1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Нанижнем берегу меняется и знак величины α′ и направление обхода, т. е. вклады обоихберегов в ответ складываются. При этом интеграл I1 можно распространить на весьотрезок между точками поворота, поскольку вблизи этих точек подынтегральное выHbражение мало, т. е. I1 = [ip(x) /~] dx . Здесь контурность интеграла отвечает ужеaклассическому движению в обе стороны (по всему периоду классического движения– от a до b и от b до a).Для вычисления интеграла I2 заметим, что вдали от точек поворота его вкладмал в силу условия применимости квазиклассического приближения (|~S1′ | ≪ |S0′ )).Таким образом, остаются только вклады разрезанных окружностей, причём ширина разреза в нашем пределе стремится к нулю. В окрестности точки √поворота выражение для p(x) (6.2) можно записать в виде разложения p = Ri x − xi ,и p ′ / p = 1/ [2(x − xi)] , где xi = a, b.
Вводя на каждой окружности полярныекоординаты x = ρe iϕ + xi , мы найдем, что интеграл по окружности составляет6.2. Правила квантования Бора–Зоммерфельда . I(1/2)∫[ p ′ (x) / p(x)] dx = (1/4)i∫99dϕ = iπ /2. Вклад другой окружности имеет ту жеCвеличину.
В итоге I2 = πi, и мы получаем условие квантования Бора–Зоммерфельдав видеIbIb √α~ ≡p(x)dx ≡2m(E − U(x)) dx = 2π~(n + 1/2) ,(6.7)aaгде контурный интеграл отвечает интегрированию по всей классически достижимойобласти по обоим направлениям движения (по полному периоду классического движения), причём смене направления движения по x отвечает смена знака импульса(другое значение корня).Полученный ответ означает, что в классически допустимой области укладываетсяn полуволн (как в прямоугольной яме).
Вклад 1/2 возник из-за отличия «гладкой»ямы от прямоугольной.В классической механике интеграл во втором выражении (6.7) это – адиабатический инвариант. В ранней версии квантовой механики (Бор) постулировалосьправило квантования, состоящее в требовании, что адиабатический инвариант есть2π~n, что при больших n близко к правильному соотношению (6.7).• Нормировка и т. п.
Чтобы нормировать волновую функцию, надо вычислитьинтеграл от квадрата её модуля. При этом достаточно учесть только вклад классически доступной области (вне этой области волновая функция быстро убывает): x∫a∫2IAdx1 = |ψ (x)|2 dx =sin2 k(x ′)dx ′ 2k(x)0[] 0∫a′′I dx 1 − cos(2 k(x )dx )IA2 ~A2 ~dx0√=≈·.44p(x)2m(E − U(x))(В последнем переходе мы учли, что аргумент косинуса не мал, поэтому сам косинусбыстро осциллирует, и его среднее значение близко к нулю).В знаменателе последнего интеграла стоит импульс частицы p(x) = mv(x), гдеv(x) – классическая скорость частицы. Поэтому интеграл равен периоду классического движения частицы (от 0 до a и от a до 0) Tкл , делённому на m.
В итоге√√()4m2mωкл2πA=≡ωкл =.(6.8)~Tклπ~Tкл• Производная по энергии. В дальнейшем мы неоднократно будем использовать выражение для малого изменения величины α (6.7) при небольшом изменениивходящей в это выражение энергии E. Для этого мы вычислим производнуюIIdα11Tкл∂pm=dx =dx =.(6.9)dE~∂E~p~Глава 6.
Квазиклассический случай100Отсюда, в частности, получается, что разность энергий соседних уровней ∆En , которая согласно (6.7) отвечает приращению величины α на 2π, получается из уравнения2π = (dα/dE)∆En . Мы получаем в итоге простое соотношением (которое лежало воснове ранней – непоследовательной – версии квантовой механики):2π~= ~ωкл .∆En ≡ En+1 − En =Tкл• Точные значения энергии уровней можно записать в виде разложения по паqcраметру квазиклассичности ξ (6.1), начиная с квазиклассического значения En :En = Enqc + ξ 2 µn + o(ξ 2) ,(6.10а)причём, как показал В.П. Маслов, для малых n в случае, когда вблизи минимумапотенциал является гладкой функцией координаты (см.
[2])Enqc = O(ξ),µn = O(1) .(6.10б)Это означает, что при малых значениях параметра квазиклассичности ξ квазикласqcсическое выражение En представляет собой хорошее приближение и для состоянийс небольшими n, в том числе даже для основного состояния.Обычно квазиклассическое условие (6.7) даёт хорошее приближение для уровней с большими n даже при не очень малых значениях параметра квазиклассичностиξ. Это подтверждается прямым вычислением в тех задачах, когда энергии уровнейудаётся вычислить и точно. При этом оказывается, что относительное отклонениеквазиклассических значений энергии от точных – порядка O (1/n).• При обсуждении многих задач классической физики используют понятие фазового пространства – пространства, координатами которого являются компонентывсех координат и всех импульсов частиц системы.
В частности, для системы из Nчастиц в трёхмерном пространстве фазовое пространство 6N -мерно, для одной частицы на прямой – двумерно. Классическое движение частицы описывается кривойв фазовом пространстве. Квазиклассическое состояние можно описывать некоторымраспределением плотности в фазовом пространстве.HДля полученных решений фазовая площадь pdx растет линейно с ростом номера состояния n, так что в фазовом пространстве на каждое состояние приходитсяплощадь 2π~, а число возможных состояний в ячейке ∆x∆ p есть∆n = ∆x∆ p/ (2π~).(6.11)(Разумеется, это верно только для достаточно больших n.)§ 6.3.Условия сшивкиНеравенство (6.6б) носит локальный характер, оно может выполняться не привсех x, и положение области его применимости меняется с изменением энергии.
Посоглашению, квазиклассическим называют такой случай, когда на большей частипрямой x квазиклассическое приближение применимо, а для описания остающихся6.3. Условия сшивки101небольших областей используются другие методы. В частности, квазиклассическоеприближение неприменимо вблизи точек поворота (при U(x) ≈ E), где dλ/dx → ∞.Напомним, что волновая функция аналитична во всей комплексной x-плоскости,за исключением, может быть, точек особенности потенциала и бесконечности. Квазиклассические решения уравнения Шредингера представляют∫собой асимптотикиистинной волновой функции при большом значении величины | k(x)dx|.Особенности типа точки ветвления в точке поворота, которые имеют приближённое уравнение (6.3в) и получающиеся асимптотические решения, отвечают несуществу исходного уравнения Шредингера, а используемому приближению.
Поэтому единая асимптотика истинного решения может по-разному выглядеть в разныхобластях в окрестности точки поворота. Правила сшивки и устанавливают соотношение между формами единой асимптотики с разных сторон от этой точки. Чтобы получить эти правила, решения (6.5) достаточно дополнить решением уравненияШредингера в окрестности точки поворота x = a, полученным вне рамок квазиклассического приближения. Здесь можно записать разложениеU(x) = E + F · (x − a) ,(6.12)где F – некоторый коэффициент (сила). Гладкость потенциала обычно обеспечиваетсправедливость этого приближения и на краю квазиклассической области так, чтоточное решение уравнения с потенциалом (6.12) при асимптотически больших отклонениях от точки поворота описывается ещё и квазиклассическим приближением.Естественный способ анализа состоит в изучении изменения асимптотики волновой функции при переходе из одной квазиклассической области в другую придвижении точки x в комплексной плоскости этой переменной в обход точки поворота на таком расстоянии, что условие применимости квазиклассического приближения выполняется на всем этом пути (метод комплексной плоскости, § 6.4).С другой стороны, уравнение Шредингера для потенциала (6.12) сводится к уравнению Эйри, чьи решения – функции Эйри – выражаются через функции Бесселя порядка 1/3.
Эти функции хорошо исследованы, результаты этого исследованияи дают правила сшивки (получаемые обычно с помощью только что упомянутогометода комплексной плоскости). Наконец, можно строить решение и в импульсном представлении, где уравнение Шредингера с потенциалом (6.12)( принимает) видp 2 ψ (p) /2m + iF ~dψ (p) /d p = 0, его решение есть ψ (p) = A · exp ip 3 /6~Fm .
Переход к координатному представлению опять сводится к методу комплексной плоскости. Здесь мы приведем только результат. Введём обозначения∫∫t(x) = κ (x ′)dx ′ ,α(x) = k(x ′)dx ′ + π /4 ,в интегралах пределы – точка поворота и точка x – расставленытак, что функции t(x) и α(x) растут при удалении от точки поворота.(6.13а)Тогда правила сшивки для перехода из классически недостижимой области вобласть классического движения имеют видAA√ e −t(x) ↔ √ sin α(x),2 κkBB√ e t(x) ← √ cos α(x).κk(6.13б)Глава 6. Квазиклассический случай102Нетрудно проверить, что Вронскианы выписанного решения с обеих сторон от точкиповорота совпадают.Если по каким-то причинам волновая функция убывает при x → ∞ (например,этого требует граничное условие (2.18) – условие нормируемости волновой функции), то растущей экспоненты нет, и реализуется именно первое правило (6.13).Если же такого условия строгого убывания нет, растущая асимптотика доминирует,а в её «тени» может «спрятаться» падающая асимптотика с любым коэффициентом,и второе правило не даёт определённого предсказания.Действительная ситуация более благоприятна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
