1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Таким задачам посвящена бо́льшая часть этого курса. Обычно решения нумеруют в порядке возрастания собственных значенийE0 6 E1 6 E2 6 E3 6 .... ∫Сходимость интеграла |ψ 2 (r)d 3 r означает, что частица локализуется в некоторой конечной области. Размер этой области мы оценивали с помощью соотношениянеопределённостей. (Однако, в отличие от классического случая, существует небольшая вероятность найти частицу и вне этой области.) Более подробные сведения даётпрямое решение уравнения Шредингера (2.2).При переходе из n-го состояния дискретного спектра в m-е выделяется энергияEn − Em . Если при таких переходах излучаются фотоны, их частоты принимаютдискретный ряд значений ωnm = (En − Em) /~, специфический для каждой системы.В этом – причина появления дискретных оптических спектров, неестественных дляклассических задач без фиксированного размера атомной системы.
Эти дискретныеспектры дают сведения о том, из каких атомов и молекул состоит наша система.Падение на центр. Пусть в окрестности какой-то точки – примем её за на−sчало координат – U(r. Вклад окрестности этой точки V в пол∫ → 0) →2 −Ar3ную энергию ∆U = U(r)|ψ (r)| d r зависит от «силы» этой бесконечности s. ПриVs < 2 вклад ∆U конечен, и никаких трудностей не возникает. При s > 2 этотвклад расходится, полная энергия обращается в −∞. Обозначим через ∆r неопределённость координаты. В оценке с помощью соотношения неопределённостей имеем⟨T ⟩ ≈ (~2 /8m) (∆r) −2 и ⟨U ⟩ ≈ −A(∆r) −s . Минимизация этой суммы даёт ∆r = 0и бесконечную отрицательную энергию, у такой системы нет основного состояния,мы имеем дело с падением на центр.
Та же ситуация имеет место и при s = 2 вслучае A > ~2 / (8m). Такая ситуация не может реализовываться в реальных физических задачах. В них рост величины потенциала при r → 0 всегда останавливается,и решение подобной задачи неполно без добавления информации об этой остановке.2.4.2. Непрерывный спектр. Задача рассеянияПри E > 0 классическое движение частицы инфинитно – она уходит на бесконечность, где имеет энергию E = p 2 / (2m) > 0.
В соответствующей квантовойзадаче частица может уходить сколь угодно далеко из области действия потенциала.Здесь вся её энергия оказывается кинетической – как при свободном движении, всезначения энергии разрешены, т. е. спектр её возможных значений непрерывен. Приэтом условие нормировки (1.11) не может выполняться.Обычно здесь изучается задача рассеяния – задача о преобразовании падающей плоской волны вследствие взаимодействия с рассеивателем (потенциалом) –§ 2.7, 6.9 и гл.
17. Это – задача о стационарных потоках:С давних времён и на все времена откуда-то идёт поток частиц, онимогут задерживаться у рассеивателя на какое-то время, но в конце концов2.5. Одномерные задачи43числа вошедших и вышедших частиц совпадают.Чтобы придать задаче строгий смысл, следует вспомнить, что монохроматическихплоских волн не существует, а реализуются лишь составленные из них волновыепакеты (принцип пакетности – стр.
16) 1 . Именно имея в виду волновые пакеты,можно естественно говорить о падающей волне и отличать её от рассеянной. Граничное условие для уравнения Шредингера сводится к записи волновой функции набольших расстояниях от рассеивателя в виде суммы падающей и рассеянной волн,в одномерной задаче это (2.33), в трёхмерной – (17.2).С «потребительской точки зрения» в таком подходе нормировка волновых функций для рассеяния даётся естественным обобщением условия (1.11) – нормировкойна поток ⟨p ′ |p⟩ = (m/| p|) δ (p − p ′) (2.7б).§ 2.5.Одномерные задачиМногие проблемы изучаются далее на примере задач одномерного движения.Рассматривают три разных вида таких задач.♢ Задачи на бесконечной прямой отвечают обычному одномерному движению(в длинных молекулах, волноводах и т.
п.)♢ Задачи на полубесконечной прямой возникают при описании радиальногодвижения в центрально-симметричном поле (гл. 9). Здесь отрицательные значения rне имеют смысла, и в предыдущую задачу вводится потенциал, обращающийся в ∞при r < 0. Граничные условия для этой задачи включают требование ψ (r = 0) = 0.♢ Задачи в ограниченной области описывают движение в фиксированныхграницах, например, в пределах длинной органической молекулы.Свойства решенийУравнение Шредингера (2.2) – линейное дифференциальное уравнение второгопорядка – имеет два независимых решения.
Для любой пары решений такого уравнения вводят определитель Вронского – вронскиан W = ψ1 (x)ψ2′ (x) − ψ1′ (x)ψ2 (x).Нетрудно проверить, что в силу уравнения Шредингера вронскиан не зависитот координат, dW/dx = 0, т. е.W = ψ1 (x)ψ2′ (x) − ψ1′ (x)ψ2 (x) = const,для пары линейно независимых решений W ̸= 0.(2.14)• В физически интересных случаях производная ψ ′ (x) непрерывна. Действительно, интегрируя уравнение Шредингера (2.2) в малой окрестности произвольной точкиx = a, получаемa+ϵa+ϵ∫ ′′∫ψ (x)dx = ψ ′ (a + ϵ) − ψ ′ (a − ϵ) = (2m/~2)dx[U(x) − E] ψ (x) → 0.a−ϵa−ϵИными словами, если U(x) не обращается в бесконечность, то из конечности волновой функции следует непрерывность её производной и непрерывность самой функции, т.
е. при ϵ → 0ψ (a + ϵ) − ψ (a − ϵ) → 0;1 Несколькоψ ′ (a + ϵ) − ψ ′ (a − ϵ) → 0.более подробно возникающая проблема обсуждается на стр. 20.(2.15а)Глава 2. Состояния и их эволюция44♢ В частности, пусть при x = a потенциал U(x) имеет скачок и кроме тогоU(a + 0) > E > U(a − 0). Тогда уравнение Шредингера имеет вид()2m [E − U(a − ϵ)]22k =, −k ψ (x) при x < a~2ψ ′′ (x) =()2m[U(a + ϵ) − E]при x > aκ2 =. κ 2 ψ (x)~2Тогда вблизи этой точки решение можно представить в виде{A sin [k(x − a)] + B cos [k(x − a)] при x < a,ψ (x) =C sh [κ (x − a)] + D ch [κ (x − a)]при x > a.Из условий непрерывности (2.15а) получается D = B, C = Ak/κ, т. е.
правила сшивки при переходе через точку a (не меняющие вронскиан (2.14)):ksh [κ (x − a)] ,κB cos [k(x − a)] → B ch [κ (x − a)] .A sin [k(x − a)] → A(2.15б)♢ При описании некоторых явлений разумное приближение дают модельные потенциалы с бесконечными скачками в U(x) (пример – бесконечно глубокий потенциальный ящик). Для такой задачи второе из условий (2.15а) может нарушиться.В частности, из уравнения Шредингера (2.2) с потенциалом U(x) = −Gδ (x − a)получается∫2m a+ϵψ ′ (a + ϵ) − ψ ′ (a − ϵ) = = 2dx[−Gδ (x − a) − E] ψ (x).~ a−ϵОтсюда следует)(2mG, ψ (a + 0) = ψ (a − 0).
(2.16)ψ ′ (a + 0) − ψ ′ (a − 0) = − gψ (a)g=~2Не следует путать условия сшивки (2.15) – (2.16) с граничными условиями.• Кусочно-постоянный потенциал. Многие ситуации удаётся понять в модели,где потенциал аппроксимируется кусочно-постоянной функцией рис.
2.1.U(x)6r x1r x2Рис. 2.1. Кусочно-постоянный потенциалr xN - x2.6. Одномерная задача . Дискретный спектр45При подходящем числе делений таким способом можно аппроксимировать любойпотенциал. Получившаяся задача поддаётся простой в принципе вычислительнойпроцедуре. Ниже областью действия сил называется отрезок от x1 до xN (где U ̸= 0).Для описания волновой функции вне этой области мы обозначаем√√κ = 2m|E|/~ при E < 0,k = 2mE /~ при E > 0.(2.17а)Техника работы с таким потенциалом идейно проста. Выберем сначала какое-нибудьзначение энергии E. На каждом отрезке, где потенциал имеет постоянное значениеU(x) = Ui , решение уравнения Шредингера ψ ′′ + [2m(U − E) /~2 ] ψ = 0 имеет вид√Ai e iki x + Bi e −iki x , ki = 2m(E − Ui) /~ при E − Ui > 0 ;(2.17б)√Ai e −κi x + Bi e κi x , κi = 2m(Ui − E) /~ при E − Ui < 0 .Иногда вместо суперпозиции экспонент удобно использовать суперпозиции синусаи косинуса (обычного или гиперболического).В рассматриваемой физической задаче правее точки xN (вне области действиясил) из пары экспонент остаётся только одна, при E < 0 это – Ae −κx(в дискретном спектре волновая функция убывает при x → ∞), при E > 0 это –Ae ikx (в непрерывном спектре это – прошедшая волна), – по смыслу обозначений Aстоит вместо AN +1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
