1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 23
Текст из файла (страница 23)
После этой диагонализации проблема деления наноль исчезла, и задача свелась к предыдущей.• Обычно вырождение возникает в силу наличия какой-то симметрии невозмущённого гамильтониана (ср. § 2.2) (в нашем случае – относительно вращенийв плоскости (x, y)). Если возмущение обладает той же симметрией, его недиагональные матричные элементы по состояниям, принадлежащим вырожденному уровню, – нули (а все диагональные совпадают), и проблемы не возникает.
Если жевозмущение не обладает этой симметрией, т. е. полный гамильтониан описывает систему с нарушенной симметрией, то при неудачном выборе исходного базиса недиагональные матричные элементы возмущения – не нули. Задача состоитв выборе базиса, диагонализующего возмущение в каждом из подпространств, принадлежащих данному невозмущённому значению энергии.Общее решение. Рассмотрим в уравнении (5.6) в качестве состояния |k⟩0(0)одно из состояний |ni⟩0 .
Тогда в нулевом порядке по ε получается тождество En =(0)0En и не возникает уравнений для cnj,ni. (Если взять в качестве состояния |k⟩0 любое00из состояний |ma⟩0 с Em ̸= En , то немедленно получается cnj,ma = 0.) Системауравнений для cn0 j,ni получается в первом порядке по ε:∑(1)0(Vi j − Enαδij)cnα,nj= 0.(5.13)Решения этой системы однородных уравнений для коэффициентов cα0 j – не нули,только если обращается в ноль определитель, составленный из коэффициентов принеизвестных:(1)det |Vij − Enαδij | = 0.(5.14)1Это уравнение называют секулярным.
Оно имеет s корней Enα– собственныхзначений матрицы Vi j – первых поправок к значению энергии вырожденного уровня.5.4. Теория возмущений при наличии вырождения91Поэтому, в частности,s∑1Enα=∑Vii(≡ Tr(V)).α=11При каждом из собственных значений Enαсистема (5.13) позволяет выразитьs−1 коэффициент cα j через один из них. С учётом условия нормировки определяютсявсе эти коэффициенты, т. е. «повернутые» собственные векторы задачи|α⟩ =∑cα j |n j⟩0 .(5.15)jДальнейшие поправки отыскиваются так же, как и в невырожденном случае.В некоторых случаях качество ответа улучшается, если использовать в энергети(0)(0)ческих знаменателях не разности En − Em , а энергии уровней, подправленныес учётом результатов описанной выше диагонализации1 .Пример. Для двухуровневой системы секулярное уравнение принимает вид(s = 2) :(1)⇒ E± = V11 − E (1)V21V12V22 − E (1)V11 + V22 ± ∆E, где U = V11 − V22 ,2 =0 ⇒(5.16)√∆E = U 2 + 4|V12 |2 .Соответствующие волновые функции (5.15) в этом случае имеют вид|+⟩ = c1+ |1⟩ + c2+ |2⟩,√∆E + Uc1+ = −c2− =,2∆E|−⟩ = c1− |1⟩ + c2− |2⟩;√∆E − Uc2+ = c1− =.2∆E(5.17)Системы с близко расположенными уровнямиРассмотрим теперь «близкие к вырождению» системы, где состояния разбиваются на группы с близко расположенными уровнями, а энергетические расстояниямежду группами достаточно велики.
(Часто это системы со слабо нарушеннойсимметрией.) При этом в ряду теории возмущений появляются слагаемые с малымизнаменателями, сходимость ряда ухудшается.Ситуация улучшится, если ввести «гамильтониан асимметрии» ∆Ĥ , собственными значениями которого являются отклонения невозмущённых энергий в группе откакого-то среднего значения. После этого можно воспользоваться методом, изложенным выше, и рассмотреть задачу о диагонализации «гамильтониана» ∆Ĥ + V наподпространстве Cs .1 Случается, что вырождение не снимается в первом порядке теории возмущений, но снимается в болеевысоких порядках. Видоизменение способа действия для таких задач представляется очевидным.Глава 5. Вариационный метод . Теория возмущений92Итак, обозначим через εi невозмущённые энергии состояний группы.
Повторяявыкладки случая с вырождением для каждой из этих групп, мы придем к уравнениямвида (5.13), (5.14) с заменой11Vij − Enαδij ⇒ Vij − (Enα+ εi)δij .(5.18)Окончательный ответ имеет тот же вид, что и в случае вырождения, с заменойVii → Ṽii = Vii + εi . В частности, для двухуровневой системы секулярное уравнениелегко получается из (5.16), V11 + ε1 − E (1)V12 = 0,(5.19)V21V22 + ε2 − E (1) а собственные функции состояний с этой энергией имеют вид (5.17) с элементарнымивидоизменениями.Полезно заметить, что при |V12 | ≪ |ε1 − ε2 | отсюда, как и следовало ожидать,получаются формулы обычной теории возмущений без вырождения (с точностью довторого порядка в энергии):|V12 |2,ε1 − ε2V12|+⟩ = |1⟩ +|2⟩,ε1 − ε2(1)E+ = ε1 + V11 +(1)E− = ε2 + V22 +|−⟩ = |2⟩ +|V12 |2,ε2 − ε1V21|2⟩.ε2 − ε1▽ Рассмотрим, как меняются положения получившихся уровней с изменениемвозмущения. Будем описывать это изменение параметром ξ. Пусть при некоторомξ = ξ0 оказывается V11 = V22 .
Тогда – на первый взгляд – при переходе от ξ > ξ0к ξ < ξ0 уровни E+ и E− поменяются местами: тот из них, который был выше,станет ниже, и наоборот – произойдет пересечение уровней. На самом деле, этоне так. Для действительного пересечения уровней, когда они в точности совпали бы, требуется, чтобы в (5.16) было ∆E = 0. Для этого недостаточно условияṼ11 (ξ) = Ṽ22 (ξ), необходимо ещё, чтобы было V12 (ξ) = 0. Это – два разных уравнения для одной величины ξ, обычно их одновременное решение отсутствует (еслипри этом не восстанавливается старая симметрия или не появляется новая). Пересечение уровней – очень редкое событие в природе.§ 5.5.«Улучшенная» теория возмущенийКачество приближения теории возмущений для поправок к энергии можно улучшить, если дополнить это приближение вариационным методом.Рассмотрим для примера выражение для энергии основного состояния в первомприближении теории возмущений E0 + V00 и заменим при его вычислении известную волновую функцию основного состояния на некоторую схожую пробную функцию, например ψ0 (r) → ψ0 (Ar).
При этом энергия станет известной функцией от A,E0 + V00 → E0 (A) + V00 (A). Минимизируя получившуюся функцию по A, мы найдемулучшенное значение поправленной энергии основного состояния.5.6. Задачи§ 5.6.93Задачи1. Используя (5.1), показать, что при переходе от потенциала U(x) к потенциалуU(x) + ∆U(x) с ∆U(x) 6 0 энергия основного состояния уменьшается.2. С помощью вариационного метода и используя пробные функции трёх типов22(α) Ce −x /2a ; (β) Ce −|x|/a ; (γ) {1 − |x|/a при |x| < a, 0 при |x| > a} , найти3.4.5.6.7.8.энергию и волновую функцию основного состояния для следующих систем:а) гармонический осциллятор, пробные функции α и β;б) ангармонический осциллятор U = mω 2 x 2 /2 + εx 4 , пробная функция α;в) яма U = −Gδ (x), пробные функции α, β и γ;г) поле U(x) = F |x|, пробная функция β.Получите (5.10).Бесконечный осцилляторный потенциал в природе не реализуется.
В реальностина больших расстояниях рост потенциала «останавливается». Выбрав( в качестве)модели такой остановки замену в потенциале осциллятора x 2 → x 2 / 1 + x 2 /b 2 ,оценить качество приближения эквидистантности уровней осциллятора для разных его уровней с помощью (5.10).Вычислите в первом неисчезающем приближении поправки к уровням под действием возмущения V в следующих полях U:mω 2 (x 2 + y 2)а) U(x, y) =, V = αxy;2{2πx0 при |x| < a,б) U(x) =V = (α) Gδ (x), (β) C cos;∞ при |x| > a,aL̂2∂в) Ĥ0 = z ; (L̂z = −i~ ); V = V0 cos(φ − α) (основное и два первых возбуж2I∂φдённых состояния);г) U(r) = mω 2 r2 /2; V = γx 2 y 2 .д) U(x, y) = mω 2 [(4 + 4ε)x 2 + y 2 ] /2 (ε ≪ 1); V = axy 2 .
Найти поправки к трёмнижним уровням. Особо рассмотреть случай ε = 0 (резонанс Ферми).При G ≫ δG найти уровни энергии частицы в полеV = −(G + δG)δ (x − a) − (G − δG)δ (x + a).Рассмотреть ещё случай 2mGa/~2 ≪ 1.Как меняется среднее значение координаты ⟨x⟩ с ростом энергии уровня для осциллятора Ĥ = p̂ 2 /2m + mω 2 x 2 /2 с возмущением V = A~ω (x/x0) 3 (5.10)? Свяжите ответ с задачей о расширении твёрдого тела.Изобразите качественно типичную зависимость уровней от параметра ξ при переходе через точку V11 = V22 для задачи о «пересечении уровней», обсуждавшейсяв конце § 5.4. Для примера рассмотрите какой-нибудь конкретный пример такойзависимости.Глава 6Квазиклассический случайЕщё один формально последовательный метод приближённого решения квантовомеханических задач работает в случаях, когда потенциал – плавная функциякоординаты так, что почти всюду дебройлевская длина волны λ мала по сравнению с масштабом изменения потенциала d и меняется с координатой медленно(грубо говоря, параметр малости – λ/d).
Это близко к картине приближения лучей в классической оптике, которое, в свою очередь, допускает описание, подобноеклассической механике. В этом подходе сначала строится классическое описание,а затем отыскиваются квантовые поправки. Формально этот – квазиклассический– случай (приближение Венцеля–Крамерса–Бриллюена – ВКБ) реализуется, когдавеличины размерности действия велики по сравнению с постоянной Планка ~. Интерес к этому случаю подкрепляется тем, что в соответствующих задачах хорошеепредставление о результате получается с помощью классической аналогии.Квазиклассическое приближение удобно строить как разложение по степеням~. Такое разложение по размерному параметру, строго говоря, не имеет смысла.
Ксожалению, записать соответствующий безразмерный параметр в простой универсальной форме для общего случая не удаётся. Если для потенциала можно указатьхарактерный масштаб энергии U и характерный масштаб его изменения a, то можно ожидать, что квазиклассическое описание будет справедливо, если характернаявеличина кинетической энергии, связанная с локализацией в области действия потенциала ~2 / (2ma2), мала по сравнению с характерным значением потенциала,ξ2 =~2≪12ma2 U(6.1)(иными словами, если локализация частицы в области действия потенциала мало меняет её классическую энергию).
Это глобальное условие определяет возможностьиспользования квазиклассического подхода, но не гарантирует, что квазиклассическое приближение применимо в любой точке. Локальное условие применимостиквазиклассического приближения обсуждается на стр. 97. В условиях применимостиприближения (6.1) разложение по степеням постоянной Планка можно трактоватькак разложение по степеням ξ. (Для гармонического осциллятора и кулоновской за-6.1. Волновая функция . Условие применимости приближения95дачи указать характерную величину потенциала и радиус его действия невозможно.Поэтому критерий (6.1) для этих полей не работает, и применимость квазиклассического приближения обеспечивается только локальным условием.)Фактически квазиклассический метод применялся для описания распространения гидродинамических и электромагнитных волн в слоистых средах, колебаний мембран, аэродинамики движущегося снаряда и в ряде других задач, зачастую задолго досоздания квантовой механики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
