Главная » Просмотр файлов » 1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388

1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 29

Файл №532685 1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (Гинзбург 2012 - Основы квантовой механики (нерелятивистская теория)) 29 страница1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685) страница 292021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Поэтому интеграл по всему контуру равен нулю. Далее, на действительнойоси k(x) действительна. Поэтому её вклад в искомую мнимую часть обращаетсяв ноль. В итоге при ε → 0 наш интеграл обращается в удвоенный интеграл по путиот x1 = α0 до x0 = α0 + iβ0 ,R=e−4σ,∫x0σ = Im k(x)dx .(6.36)x1VE♢ Случай большой энергии, когда xi±и xi±очень близки друг к другу, требует отдельного рассмотрения. Мне не известно, проводилось ли такое рассмотрениев достаточно общем виде.§ 6.10.Задачи1. Найти квазиклассические уровни энергии и волновые функции:а) для осциллятора; б) для атома водорода;в) для частицы в поле тяжести над непроницаемой плитой.2. Вычислить коэффициенты A и B в законе Гейгера–Нетолла (6.29) для 238 Uс радиусом ядра ∼ 7 fm, E ≈ 2 МэВ, Umax − E ≈ 12 МэВ, расстояние междуточками поворота b − a ≈ 3 · 10−12 см.

Сравнить с известным периодом полураспада урана 4,5 млрд лет.3. Найти коэффициент прохождения в поле U(x) = −mω 2 x 2 /2.116Глава 6. Квазиклассический случай4. Оценить число уровней в яме с потенциалом U(x), имеющим вид(a) − g 2 e −x/a θ (x),(b) f · (|x| − a)θ (a − |x|),()k(x 2 − a2)ββθ (a − |x|),(d)−θ (a − x)θ (x).(c)2ax5.

Найдитеположение и ширину квазистационарных уровней в полях{|x| < a, −V1 приa|x|при |x| < ℓ,v2при a < |x| < a + b, (b) V =(a) V =aℓ + b(ℓ2 − x 2) при |x| > ℓ;0при|x| > a + b;2(c) V = a|x| − bx , (d) V = {∞ при x < 0 , Gδ (x − a) при x > 0},mω 2 x 2+ Ax 3 ,(e) V =2(f) V = {∞ при x < 0 , 0 при 0 < x < a, x > a + b , V при a < x < a + b},(g) V = {∞ при x < 0 , 0 при x < a, x > b , U0 (1 − x/b) при a < x < b}.Для потенциала (a) вычислить также коэффициент прохождения, считая, что приb → 0 появляется виртуальный уровень при небольшой энергии (§ 2.8).

Приконечном b рассмотреть поведение коэффициента прохождения для небольших|E − En |. Показать, что этот коэффициент обращается в бесконечность приE = En −iΓn /2. Найти Γn и сравнить с выражением (6.28). Для потенциала (f) считать V ≫ ~2 / (2ma2), так что уровни можно оценивать как в очень глубокой яме.Для потенциала (g) считать b/a большим. Для потенциала (d) обсудить случаймалопроницаемого барьера G ≫ ~2 /ma.

Для потенциала (e) считать выполненным условие применимости теории возмущений при невозмущённом потенциалеосциллятора (A ≪ ~ωx03).Глава 7Периодическое поле§ 7.1.Основные понятияВ этой главе мы изучим линейные периодические цепочки (одномерный кристалл)и движение частиц в них как основу для понимания многих черт физики твёрдоготела. Особенности трёхмерного случая мы обсудим лишь качественно.Рассматривается линейная цепочка, содержащая N повторяющихся элементов– элементарных ячеек с периодом (постоянной решётки) a, в пределе N → ∞.Переход к бесконечной решётке не тривиален.

Состояния частиц в решётке конечных размеров – стоячие волны (и волны, затухающие при отходе от границ). Различные возможные условия на границах определяют разные фазовые соотношения,возможные в этих волнах. В то же время число ячеек в наблюдаемых решёткахобычно чудовищно велико, и естественно надеяться, что физические результаты независят от деталей граничных условий. Поэтому обычно рассматривают удобныйчастный случай периодических граничных условий, что соответствует кольцу из Nячеек.

При таком подходе переход N → ∞ не встречает трудностей.Обозначим через xn ≡ na координату n-й ячейки.Наша бесконечная решётка не меняется при сдвиге на величину постояннойрешётки a – инвариантна по отношению к таким сдвигам. Поэтому можновыбрать стационарные состояния системы, которые являются собственными функциями оператора конечного сдвига T̂a = exp(ia p̂ /~) (1.28):T̂a ψ (x) ≡ ψ (x + a) = λT ψ (x).(7.1)Какие же значения может принимать величина λT ?Если |λT | ̸= 1, то вероятности пребывания в соседних ячейках решётки различны,а это противоречит инвариантности относительно сдвигов.

(Например, для |λT | < 1амплитуда в точке x − Ka с ростом K неограниченно возрастает!) Поэтому должнобыть |λT | = 1, и можно записать, определяя новую величину q,λT = e iqa .Величину ~q (а нередко и величину q) называют квазиимпульсом.(7.2)Глава 7. Периодическое поле118По определению, изменение q на величину, кратную 2π /a, не меняет факторапериодичности λT . Поэтому физически осмысленный интервал изменения квазиимпульса имеет длину 2π~/a. Принято определять квазиимпульс в интервалеq ∈ (−π /a , π /a] .(7.3)В (кольцевой) цепочке из N ячеек для волновой функции выполняется условиепериодичности:ψ (xn + Na) = ψ (xn) .(7.4а)Подстановка сюда (7.1) показывает, что в этом случае реализуются только такиезначения квазиимпульса, для которыхiqNaλN= 1 ⇒ q = 2πr/ (Na),T ≡er – целое ∈ (−N/2, N/2].(7.4б)Таким образом, число различных значений квазиимпульса (в дальнейшем –число уровней в зоне) совпадает с числом элементарных ячеек кристалла N.Поскольку это число обычно очень велико1 , говорят о непрерывном изменении qв интервале (7.3).При соударениях «частиц» квазиимпульс сохраняется почти так же, как и обычный импульс при столкновении обычных частиц.

Есть, однако, и одно важное отличие. Если полученная сумма ~q1 + ~q2 превосходит величину π~/a, то за сумму принимается величина ~q1 + ~q2 − 2π~/a. Аналогично, если полученная сумма ~q1 + ~q2меньше величины −π~/a, то за сумму принимается величина ~q1 + ~q2 + 2π~/a.Такие сложения квазиимпульсов называют сложением с перебросом.§ 7.2.Движение в периодическом поле7.2.1. Общее рассмотрениеИзучим движение электрона в «замороженной» кристаллической решётке,т. е. в периодическом полеp̂ 2+ U(x);U(x + a) = U(x).(7.5)2mВ этом случае при x → ±∞ взаимодействие не исчезает, и нет оснований выбиратьначало отсчёта потенциала так, чтобы в этом пределе потенциал U → 0.Гамильтониан коммутирует с оператором сдвига T̂a (1.28). В таком поле существуют стационарные состояния, являющиеся собственными функциями операторасдвига, – состояния с определённым квазиимпульсом q.• Перепишем общую собственную функцию операторов конечного сдвига и энергии в виде ψ = e iqx uq (x).

Из (7.1), (7.2) следует, что блоховская амплитуда uq (x)– периодическая функция:(a)∫iqx2|uq (x)| dx = 1 .ψ = e uq (x); uq (x + a) = uq (x),(7.6)Ĥ =01 Такойподход позволяет увидеть и важные свойства кольцевых молекул с не очень большом числомодинаковых элементов N , таких, например, как молекула бензола (N=6).7.2. Движение в периодическом поле119(Здесь выписана также обычная нормировка блоховских амплитуд – на ячейке.) Дляопределения блоховской амплитуды достаточно использовать решение одномерногоуравнения Шредингера на одной ячейкеĤe iqx uqn (x) = En (q)e iqx uqn (x) .(7.7)(Значок q отмечает величину квазиимпульса, а n – порядковый номер решения приданном q.)Набор функций Блоха e iqx uqn (x) полон. По этим функциям можно разложитьпроизвольную волновую функцию электрона в кристалле:1 ∑bqn e iqx uqn (x).ψ (x) = √N q,n(7.8)• Запишем уравнение, комплексно сопряжённое к уравнению Шредингера (7.7)и уравнение для состояния, которое получается из исходного заменой q → −q:Ĥ † e −iqx u∗qn (x) = En (q)e −iqx u∗qn (x),Ĥ e −iqx u−qn (x) = En (−q)e −iqx u−qn (x).Поскольку Ĥ – эрмитов оператор (т.

е. Ĥ † = Ĥ), каждое из этих уравненийопределяет собственные функции одних и тех же операторов – гамильтониана иконечного сдвига. Поэтому эти функции совпадают, и, стало быть, собственныесостояния гамильтониана двукратно вырождены (как и при свободном движении),и выполняется теорема Крамерса:En (−q) = En (q),u−qn (x) = u∗qn (x).(7.9)7.2.2. От конечной решетки к бесконечнойРассмотрим потенциал, состоящий из N одинаковых ячеек произвольной формы,окружённых областями свободного движения, при N → ∞ осуществляется переходк периодическому потенциалу. Для определённости мы будем использовать терминологию и постановку задачи рассеяния (2.33).При заданной энергии E уравнение Шредингера на каждой ячейке имеет двалинейно независимых решения, обозначим их ϕ1 (x, E) и ϕ2 (x, E), где x отсчитываетсяот левого края ячейки.

Общее решение для n + 1-й ячейки имеет вид(n)(n)ψ (x, E)|na<x<(n+1)a = C1 ϕ1 (x − na, E) + C2 ϕ2 (x − na, E).(7.10)Выпишем теперь условия сшивки на границе первых двух ячеекψ (a − 0) = ψ (a + 0), ψ ′ (a − 0) = ψ ′ (a + 0).Подставляя сюда выражения (7.10), запишем эти условия в виде матричного соотношения:( )( )()()(1)(2)c1cϕ1 (a) ϕ2 (a)ϕ1 (0) ϕ2 (0)Â (1) = B̂ 1(2) , Â =,B̂=.ϕ′1 (a) ϕ′2 (a)ϕ′1 (0) ϕ′2 (0)c2c2Глава 7. Периодическое поле120Отсюда следует( )( )(1)(2)c1c1= T̂,(2)(1)c2c2где T̂ = Â−1 B̂ .(7.11)Матрица T̂ (матрица перехода – transfer matrix) реализует оператор конечного сдвига (1.28), а её собственные значения – обсуждавшиеся выше собственныезначения этого оператора для данного потенциала и энергии (7.2). Эти собственныезначения определяются из квадратного уравненияλ2 − Λ(E) λ + det(T̂) = 0 ,Λ(E) = Tr(T̂) .(7.12)Определители матриц Â и B̂ это вронскианы W(x) = ϕ1 ϕ′2 − ϕ2 ϕ′1 (2.14) взятыепри x = a и x = 0.

Поскольку W(a) = W(0), то det(T̂) = 1. Поэтому уравнение(7.12) можно переписать в видеλ2 − Λ(E) λ + 1 = 0 ⇒ λ1 · λ2 = 1 ,λ1 + λ2 = Λ(E) .(7.13)Без ограничения общности,[ решения ϕ1 и ϕ2 можно выбрать действительными.] Прямой расчёт даёт Λ(E) = ϕ1 (0)ϕ′2 (a) + ϕ1 (a)ϕ′2 (0) − ϕ2 (0)ϕ′1 (a) − ϕ2 (a)ϕ′1 (0) / (2W),т. е. Λ(E) – действительная величина.(k+1)(k+1)(k+1)Собственные векторы T̂ вида f j(x) = A1j ϕ1 (x −ka)+A2 j ϕ2 (x −ka) (номерсобственного вектора j принимает два значения, 1 и 2)) удовлетворяют уравнениям( (k+1) )( (k) )A1jA1 j(1)(1)(N+1)(N+1)f2= λNÛ= λj(j = 1, 2) ⇒ f1= λN2 f2 .

(7.14)1 f1 ,(k+1)(k)A2jA2 jЕсли |Λ(E)| > 2, то числа λi действительны и, например, |λ1 | > 1, и тогда |λ2 | < 1.Если же |Λ(E)| 6 2, то числа λi комплексны и по абсолютной величине равны 1,обозначим λ1 = e iqa , тогда λ2 = e −iqa . В решении естественным образом появилсяквазиимпульс q.

Наши собственные векторы являются общими собственными векторами гамильтониана и оператора конечного сдвига, отвечающимиодной энергии и разным знакам квазиимпульса.♢ Точно так же, как и при получении (7.11), сшивки при x = 0 с состояниямисвободного движения ψL (x) = A1 aikx + B1 e −ikx в начале решетки и при x = (N + 1)aс такими же состояниями ψR (x) = AR aikx + BR e −ikx в конце решётки описываютсяматричными преобразованиями1)(( )( )( )(N+1)(1)A1c1AR−1 c1=Ĝ,= Ĝ.(7.15)(N+1)(1)B1BRc2c2Таким образом, общая постановка задачи рассеяния, как она описана в § 2.7,описывается преобразованием( )( )N ( A )A1R−1= ĜT̂Ĝ(7.16)B1BR1 Обратите внимание, что в конце решетки мы используем разложение волновой функции по собственным функциям ψi (x, E) начала следующей (несуществующей) ячейки.7.2.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,64 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее