при рассеянии справа налево и слеванаправо совпадают (амплитуды отражения A и A2 могут различаться фазами).Оптическая теорема в одномерном случаеВ процессе рассеяния вероятность сохраняется, т. е. сумма прошедшего и рассеянного потоков частиц совпадает с первоначальным потоком.
Это равенство составляет содержание оптической теоремы|1 + if(k, k)|2 + |f(k, −k)|2 = 1 ⇒ 2 Im f(k, k) =∑k′ =±k|f(k, k′)|2 ≡ σ .(2.34)В трёхмерном случае соответствующее соотношение (17.12) получается менее тривиальным образом.• Для кусочно-постоянного потенциала используется алгоритм, изложенный настр. 44. Особенность решения – в том, что мы стартуем с прошедшей волны и2.7.
Непрерывный спектр . Одномерная задача рассеяния53приходим к падающей + отраженной. Выражение для амплитуды A1 , полученное длязадачи о собственных состояниях, превращается в выражение для этой амплитудыв задаче рассеяния при замене в области свободного движения −κ → ik (справаубывающая волна заменяется на уходящую направо). После этого остаётся толькоотнормировать падающую волну на 1, т. е. поделить все амплитуды на A1 (κ = −ik).♢ Для δ-ямы, разд.
2.6.2, на этом пути из (2.25) получаются амплитуда рассеянияи коэффициент прохождения T ≡ |1 + if(k, k)|21 + if(k, k) ≡111=⇒ T =.2A1 (κ = −ik)1 − ig/ (2k)1 + g / (4k2)(2.35а)Переход от δ-ямы к δ-барьеру описывается заменой g → − g. Таким образом коэффициенты прохождения для δ-ямы и δ-барьера одинаковы, если глубина ямыи высота барьера одинаковы. Полезно заметить также, что при k ≪ g и барьери яма одинаково почти непрозрачныT ≈ 4k2 / g 2 .(2.35б)♢ Для прямоугольной потенциальной ямы (2.20) можно использовать решение (2.21). При этом получаются выражения для амплитуды прошедшей волны1 + if(k, k) и коэффициента прохождения Te −2ika;(2.36а)k2 + k21sin 2k1 acos 2k1 a − i2kk1[ 22 ]−1 k2mVT = |1 + if(k, k)|2 = 1 + 0 sin(2k1 a) , где k20 =. (2.36б)2kk1~21 + i f(k, k) ≡1=A1 (κ = −ik)Эти соотношения полностью описывают и рассеяние на яме и рассеяние на барьере при энергиях, бо́льших высоты барьера.
При энергиях, меньших высоты барьера, величина k1 становится чисто мнимой k1 = iκ1 , и при κ1 a ≫ 1 последнеесоотношение даёт экспоненциально малый коэффициент прохождения через барьер(туннелирование через барьер) – ср. (2.29)T ≈ e −2κ1 (2a) .(2.37)Видно, что при условии 2k1 a = nπ (на яме укладывается целое число полуволн) яма становится прозрачной, T = 1.
Коэффициент прохождения принимаетнаименьшие значения вблизи таких значений энергии, что 2k1 a = (n + 1/2)π, при2kk1этом Tmin ≈ 2. При небольшой энергии, когда k ≪ k1 для ямы или k1 ≪ kk + k21для барьера величина Tmin очень мала. С ростом энергии коэффициент прохожденияосциллирует, причём глубина и число заметных осцилляций определяется той же величиной 2k0 a, что определяет и структуру уровней ямы. Более детальное вычислениепоказывает, что в условиях резонанса амплитуда волновой функции внутри ямы илинад барьером значительно больше амплитуды падающей волны. Дело происходитГлава 2. Состояния и их эволюция54таким образом, как будто падающий поток попадает в резонатор, накапливается тами понемногу выходит через его полупрозрачную границу.
Единичный коэффициентпрохождения является произведением большой амплитуды сигнала в резонаторе намалую проницаемость его стенки. При дальнейшем росте энергии величины k и k1сближаются, величина Tmin приближается к 1, осцилляции становятся незаметными.Осцилляции зависимости коэффициента прохождения от энергии являются специфическим свойством потенциала с вертикальными стенками, допускающего резонансные отражения на стенках при некоторых энергиях.На гладком потенциале таких осцилляций может и не быть.• Из нашего построения видно, что коэффициент прохождения обращается в бесконечность при отрицательных значениях энергии, отвечающих положениям уровней (2.26) или (2.23), когда в амплитуде рассеяния делается замена k → iκ.
Ясно, что этот вывод справедлив для любого кусочно-постоянного потенциала. Произвольный одномерный потенциал можно аппроксимировать кусочно-постоянным,и качество приближения может быть сделано сколь угодно хорошим при использовании достаточно большого числа ступеней. Поэтому наш вывод распространяетсяна произвольный одномерный потенциал. Итак,полюса амплитуды рассеяния при отрицательных энергияхотвечают связанным состояниям при этих энергиях.(2.38)• Время задержки волны на потенциале.Запишем выражение для амплитуды√прошедшей волны в виде 1 + i f(k, k′)√= T e iα так, что прошедшую волну далеко зарассеивателем можно записать как T e −i(ωt−α)+ikx .
Видно, что величину α/ω может считать «фазовым» временем задержки на потенциале. Имея в виду примененияэтого понятия для описания волновых пактов, целесообразно ввести понятие «группового» времени задержки на потенциале (далее эпитет «групповой» опускается):dαdα≡~.(2.39)dωdEХарактер зависимости τ от энергии E для задачи о прямоугольной яме или барьереможно понять, анализируя формулу (2.36). Мы ограничимся описанием результатовкомпьютерного моделирования. Оказывается, что при больших |k0 a| время задержки в зависимости от энергии осциллирует, качественно воспроизводя осцилляциикоэффициента прохождения. Причиной этого являются многократные отраженияв пределах ямы при выполнении резонансного условия 2k1 a = nπ.defτ (E) =§ 2.8.Нестабильные частицы.
Квазистационарные состоянияВозбуждённые состояния квантовых систем нестационарны, они распадаются(излучение ядер, атомов, молекул, радиоактивный распад ядер и т. д.). Эти состоянияназывают нестабильными, или квазистационарными состояниями, или – приописании элементарных частиц – нестабильными частицами (используют такжетермины квазиуровень или резонанс). Такие состояния наблюдаются уже при изучении обычной задачи рассеяния на потенциале при компьютерном моделировании(прил. А).2.8. Нестабильные частицы .
Квазистационарные состояния55Изучая одномерную задачу рассеяния на потенциале (рассеивателе) в терминальном классе, можно было наблюдать, что для многоступенчатого потенциала принекоторых значениях энергии E = Er квадрат волновой функции в области рассеивателя оказывается в среднем значительно больше, чем в падающей и прошедшейволне.
Ситуацию можно представить так, что наша частица «предпочитает» житьвнутри рассеивателя, напоминая этим стационарное состояние1 .При энергии Er многократное последовательное отражение волны от границвнутри системы даёт волну с той же фазой, при этом частица надолго задерживается над рассеивателем (ямой, барьером или их набором). В итоге коэффициентпрохождения принимает максимально возможное значение 1, а отражённой волнынет. Подобным образом, наличие резонанса в рассеянии для трёхмерного случая ведёт к увеличению амплитуды рассеяния при соответствующей энергии (разд.
17.4.3).Накопление частиц в рассеивателе сопровождается большой задержкой волны(2.39) на потенциале τ . Разумеется, говорить о накоплении частиц можно толькоесли за время τ проходит много периодов волны, т. е. если «добротность» Q велика:Q = τ Er / ~ ≫ 1 .(2.40)При Q . 1 наше качественное описание теряет смысл, хотя полюса амплитудырассеяния в комплексной плоскости энергии могут существовать.Если сформировать вне ямы пакет со средней энергией Er (центральное значениеэнергии, отвечающей максимальному усилению амплитуды в рассеивателе), то прирассеянии часть пакета быстро пройдёт рассеиватель, но некоторая его часть останется в рассеивателе на сравнительно большое время, постепенно уходя в обе стороны от рассеивателя (отраженная и прошедшая волны малой амплитуды с большойзадержкой).
Таким образом, эта задержавшаяся часть волнового пакета оказаласьпохожей на стационарное состояние. Именно этот объект и называют квазистационарным состоянием с энергией Er .Последовательное описание таких состояний должно включать и историю их возникновения. От этой истории могут зависеть некоторые тонкие детали. Однако прибольшом времени жизни возникающая система в течение её существования подвергается внешним воздействиям и «забывает» о своей истории (пример – радиоактивное ядро урана). Именно такое описание мы и строим ниже.Вероятность ухода из возбуждённого состояния с энергией Er за единицу временидля каждого атома или ядра не зависит от общего числа атомов или ядер в системе,т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
