1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Каждыйиз этих гамильтонианов напоминает гамильтониан уединённой молекулы (7.39) 1 :∑H=H(q) ,(7.41)qгде∗∗]Pod (q)Pod(q)ω 2 + ω22 [Pev (q)Pev(q)∗∗++m 1Uev (q)Uev(q) + Uod (q)Uod(q) −2m2m2( 2 iqa)()]m[∗2 −iqa∗−Uev (q)Uod (q) ω1 e + ω2 e+ Uev(q)Uod (q) ω12 e −iqa + ω22 e iqa .2H(q) =Далее гамильтониан H(q) преобразуется к диагональной форме:H(q) = H+ (q) + H− (q) ,H± (q) =222mω±(q)U±(q)P±+,2m2(7.42а)1 На первый взгляд гамильтониан H(q) кажется неэрмитовым (появилась мнимая часть).
Однако, этогамильтониан системы с двумя степенями свободы, и эрмитово сопряжение включает не только заменуi → −i, но и замену Uev ↔ Uod . При этих двух заменах гамильтониан H(q) не меняется.7.3. Малые колебания линейных цепочек133с помощью преобразованийU± (q) =Uev (q)e iϕ ± Uod (q)e −iϕ√,2P± (q) =Pev (q)e −iϕ ± Pod (q)e iϕ√.2(7.42б)Нетрудно проверить, что эти преобразования сохраняют для новых смещений U(q)и импульсов P(q) те же перестановочные соотношения (1.23), что и для исходных.Угол ϕ и частоты нормальных осцилляторов определяются стандартным образом(диагонализация квадратичной формы потенциальной энергии):tg 2ϕ =ω12 − ω222tg(qa), ω±= ω12 + ω22 ∓ω12 + ω22Этот спектр изображён на рис. 7.2.√(ω12 + ω22) 2 − 4ω12 ω22 sin2 (qa).(7.42в)ω /ωmax10.80.60.40.2−πqa0πРис.
7.2. Две ветви колебаний при ω2 = 3ω1 /4♢ При небольших q получается2ω+≈2ω12 ω22sin2 (qa) ,ω12 + ω222ω−≈ 2(ω12 + ω22).(7.43)В соответствии с (7.42б) в колебаниях с частотами ω+ соседние ионы смещаютсяв одну сторону, среда колеблется как целое. Эти колебания называют акустическими1 , поскольку при небольших√ q их частота пропорциональна квазиимпульсу (ско-рость звука C = 2aω1 ω2 / 2(ω12 + ω22)). С ростом квазиимпульса закон дисперсиизвуковых колебаний отклоняется от линейного. Колебания ω− – высокочастотные,в этих колебаниях соседние ионы колеблются в противоположные стороны (противофазно). Такие колебания могут возбуждаться электромагнитной волной с длинойволны ∼ a – светом.
Поэтому их называют оптическими (оптическая ветвь колебаний). С ростом квазиимпульса частота этих колебаний медленно убывает.♢ Полезно рассмотреть случай ω1 ≫ ω2 . Тогда закон дисперсии (7.43) для ω+переходит в закон (7.35а) для «молекул» с массой 2m, связанных «пружинками»1 Существование акустической ветви колебаний– чрезвычайно общий факт. Н. Н. Боголюбов доказал это, предполагая только, что элементарные взаимодействия частиц, образовавших вещество, быстроубывают с расстоянием. Частный случай этого утверждения (открытый позднее) известен ныне как теорема Голдстоуна. Условие теоремы Боголюбова не выполняется в плазме – кулоновское взаимодействиезаряженных частиц убывает с расстоянием медленно.
Из-за этого в полностью ионизированной плазмеакустические колебания заменяются на плазменные, у которых наименьшая частота – не ноль.Глава 7. Периодическое поле134жесткости k2 , т. е. с заменой m → 2m, k →√k2 . В то же время закон дисперсии (7.43)для ω− переходит в соотношение ω− = ω1 2 для отдельных молекул. Это частныйслучай общего утверждения, что спектр оптических колебаний воспроизводитспектр собственных колебаний уединённой молекулы с «размазкой», котораяопределяется жесткостью связей.♢ При k2 → k1 скачком меняется симметрия – размер элементарной ячейкиуменьшается вдвое, и наша цепочка превращается в рассмотренную ранее цепочкуодноатомных молекул (в которой мы приняли за размер элементарной ячейки 2a2вместо a).
В частности, при этом ω1 = ω2 ≡ ω0 , и мы имеем ω±= 2ω02 (1 ± cos(qa)).Две ветви колебаний получатся в этом случае из дисперсионной кривой случаяодноатомных молекул следующим образом. Поскольку мы удвоили длину элементарной ячейки, интервал изменения квазиимпульса уменьшился вдвое. Поэтому следуетсчитать, что квазиимпульс меняется только в интервале −π /2a < q < π /2a. Частьдисперсионной кривой для одноатомных молекул, расположенная внутри этого интервала, отображается теперь как акустическая ветвь колебаний. В соответствиис определением квазиимпульса, его значения в интервале π /2a < q < π /a следуетрассматривать как q − π /a, они попадают в интервал (−π /2a, 0), а значения квазиимпульса в интервале −π /a < q < −π /2a следует рассматривать как q + π /a,они попадают в интервал (0, π /2a) (переброс).
Так возникают две половины оптической ветви в нашем случае. (Переход к случаю k2 = k1 схематически изображенстрелочками на рис. 7.2.)• Квантовое рассмотрение повторяет всё, что было сказано для цепочки одноатомных молекул. Единственное отличие состоит в том, что теперь в системе появляются две ветви спектра колебаний рис. 7.2 и, соответственно, два типа оператороврождения и уничтожения, отвечающих акустической и оптической ветвям колебаний(два типа фононов).Переход к бесконечной цепочке описывается заменой сумм (7.34), (7.41)a π∫/adqH(q).
При этом величину H(q) называют плотностью2π −π/aгамильтониана в импульсном пространстве.на интегралы§ 7.4.Следствия нарушения периодичностиВ реальных системах число элементарных ячеек N конечно. Выше мы рассмотрели случай периодических граничных условий. Для других граничных условий решения меняются. Например, решения для цепочки с закрепленными концами выглядяткак стоячие волны – суперпозиции решений для кольцевой цепочки. При этом исчезает вырождение q → −q, и достаточно рассматривать только положительные q,зато точки на кривой ω (q) расположены вдвое чаще – появляются решения с нечётным числом полуволн, не допускающие гладкого периодического продолжения.
Темне менее, в пределе больших N основные свойства набора частот и закон дисперсииколебаний решётки не зависят от конкретной формы граничных условий.Обсудим, как нарушения периодичности влияют на состояния электронов в кри-7.4. Следствия нарушения периодичности135сталле. Мы разберем простейший пример, когда ось x разделяется на три участка,«левый» (x < −b), «правый» (x > b) и «центральный» (|x| < b) так, что левыйи правый участки представляют собой периодические структуры, ограниченные приx = ±a, а на центральном участке реализуется своя зависимость потенциала откоординат Vc (x).
Если левый и правый участки обладают одинаковой периодичностью, а Vc = 0, то говорят о вакансии, при потенциале Vc (x), отличном от нуля, нонарушающем периодичность, говорят о примеси, в случае же когда просто размерцентральной области 2b отличается от параметра ячейки a, говорят о дислокации.Наше построение работает и в случае, когда периодичности справа и слева не совпадают. Это отвечает либо контакту двух кристаллических структур, либо ограниченному с одной стороны кристаллу (в этом случае с одной стороны – для определённостислева – мы имеем вакуум). Здесь центральный участок может отсутствовать.• Выберем какое-нибудь значение E. В левой области будем искать решениев виде суперпозиции двух линейно независимых решений уравнения Шредингера Ψ1и Ψ2 , отвечающих двум возможным значениям параметра периодичности λT , которыеполучаются из уравнения (7.13).♢ Если энергия электрона такова, что |Λ(E)| 6 1, то, как и в § 7.2, можнообозначить Λ(E) = cos qa, что соответствует λT = e iqa , т.
е. мы имеем дело сознакомыми решениями для полностью периодического поля, отвечающими волне,распространяющейся направо или налево. (При d 2 E/dq 2 > 0 движение вправо отвечает положительным значениям квазиимпульса, а влево – отрицательным.)♢ В рассматриваемом случае нет причин для исключения решений с такими энергиями, что |Λ(E)| > 1, и следует рассмотреть решения уравнения (7.13) в этомслучае. Обозначив Λ(E) = ± ch κa с κ > 0, найдем два решения, λT = ±e −κaи λT = ±e κa .
Они отвечают соответственно возрастанию и убыванию амплитудыволновой функции на каждой следующей ячейке при удалении от границы (аналогирастущей и падающей экспонент в классически недостижимой области для задачио прямоугольной яме). В чисто периодической структуре оба этих поведения былизапрещены, поскольку получался неограниченный рост либо при x → ∞, либо приx → −∞. В рассматриваемом случае недопустим только рост при x → −∞. Поэтомуможет реализоваться решение, убывающее при отходе от границы, с λT = ±e κa .Далее построим подобные решения в правой области x > b.
Затем решим уравнение Шредингера в центральной области и произведем сшивку всех трёх решений,используя условия непрерывности волновой функции и её производной, как это делалось в задаче о прямоугольном барьере (2.15) или в квазиклассике (6.13).Если периодичности справа и слева совпадают, возникающая картина сходна с той, что возникала для электрона в поле потенциальной ямы или горба.∇ Для значения энергии, принадлежащего к разрешённой зоне, решение (суперпозиция волн с квазиимпульсом q > 0 и < 0) можно представить как волну,вышедшую, например, слева плюс отраженная (налево) волна и волну, прошедшуюнаправо – как и в задаче о рассеянии над потенциальной ямой или горбом.∇ Если энергия отвечает запрещённой зоне, то, стартуя от решения, убывающего с отходом от границы влево в левой зоне, после сшивок на границах −aи a мы придем в правой к зоне к решению, содержащему и убывающий и растущийпри движении направо вклады.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
