1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Найтиэнергию состояния E и U(x) для случаев:2а) ψ (x) = Ae −αx ; б) ψ (x) = {Àxe −βx при x > 0, 0 при x < 0 .}.8. Для частицы в прямоугольной потенциальной яме (2.20) покажите, чтоа) всегда существует хотя бы один уровень;б) чётные и нечётные уровни√чередуются;в) для всех состояний A = κ / (1 + κa).9.
Взаимодействие протона и нейтрона, приводящее к образованию дейтона, можно аппроксимировать прямоугольной потенциальной ямой с шириной 1,2 фм иглубиной U . Энергия связи дейтона – очень малая величина 2,2 МэВ. Найти U .10. Частица находится в поле U(x) = −Gδ (x) , разд. 2.6.2.а) Показать, что решение (2.26) получается из (2.23) при k0 a → 0.б) Найти энергию и волновую функциюосновного (связанного) состояния.√2в) Вычислить разброс координат ∆x .г) Найти средние значения кинетической и потенциальной энергий.д) Найти коэффициент прохождения T(E) над этой ямой.е) В начальный момент волновая функция имеет вид ψ (x, t = 0) = κ −1/2 e −κ|x|с κ, не связанным с G. Найти вероятность того, что при t → ∞ частица окажетсяв связанном состоянии.ж) Найти энергию и волновую функцию связанного состояния, используя импульсное представление.11.
Определить уровни энергии для потенциалаU(x) = {∞ при x < 0, −V при 0 < x < a, 0 при x > a}.При каком значении V в яме появляется уровень? два уровня? Сравните решенияс решениями для симметричной ямы (2.23).60Глава 2. Состояния и их эволюция12. Пучок электронов с импульсом pz проходит между двумя плоскостями кристалла конечной длины. Найти угловое распределение электронов на выходе, если ихвзаимодействие с кристаллическими плоскостями описывается потенциаломU(x) = {0 ∀ (|x| < a) , ∞ ∀ (|x| > a) }.Указание.
Связать угловое распределение с распределением электронов по px .13. Частица в «движущейся яме» U(x, t) = −Gδ (x − vt) находится в связанномсостоянии. В момент t = 0 яма останавливается, U(x, t > 0) = −Gδ (x). Найтивероятность того, что частица останется в связанном состоянии.14. Рассмотреть частицу в поле U = −Gδ (x − b) на полубесконечной прямой x > 0.а) Найти уровни энергии и волновые функции.б) В начальный момент волновая функция имеет вид ψ (x, t = 0) = κ −1/2 e −κ|x| .Найти вероятность того, что при t → ∞ частица останется в связанном состоянии.15. Найти энергии и волновые функции связанных состояний в полеU(x) = −Gδ (x − a) − c Gδ (x) − Gδ (x + a). При каких a число уровней уменьшается до двух, до одного, до нуля? Найти энергии уровней при a → 0 и приa → ∞.
По какому закону стремятся эти энергии к пределу при a → ∞. Какзависит коэффициент прохождения от энергии?Разобрать случаи c = 1, −1, −4. Что общего в этих случаях при описании пределов a → 0 и a → ∞.16. Для частицы в поле U(x) = −G [δ (x + b) + δ (x − b)] , G > 0a) найти уровни энергии и волновые функции; исследовать зависимость от b, найтисилы, действующие на каждую из ям в разных состояниях;б) найти ψ (x, t), если при t < 0 между ямами была непроницаемая перегородкаи частица находилась в стационарном связанном состоянии вблизи левой ямы;в) исследовать зависимость коэффициента прохождения от энергии и от b приразных знаках G; показать, что при значениях b, лишь ненамного меньших тогозначения, когда в системе исчезает один из уровней, в коэффициенте прохождения обнаруживается виртуальный уровень (резонанс); исследовать поведениеамплитуды волновой функции вблизи начала координат.17. Для частицы в поле U(x) = −G1 δ (x + b) − Gδ (x − b) определить при каком bисчезают связанные состояния, если G1 = −G.18.
Рассмотрим поле U(x) = {0 при x < 0 ; V(> 0) при x > 0}. Найти коэффициенты прохождения и отражения в этом поле. Проверить закон сохранения потокачастиц при рассеянии. Специально рассмотреть случаи E > V и V > E > 0. Рассмотреть предел ~ → 0. Найти время задержки при отражении волнового пакета.19. Выразите ширину квазистационарного состояния (2.48) через классический период колебаний частицы в бесконечно глубокой прямоугольной яме и коэффициентыпрохождения через барьеры (2.35б).20. Определить время задержки на очень глубокой потенциальной яме для волнового пакета с ⟨E⟩ ≈ En , ⟨∆E⟩ ≪ Γ (учесть существование квазистационарногосостояния).Глава 3Зависимость операторовот времени§ 3.1.Оператор эволюции системы во времениОпределим оператор эволюции системы во времени Û (t, 0):|ψ (t)⟩ = Û (t, 0)|ψ (0)⟩ .(3.1а)Уравнение Шредингера для этого оператора и соответствующее граничное условиеимеют вид:∂ Ûi~= Ĥ (t) Û , U(0) = 1 .(3.1б)∂tЕсли гамильтониан не меняется со временем, то из (3.1б) получается1Û (t, 0) = e −i Ĥt/~ .(3.2)Действие этого оператора на стационарные состояния описывается соотношениемÛ |n⟩ = exp(−iEn t/~)|n⟩, а на произвольное состояние – законом эволюции (2.3).Из эрмитовости гамильтониана следует, что оператор Û – унитарный:Û −1 (t, 0) ≡ Û (−t, 0) = e i Ĥt/~ = Û (t, 0) † .§ 3.2.(3.3)Гайзенберговская картинаРазбирая соотношение неопределённостей в § 1.8, мы рассматривали одновременные измерения разных величин.
Представляют интерес и другие задачи. Так,чтобы понять, с какой минимальной погрешностью можно говорить о траекториичастицы, нужно получить какое-то соотношение неопределённостей для координат в1 Этотоператор естественным образом похож на оператор конечного сдвига (1.28).Глава 3. Зависимость операторов от времени62разные моменты времени. Далее мы обсудим путь, ведущий к естественному ответуна этот и другие вопросы.♢ Задача квантовой механики состоит в построении правильного описания измеряемых величин – средних ⟨A(t)⟩. В предшествующем построении мы фиксировалинекоторые определения операторов и рассматривали волновые функции, зависящиеот времени.
Это – шредингеровская картина. В ней операторы r̂ и p̂ = −i~∇ независят от t; среднее значение физическойвеличины A есть∫⟨A(t)⟩ = ψ ∗ (r, t) Â(r, p, t)ψ (r, t)d 3 r,где ψ (r, t) удовлетворяет уравнению Шредингера (2.1).То же самое среднее ⟨A(t)⟩ можно получить и в гайзенберговской картине,где вся зависимость от времени переносится на операторы физических величин ÂH ,а векторы состояний «замораживаются» в начальный момент. Именно на этом путиполучается ответ на задачу, поставленную в начале раздела.♢ Для перехода к гайзенберговской картине мы используем оператор эволюциисистемы Û (t, 0) (3.1):⟨A(t)⟩ = ⟨ψ (r, 0)|ÂH (t)|ψ (r, 0)⟩,ÂH (t) ≡ Û −1 (t, 0) ÂÛ (t, 0).(3.4)Далее в этой главе операторы и векторы состояния в гайзенберговской картинемы снабжаем индексом H , а в использовавшейся ранее (шредингеровской) – индексом S, причём |ψH ⟩ = |ψS (t = 0)⟩.
Повторим, что наше определение означает,что ⟨A⟩H = ⟨A⟩S . Поэтому при записи средних значок H или S не нужен.§ 3.3.Производная оператора по времениЕсли гамильтониан системы не зависит от времени явно, то оператор эволюции(3.2) коммутирует с гамильтонианом, и ĤH (t) = Ĥ ≡ ĤS . Мы рассмотрим нижеименно этот случай.В гайзенберговской картине вся зависимость от времени даётся эволюцией оператора со временем: ⟩⟨ d  d Hi~ ⟨ψS |Â|ψS ⟩ = i~ ψH .ψ dt HdtРаскроем производную в левой части равенства: ⟩ ⟨ (⟨ ⟩ ⟨ ⟩) dψSdψS ∂  .i~ ψS + ψS + ψS  ψ ∂t Sdt dtИспользуя для dψS /dt уравнение Шредингера (2.1), получим ⟩ ⟨ ⟩⟨ i~ ψH d ÂH /dt ψH = ψS i~ ∂ Â/∂t − Ĥ  + ÂĤ ψS .Определяя ещё частную производную гайзенберговского оператора по времени соотношением ∂ ÂH /∂t = U −1 (∂ ÂS /∂t)U , мы получаем уравнение движения дляоператора в гайзенберговской картине:i~ d ÂH /dt = i~ ∂ ÂH /∂t + [ÂH , Ĥ ](3.5)3.4.
Сложные системы . Представление взаимодействия63Заметим, что в классической механике dA/dt = ∂A/∂t − {H, A}, где {H, A} – скобкиПуассона (∂H/∂q) (∂A/∂ p) − (∂H/∂ p) (∂A/∂q). Это означает, что [A, H] / (i~) – квантовый аналог скобок Пуассона. Такое соответствие иногда используют для квантования некоторых физических систем.• Вычислим с помощью (3.5) производные от операторов координаты и импульсапо времени,d r̂[r̂, Ĥ ][r̂, p̂ 2 ]p̂=≡=,dti~2mi~md p̂[p̂, Ĥ ][p̂, Û (r)]=≡= −∇U(r) .dti~i~(3.6а)Итак, операторы скорости и изменения импульса имеют тот же вид, что и в классической механике. Отсюда получается операторная форма второго закона Ньютонаd 2r1 d p̂∇Ud d r̂==−.=2dtdt dtm dtm(3.6б)Ясно, что эти уравнения выполняются и для средних величин, т.
е. законы классической механики выполняются для средних значений квантовых физическихвеличин (теорема Эренфеста).Сказанное не означает, что в любом случае центры тяжести волновых пакетовдвижутся по классическим траекториям. Это связано с тем, что – вообще говоря –среднее значение ⟨∇U(r)⟩ не совпадает со значением этого градиента в центре тяжести пакета ⟨r⟩. (Такого отличия нет в поле осциллятора и в однородном поле, в этихи только в этих полях центры тяжести волновых пакетов движутся по классическимтраекториям.)• При известном виде потенциала U(r) интегрирование уравнений (3.6) позволяет получить в явном виде зависимость координат и импульсов от времени. Послеэтого вычисление коммутаторов вида [x(t), x(t ′)] , соответствующих перестановочных соотношений и соотношений неопределённостей является уже простой задачей– см.
разд. 4.1.2.§ 3.4.Сложные системы. Представление взаимодействияВ ряде задач, в том числе при описании строения твёрдого тела и взаимодействийэлементарных частиц, используют представление взаимодействия, промежуточное между гайзенберговской и шредингеровской картинами.
При его построениипочти всегда явно или неявно используется адиабатическое допущение Эренфеста. Имеется в виду, что в далеком прошлом взаимодействие отсутствовало, а затем оно включилось очень медленно – адиабатически. (Такой подходфактически используется в § 5.2 и в гл. 15. Он используется явно в ряде книг припостроении теории квантованных полей и элементарных частиц.)Итак, пусть гамильтониан системы представи́м в виде суммы известного не зависящего от времени свободного гамильтониана Ĥ0 и возмущения (взаимодействия)V̂ , зависящего от времени:Ĥ = Ĥ0 + V̂ .(3.7)Глава 3.
Зависимость операторов от времени64Обозначим оператор эволюции вида (3.2), отвечающий свободному гамильтониану, черезÛ0 = e −i Ĥ0 t/~ .(3.8)В представлении взаимодействия оператор физической величины A принимаетвид ÂI (I – interaction):(3.9)ÂI (t) = Û0−1 (t) ÂÛ0 (t) .Иными словами, в этом представлении зависимость операторов от времени определяется свободным гамильтонианом (3.9) (подобно тому, как это имело местодля гайзенберговской картины), а за волновыми функциями сохраняется временна́язависимость, обусловленная взаимодействием. Уравнение Шредингера в представлении взаимодействия в базисе свободного движения имеет вид (15.4).Уравнение для оператора эволюции системы в представлении взаимодействиязаписывается в виде, сходном с (3.1),i~d ÛI (t)= V̂I ÛI (t) ,dtÛI (t = 0) = 1 ;V̂I = Û0−1 V̂ Û0 .Он связан с полным оператором эволюции Û (t) (3.1) простым соотношениемÛI (t) = Û0−1 (t) Û (t) .(3.10)Оператор эволюции ÛI (t), вообще говоря, не удаётся записать в форме, подобной(3.2), поскольку операторы Ĥ0 и V̂ (t) могут не коммутировать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
