1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 12
Текст из файла (страница 12)
После этого применение правил сшивки (2.15) при x = xN позволяет выразить коэффициенты AN и BN через A. Точно так же на границе x = xN−1использование правил сшивки позволяет выразить коэффициенты AN−1 и BN−1 через AN и BN , и стало быть через A. Такое последовательное применение правилсшивки позволяет в конце концов определить коэффициенты A1 и B1 – волновуюфункцию слева от области действия сил. Дальнейшие действия немного различаютсяпри положительных и отрицательных E. Они обсуждаются в следующих параграфах.Примерно такой алгоритм реализован в компьютерном классе НГУ (программа Quant-S, см.
прил. А и [13]). С помощью этой программы удаётся рассмотреть колоссальное многообразие ситуаций, возникающих при варьировании формыпотенциала, для задач о спектре состояний и их свойствах, о прохождении волни волновых пакетов и их эволюции со временем.Модель кусочно-постоянного потенциала хорошо описывает основные черты состояний с E < 0 (связанных), не вводя новых явлений по сравнению со случаем гладкого потенциала.
Напротив, для состояний с E > 0 (непрерывный спектр) моделькусочно-постоянного потенциала содержит явления, отсутствующие или пренебрежимо малые для случая гладкого потенциала. Для простой прямоугольной ямы илибарьера зависимость от энергии у коэффициента прохождения имеет максимумы,отвечающие резонансным отражениям на границах постоянства потенциала. Такихрезонансных отражений на гладком потенциале, вообще говоря, нет.§ 2.6.Одномерная задача. Дискретный спектрПри E < 0 выполнимо условие нормировки в форме (1.11).
Сходимость интеграла(1.11) означает, что ψ (x) достаточно быстро спадает при |x| → ∞, т. е.ψ (x) → 0 при |x| → ∞.(2.18)46Глава 2. Состояния и их эволюцияЭто граничное условие для ψ (x) вместе с требованием непрерывности может удовлетворяться только для некоторых значений E. Это и есть собственные значениягамильтониана En – возникает дискретный спектр.Для кусочно-постоянного потенциала рис.
2.1 сначала при произвольной энергииE справа от области действия сил, при x > xN , выбирается решение, удовлетворяющее граничному условию Ae −κx . Последовательное применение правил сшивки даётслева от области действия сил, при x < x1 , решение в видеψ = A1 e −κx + B1 e κx .(2.19)Коэффициенты A1 и B1 выражаются через параметры потенциала и энергию E. Этовыражение определяет решение, отвечающее связанному состоянию, только если коэффициент при растущей налево экспоненте в этом выражении A1 = 0. Это условиеи есть уравнение на собственные значения гамильтониана в дискретном спектре.• Перечислим некоторые общие свойства решений одномерной задачи.
(Для двумерной и трёхмерной задач подобные свойства либо не обязательно выполняются,либо вообще не формулируются.)♢ Дискретные уровни невырождены. Действительно, пусть ψ1 (x) и ψ2 (x) – дверазные собственные функции Ĥ , отвечающие одному значению E. В силу граничногоусловия (2.18) и свойства вронскианов (2.14) эти решения не могут быть линейнонезависимыми, т. е. они совпадают (с точностью до нормировки).♢ Можно выбрать фазы собственных функций задачи так, чтобы все они былидействительными.♢ Волновая функция ψn (x), отвечающая n + 1–му по величине собственному значению En , обращается в ноль n раз при конечных x (примеры – потенциальный ящик, осциллятор).
Между двумя любыми нулями n+1–го состояниялежит ровно один ноль n-го состояния (осцилляционная теорема, см. [1,2,8]).В соответствии с этой теоремой, волновая функция основного состояния не меняет знака на всей оси x. Ортогональность состояний, отвечающих разным значениямэнергии, обеспечивается знакопеременностью волновых функций. Качественно этоможно понять так, что кинетическая энергия тем меньше, чем меньше производнаяdψ /dx, т.
е. чем «глаже» волновая функция.♢ При преобразовании U(x) → ñ2 U(x/ñ) энергия состояния меняется какE → ñ2 E (закон подобия).2.6.1. Прямоугольная потенциальная ямаВажный пример доставляет решение задачи об уровнях энергии в прямоугольнойпотенциальной яме на бесконечной прямой с x1 = −a, xN ≡ x2 = a:{−Vпри |x| < a,U(x) =(2.20)0при |x| > a.√√В обозначениях √(2.17) κ = 2m|E|/~, k1 = 2m(V − |E|) /~ и, кроме того, мыобозначим k0 = 2mV /~.
При этом k21 = k20 − κ 22.6. Одномерная задача . Дискретный спектр47При произвольной энергии E < 0, стартуя от волновой функции, обращающейсяв нуль при x → ∞, с помощью последовательного применения правил сшивки,описанного выше, мы получаем волновую функцию при x < −a в виде (2.19) с)(k2 − κ 2A1 (κ) = Ae −2κa cos2k1 a − 1sin 2k1 a ,2k1 κ(2.21)2kB1 (κ) = A 0 sin 2k1 a.2k1 κГраничное условие ψ (x) → 0 при x → −∞ означает, что решение существует толькопри A1 (κ) = 0. Это даёт уравнение для определения уровнейcos2k1 a −k21 − κ 2sin 2k1 a = 0 .2k1 κ(2.22)♢ Рассматриваемая задача обладает симметрией x ↔ −x.
Поэтому чётностьздесь сохраняется. Поучительно повторно решить задачу, используя этот закон сохранения. В соответствии с обсуждением § 2.2, удобно искать общие собственныесостояния гамильтониана и оператора пространственного отражения, т. е. отдельночётные и нечётные состояния:ψ (x) =чётные состоянияC cos k1 xпри |x| < a,Be −κ (|x|−a) при |x| > a,нечётные состоянияA sin k1 xпри |x| < a,±Be −κ (|x|−a) при a < |x| .Записав в каждом случае условия непрерывности для ψ ′ (x) и ψ (x) в точкеx = a и поделив одно из получившихся равенств на другое, получаем уравнениядля определения энергии уровней (как уравнения для определения k1):чётные состоянияκ=tg k1 a =k1√(k0 a) 2 − (k1 a) 2,k1 aнечётные состоянияtg k1 a = −k1 ak1≡ −√.κ(k0 a) 2 − (k1 a) 2(2.23)Перепишем эти уравнения в виде равенств sin k1 a − Ri cos k1 a = 0 и перемножимих.
В итоге получается уравнение (2.22). Это значит, что уравнения (2.22) и (2.23)эквивалентны.Полученные уравнения позволяют определить величину k1 a через единственныйпараметр задачи k0 a, определяющий и положения и число уровней. В таком видеуравнения допускают простые графические решения (пересечение графиков величины tg k1 a и объекта в правой части каждого из уравнений (2.23) или (2.22), причёмформа (2.23) немного удобнее для анализа).
Точки пересечения определяют наборрешений kn (или En), т. е. энергия квантуется. Уравнение для чётных состояний имеет решение при сколь угодно малом значении k0 a. Уравнение же нечётных состоянийимеет решение только при k0 a > π /2, т. е. U > Un0 = (π~) 2 / (8ma2).Для очень глубокой ямы k0 a ≫ 1 при небольших k1 коэффициент при синусе в правой части (2.22) обращается в бесконечность, и уравнение принимает видГлава 2. Состояния и их эволюция48sin 2k1 a = 0, т.
е. даёт тот же ответ, который получался для бесконечно глубокойямы – на длине ямы должно уместиться целое число полуволн. Иначе говоря,приближение бесконечно глубокой ямы хорошо описывает глубокие уровни конечной ямы. Это уравнение показывает, что полное число уровней в яме составляетцелую часть величины (2k0 a/π + 1).Случай E = 0.
Заслуживает внимания случай нулевой энергии для такого потенциала, который в некоторых областях обращается в нуль. В этих областях уравнение Шредингера принимает вид −(~2 /2m)ψ ′′ = 0, и его решение имеет вид линейнойфункции координаты, ψ = Ax + B. При E = 0 требование нормируемости волновойфункции |ψ (x)|2 dx = 1 исчезает, т. к. решение находится на границе непрерывногоспектра, где при E = 0 волновая функция Ce ikx обращается в константу (A = 0).Именно такой вид имеет волновая функция снаружи области потенциала. Если параметры потенциала таковы, что решение с E = 0 существует, то это значит, что приэтих значениях параметров имеет место «выталкивании уровня» (уровень исчезаетпри соответствующем небольшом изменении параметров потенциала).Этот приём полезен, если потенциал выглядит как несколько ям с областямиU = 0 между ними.
В качестве примера рассмотрим прямоугольную потенциальную яму (2.20). Внутри ямы волновая функция имеет вид C cos(k0 x + ϕ), а условия сшивки (2.15а) сводятся к требованию непрерывности производных на краях ямы, sin(±k0 a + ϕ) = 0. Эти условия имеют решения только при 2k0 a = nπ(внутри ямы укладывается целое число полуволн с k = k0), a ϕ = 0 при чётном nи ϕ = π /2 при нечётном n.2.6.2. Мелкая яма, δ-ямаВажный пример, результаты исследования которогополезны для многих прило∫жений, доставляет мелкая яма – случай, когда U(x)dx < 0, и среднее значениепотенциала по области, где он отличается от нуля (|x| < a), мало по сравнениюс характерной кинетической энергией локализации в этой области ~2 / (2ma2).
Подругому, это потенциал с характерной величиной U0 и размером a, быстро убывающий при |x| ≫ a, если для него U0 ≪ ~2 / (2ma2) (например, прямоугольная яма приk0 a ≪ 1.) В такой задаче существует единственное связанное состояние – основное,и энергия основного состояния −E по величине значительноменьше U0 , а радиус√убывания соответствующей волновой функции 1/κ = ~/ 2mE ≫ a.Рассмотрим волновую функцию в точках x = ±x1 , выбранных так, что x1 ≫ aи одновременно x1 ≪ 1/κ. В этих точках можно считать U(±x1) = 0.
В то же время, поскольку масштаб изменения волновой функции с координатой определяетсявеличиной 1/κ ≫ x1 , можно считать в хорошем приближении ψ (x1) = ψ (−x1). Чтобы получить соотношения для производной волновой функции, запишем уравнениеШредингера ψ ′′ (x) = [2m(U(x) − E)] /~2 · ψ и проинтегрируем его от −x1 до x1 . При]∫x1 [этом получается ψ ′ (x1) − ψ ′ (−x1) =(2mU(x) /~2) − (2mE/~2) ψ (x)dx .−x1При вычислении интеграла можно пренебречь изменением ψ в правой части, т. е.считать что всюду внутри интервала интегрирования например ψ (x) = ψ (x1).
Помимо2.6. Одномерная задача . Дискретный спектр49этого, как мы говорили, |E| ≪ U0 . Поэтому можно пренебречь и вторым членомв квадратных скобках. В итоге соотношение между производными приобретает видψ ′ (x1) − ψ ′ (−x1) = −gψ (x1) ,g = −(2m/~2)∫x1−x1U(x)dx → (2mG/~2) ,гдеG=−∫∞U(x)dx .(2.24)−∞Предельный переход обеспечивается тем, что потенциал достаточно быстро убываетпри |x| ≫ a. Ясно, что изменение масштаба координат a с сохранением параметраg мало что изменит в решении. В частности, при a → 0 потенциал принимает видδ-функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
