1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(4.29)2m22m22( 2)ω1 b2Квадраты частот колебаний Ωi – собственные числа матрицы.b ω22Если |b| > ω1 ω2 , частота Ω2 получается мнимой, система неустойчива.Для каждого из получившихся осцилляторов операторы уничтожения и рожденияâkz и â+kz (4.3) строятся стандартным образом, в терминах величин p̂i ≡ −~d/dxiи xi , входящих в исходный гамильтониан (4.27), они имеют вид()][mΩ1dd~â1z = √c+s,x1 c + x2 s +mΩ1dx1dx2~[()] 2(4.30)mΩ2~dd+()â2z = √−x1 s + x2 c +−s+c; â+≡â.kzkzmΩ2dx1dx22~С помощью этих операторов гамильтониан и уровни энергии записываются в виде+Ĥ = ~Ω1 (â+1z â1z + 1/2) + ~Ω2 (â2z â2z + 1/2) ;En1 n2 = ~Ω1 (n1 + 1/2) + ~Ω2 (n2 + 1/2) .(4.31)1 Случай неодинаковых масс частиц p̂ 2 2m → p̂ 2 2m , bm → b √m m сводится к рассмотренному в1 2k /√ k√ k/тексте заменой переменных xk = yk / mk , p̂k = p̂yk mk (k = 1, 2).Глава 4.
Гармонический осциллятор74Волновые функции1â+n1 â+n2 ψ00 (z1 , z2);n1 !n2(! 1z 2z√)ψ00 (z1 , z2) = ψ0 (z1 /z10)ψ0 (z2 /z20)zk0 = ~/mΩk .ψn1 n2 = ψn1 (z1 /z10)ψn2 (z2 /z20) = √(4.32)Подстановка сюда (4.30) и выражений (4.25) для функций ψ0 даёт выражения этихфункций через первоначальные координаты x1 и x2 .При некоторых значениях параметров уровни становятся вырожденными, система обладает симметрией, которая может быть не видна в исходном гамильтониане(4.27) (скрытая симметрия).• Двумерный симметричный осциллятор.
При b = 0, ω1 = ω2 = ω системаобладает явной симметрией относительно вращений в плоскости (x1 , x2) ≡ (z1 , z2).В терминах операторов рождения и уничтожения гамильтониан принимает простую+форму Ĥ = ~ω (â+1 â1 + â2 â2 + 1). Соответствующие значения энергииEn = ~ω (n + 1) ,где n = n1 + n2 ,(4.33)вырождены (n + 1) – кратно (одно и то же n получается при n1 = 0, n2 = n,при n1 = 1, n2 = n − 1, при n1 = 2, n2 = n − 2 и т. д.). В силу (2.12) это означает, что существует по крайней мере два различных оператора, коммутирующихс гамильтонианом и не коммутирующих друг с другом.В нашем случае можно выбрать в качестве таких операторов(1)A2 = â+1 â2и(2)A1 = â+2 â1 .(4.34)Легко проверить, что эти операторы перестановочны с гамильтонианом, но мывоспользуемся другим поучительным приемом.
Обозначим собственное состояниенашего осциллятора с заданными значениями n1 и n2 через |n1 , n2 ⟩. Тогда√√(1)(2)A2 |n1 , n2 ⟩ = (n1 + 1)n2 |n1 +1, n2 −1⟩, A1 |n1 , n2 ⟩ = (n2 + 1)n1 |n1 −1, n2 +1⟩ .Иными словами, действие этих операторов на собственное состояние |n1 , n2 ⟩ сохраняет сумму n1 +n2 = n, т. е. и энергию, и значит, они коммутируют с гамильтонианом.Геометрический смысл этой симметрии станет более прозрачным, если перейтиот (4.34) к другой паре операторов, оператору проекции момента импульса на ось z,который прямо получается из (4.3), и не коммутирующему с ним оператору B̂:(1)(2)+++L̂z = x p̂2 − y p̂1 = −i~(A2 − A1 ) ≡ −i~(â+1 â2 − â2 â1), B̂ = â1 â2 + â2 â1 . (4.35)Нетрудно убедиться, что эти операторы не коммутируют между собой:(1)(2)+[A2 , A1 ] = −(â+1 â1 + â2 â2) ,+[L̂z , B̂] = 2i~(â+1 â1 + â2 â2) .• Менее тривиальный пример√ скрытой симметрии с вырождением Ω1 = 2Ω2возникает при 3(ω12 + ω22) = 5 (ω12 − ω22) 2 + b 2 .
Спектр энергий можно записать ввиде ~Ω2 (N +3/2), где N = 2n1 +n2 и кратность вырождения равна n+1 при N = 2nи при N = 2n + 1. Нетрудно построить дополнительные сохраняющиеся операторы(2)(1)2по образцу (4.34), это B̂1 = â2+2 â1 и B̂2 = â+1 â2 . Описание соответствующейгеометрической симметрии предоставляется читателю.4.2. Решение с помощью разложения в ряд§ 4.2.75Решение с помощью разложения в рядЗапишем уравнение Шредингера для осциллятора в безразмерных переменных:d 2 ψ /dξ 2 = (ξ 2 − 2ε)ψ.2При ξ → ± ∞ оно упрощается: ψ ′′ ≈ ξ 2 ψ, и из него получается ψ → e ±ξ /2 , граничные условия (2.18) выбирают знак минус в показателе экспоненты.2v получается уравнениеИщем решение в виде ψ = e −ξ /2 v(ξ). Для функции ∑v ′′ − 2ξv ′ + (2ε − 1)v = 0.
Далее ищем v в виде ряда v =an ξ n . Подставляя этотряд в уравнение, получаем∑ξ n [(2ε − 2n − 1)an + (n + 1) (n + 2)an+2 ] = 0.nОтсюда получается рекуррентное соотношение для коэффициентов an :an+2 =2n + 1 − 2εan .(n + 1) (n + 2)При больших n это соотношение принимает вид lim (an+2 /an) = 2/n → 0, котоn→∞рый обеспечивает сходимость ряда для всех ξ. Однако с ростом величины ξ → ±∞2такое решение растет слишком быстро v(ξ) → e ξ . Это соответствует отброшенному решению уравнения, для которого не выполняется граничное условие (2.18),т.
к. ψ (ξ → ±∞) → ∞. Граничное условие выполняется, только если ряд для v(ξ)обрывается на каком-нибудь n-м члене, т. е. если 2n + 1 − 2ε = 0. Это и есть условие для определения собственного значения гамильтониана – энергии осциллятора(4.9). При этом волновые функции имеют вид (4.26), коэффициенты входящих сюдаполиномов Эрмита связаны приведёнными выше рекуррентными соотношениями.§ 4.3. «Нулевые колебания» осциллятора и возможности ихнаблюденияНа первый взгляд, слагаемое ~ω /2 в энергии осциллятора (4.9) не имеет серьёзного смысла, поскольку может быть устранено простым сдвигом начала отсчётаэнергии («перенормировка энергии»).
Во многих случаях такой подход оправдан.Однако здесь надо быть осторожным, поскольку существуют физические явления,в которых «нулевые колебания» осциллятора приводят к наблюдаемым эффектам.• Дифракция на кристалле. Условия дифракции рентгеновских лучей или нейтронов на трёхмерном идеальном кристалле приводят к тому, что дифракционнаякартина представляет собой набор точек (дифракция Вульфа–Брэгга, см. [17,18]).В реальном кристалле ионы смещаются из точек равновесия из-за теплового движения. Поэтому точки дифракционной картины размываются в небольшие пятна.При понижении температуры размер этих пятен уменьшается, и естественно ожидать, что при T → 0 пятна превратятся в точки, размер которых определяется толькозернистостью приемника.В действительности, колебания ионов кристалла представимы в виде нормальных гармонических колебаний решётки (см.
§ 7.3), каждое из которых при нулевой76Глава 4. Гармонический осциллятортемпературе имеет нулевые колебания и соответствующий разброс координат (4.16)даже при n = 0. Поэтому даже при нулевой температуре положения ионов отличаются от идеальной периодичности, и рентгеновские блики представляют собой неточки, а пятна.Для одного осциллятора с частотой ω амплитуда нулевых колебаний имеет вид(4.16) ⟨x 2 ⟩0 = ~/ (mω).
В кристалле каждый ион участвует в разнообразных колебаниях решётки (см. ниже, § 7.3) со спектром (плотностью числа колебаний на единицуинтервала частот) ρ(ω). В квадрате смещения иона от положения равновесия вкладывсех этих колебаний складываются так, что∫~⟨x 2 ⟩0 ∝ρ(ω)dω .(4.36)mω(Интеграл сходится, поскольку обычно при малых ω имеем ρ(ω) ∝ ω 2 и спектрвозможных частот колебаний в кристалле ограничен сверху.) Эта величина и определяет размер рентгеновских бликов при нулевой температуре – ещё один источниксведений о спектре колебаний данного кристалла.При конечной температуре T учёт вкладов c n ̸= 0 (с Планковским распределением) добавляет под интеграл множитель cth (~ω / (2kT)).
Получившуюся величинуназывают фактором Дебая–Валлера – см. также (7.47).• Давление вакуума (силы Казимира). Электромагнитные колебания в объёмных резонаторах можно представить себе как набор осцилляторов с длинами волн,отвечающими целому числу полуволн по каждому из направлений. Энергия каждогоиз этих осцилляторов не меньше, чем ~ω /2 (см. подробнее §13.3). При увеличенииразмеров полости набор возможных частот осцилляторов увеличивается, увеличивается и суммарная энергия «нулевых колебаний ваккуума». В бесконечном пространстве набор частот электромагнитных колебаний бесконечен,и в расчётах гро∑зят появиться бесконечные расходящиеся выражения типа~ωi /2.
На самом деле,спектр электромагнитных колебаний вакуума ограничен сверху, например, условием ~ω < 2me c 2 (рождение e + e − пар из вакуума), и этот спектр не непрерывен,как это было бы в случае бесконечного пространства, а дискретен, поскольку нашепространство конечно, т. е. указанные бесконечности должны превратиться простов очень большие числа. Однако в доброкачественной теории наблюдаемые эффектыне могут зависеть от деталей явлений при сверхбольших или сверхмалых расстояниях, в соответствии с общим принципом:хорошее описание явлений в какой-либо области параметров окружающегомира включает только объекты, определяемые в этой области параметров.В соответствии с этим энергию нулевых колебаний часто принимают за началоотсчёта и исключают из анализа.
Тем не менее, учёт нулевых колебаний приводитк наблюдаемому эффекту – давлению на металлическую пластинку, обусловленномуразностью энергий электромагнитного поля с двух её сторон.Подчеркнём, что в последующем вычислении речь идет только о колебанияхэлектромагнитного поля, поскольку лишь это поле поглощается в металле. В частности, например, гравитационное поле не даёт вклада в обсуждаемые силы.4.3. «Нулевые колебания» осциллятора и их наблюдение77H Рассмотрим три параллельных металлических пластины 1, 2 и 3, перпендикулярных оси z так, что расстояния между пластинами 1 и 2 составляют ℓ, а междупластинами 2 и 3 – L, и L ≫ ℓ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
