1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Рассмотрим сначала покоящееся ядро. Послеизлучения импульс отдачи ядра равен импульсу фотона k = ϵ′ /c, а энергия переходаϵ есть сумма энергий фотона ϵ′ и ядра R = k2 /2M:ϵ = ϵ′ + R; R = k2 /2M = ϵ′2 / (2Mc 2).2Поскольку ϵ ≪ Mc , то с хорошей точностью R = ϵ2 / (2Mc 2). (С той же точностьюϵ′′ = ϵ + R.) Для Fe 57 энергия отдачи R ≈ 2 · 10−3 эВ ≫ Γ.
Такой же сдвиг энергиифотона получается за счёт эффекта Доплера при скорости источника v ≈ 20 м/с.Энергия ядра с первоначальным импульсом p составляла Ei = p2 /2M, его конечная энергия E f = (p − k) 2 /2M, энергия фотона – Eγ . Баланс энергии:Ei + ϵ = E f + Eγ , т. е. Eγ = ϵ − R + kp/M = ϵ − R + vk.Для газа это даёт распределение числа фотонов по энергиям Eγ , которое получается сверткой этого выражения для Eγ с известной функцией распределения(Максвелла).
Это кривая с максимумом вблизи Eγ = ϵ−R, ширина этого максимума∼ kT . При kT 6 10−3 эВ (T < 10 K) ширина максимума меньше R, т. е. вероятностьнайти Eγ = ϵ мала, и пик в коэффициенте поглощения должен был бы исчезнуть.Эта классическая картина сохраняется и при квантовом рассмотрении ядер в газе.Для ядер в кристалле только квантовое рассмотрение имеет смысл. Обозначим через |i⟩ вектор начального состояния ядра А в кристалле (до излучения) безучёта ядерных степеней свободы. После излучения фотона с импульсом k (котороепроисходит мгновенно, с точки зрения атомных процессов) ядро переходит в состоя-7.7. Эффект Мёссбауэра141ние T̂−k |i⟩, где T̂−k = e ikx – оператор конечного сдвига в импульсном пространстве,в точности подобный оператору конечного сдвига в x-пространстве (1.28).
В силусоотношения неопределённостей, начальное состояние |i⟩ не является состояниемс определённым значением импульса. Поэтому оно не ортогонально конечному состоянию T̂−k |i⟩. Таким образом, имеется конечная вероятность того, что после излучения ядро не изменит своего квантового состояния, т. е.
энергия излученного фотонабудет в точности ϵ. При этом возможность резонансного поглощения в образце IIсохраняется.Перейдём к аккуратному описанию. В простой модели ядро находится в осцилляторном потенциале с частотой ω:Ĥ =P̂ 2Mω 2 x 2+.2M2Пусть |i⟩ = |n⟩, т. е. Ĥ|i⟩ = ~ω (n + 1/2)|i⟩. Конечное состояние получается изначального действием оператора T̂−k , т. e. |f ⟩ = T̂−k |i⟩. Возможные значения энергиифотона можно записать как Eγ = ϵ − ~ω (n′ − n), они образуют дискретный набор.Вероятность перехода |n⟩ → |n′ ⟩ записывается как Pnn′ = |⟨n′ |T̂−k |n⟩|2 . В частности,ядро может остаться в том же состоянии, т.
е. Eγ = ϵ (отдачи нет!):2 ∫2 ∫2Pnn = ⟨n|T̂−k |n⟩ = dx|ψn (x)|2 e ikx/~ = ρn (x)e ikx/~ dx ≡ |Fn (k)|2 .Мы ввели величину Fn (k) – фурье-образ плотности вероятности; его называютформфактором. Если ρn (x) = ρn (−x), то Fn (k) действительна. При малых k∫Fn (k) = ρn (x) · (1 + ikx/~ − (1/2) (kx/~) 2 + ...)dx ≈ 1 − (1/2) (k/~) 2 ⟨x 2 ⟩.Если начальноесостояние – основное, то |f ⟩ – когерентное состояние (§ 4.4)√с α = −i~k/ 2m~ω. Вероятность излучения без отдачи даётся соотношением (4.46):P00 (ω) = e −k22/2m~ω≡ e −R/~ω .Если частица участвует одновременно в двух колебательных движениях, с частотами ω1 и ω2 , то вероятность излучения без отдачи является произведением вероятностей для каждого из колебаний, P = P00 (ω1)P00 (ω2).
Точно так же для реальногокристалла смещение ядра следует разложить по нормальным колебаниям решётки,плотность числа которых есть ρ(ω) (15.24в). В итоге вероятность излучения без отдачи оказывается произведением таких вероятностей для всех нормальных колебанийкристалла, имеющих одинаковую поляризацию)(∫ρ(ω)dω .(7.47)P00 = exp −R~ωПравая часть этого соотношения называется фактором Дебая–Валлера. Он встречается и в других задачах физики твёрдого тела (ср. 4.36).
Его экспериментальноеизучение – хороший способ исследования свойств решётки в целом.Глава 7. Периодическое поле142§ 7.8.Задачи1. Докажите утверждения, приведённые после (7.24).2. Используя условие нормировки на ячейке (7.6), найдите коэффициенты A и Bволновой функции (7.23) для движения в периодическом потенциале (7.21).Вычислите плотность тока вероятности для движения в этом поле.3. Найти энергию и волновую функцию состояния, локализованного вблизи «примеси» при x = a, моделируя её заменой −Gδ (x − a) → −G1 δ (x − a) в поле (7.21).Ответ. E = −mG12 /2~2 .Этот ответ справедлив только при условии, что уровни в «родительских» ямах силы G и G1 отличаются много больше, чем на ширину зоны.Что будет, если различие меньше ширины зоны?4.
Найти энергию поверхностногоуровня для задачи на полупрямой при k0 a ≫ 1∞при x < b,∞∑(0 < b < a):U(x) =δ (x − na) при x > b. −Gn=1)~2 k20 (Ответ. ET = −1 − 2e −2k0 b .2m5. Найти поток энергии волнового пакета атомных смещений, распространяющегосяпо простой линейной цепочке.6. Построить собственные состояния для линейной цепочки с закрепленными концами.Глава 8Момент импульсаМы отмечали уже в § 2.2, что в системах, чьи свойства не меняются при вращениях, сохраняется момент импульса (в англоязычной литературе – angular momentum –угловой импульс). Возникающий при этом оператор момента импульса частицы задаётся, как и в классическом случае, соотношениемL̂ = [r̂ × p̂] ≡ ~ · ℓ̂.(8.1)Здесь определен ещё удобный безразмерный оператор ℓ̂ ≡ L̂/~, его мы тоже называем оператором момента импульса.Более аккуратно, момент импульса определяется как величина, которая сохраняется в силу инвариантности относительно вращения.
Покажем, что этот операторимеет именно такой вид, используя ту же схему, что и при получении оператораимпульса в § 1.7. Там мы строили оператор импульса для одномерного пространства, переход к трёхмерному пространству был тривиальным, поскольку движенияв разных направлениях, очевидно, не зависимы друг от друга.При описании вращений дело обстоит не так просто. Во-первых, надо выбратьцентр вращения. Во-вторых, переход к сферическим координатам требует выбораполярной оси. Описание вращений вокруг полярной оси и какой-нибудь из другихосей в сферических координатах не могут выглядеть одинаково.
Поэтому удобнееиспользовать прямоугольные Декартовы координаты. Но в этих координатах вращение на конечный угол описывается не очень просто, сравнительно простые результаты получаются лишь при изучении «элементарных вращений» на бесконечномалые углы вокруг каждой из координатных осей.Рассмотрим для начала вращение вокруг оси z на угол φ, т. е. преобразованиепроизвольной функции координат1 f(x, y, z)Ûφz f(x, y, z) = f(x cos φ − y sin φ, y cos φ + x sin φ, z).1 Это– ещё один пример реализации общего оператора преобразования Û f →g (1.20).Глава 8. Момент импульса144Для бесконечно малого угла поворота δφ это преобразование принимает вид[() ]∂∂zÛδφ f(x, y, z) = f(x − yδφ, y + xδφ, z) = 1 − y−xδφ f(x, y, z) ≡∂x∂y()∂∂i≡ 1 + i ℓ̂z dδφ f(x, y, z) , i ℓ̂z = −y+x≡ (x̂ p̂y − ŷ p̂x) .∂x∂y~(8.2)()zИтак, оператор Ûδφ≡ 1 + i ℓ̂z δφ есть оператор поворота вокруг оси z на бесконечно малый угол δφ, а оператор ℓ̂z ≡ L̂z /~ – генератор такого поворота (ср.
§ 1.7).Таким же способом и другие компоненты вектора ℓ̂ (8.1) определяются черезоператоры бесконечно малых поворотов вокруг других осей – как генераторы такихповоротов. В целом операторы ℓ̂i (L̂i) исчерпывают набор генераторов (неабелевой)группы вращений O(3).Если гамильтониан системы не меняется при таких поворотах, то перечисленныеоператоры коммутируют с гамильтонианом, а это означает, что физические величины,описываемые этими операторами, сохраняются (см. § 2.2).
Величину, сохранениекоторой следует из неизменности формы гамильтониана при вращениях, называютмоментом импульса. Выбирая нормировки из принципа соответствия (по аналогиис § 1.7), мы получаем для момента выражения (8.1).Теперь прямое вычисление с помощью соотношений (1.23) показывает, что компоненты момента импульса не коммутируют друг с другом, перестановочные соотношения между ними можно записать в виде[ℓ̂i , ℓ̂ j ] = ieijk ℓ̂k .(8.3)Некоммутативность компонент оператора момента – генераторов группы пространственных вращений – можно проиллюстрировать хорошо известным классическим примером. Рассмотрим два разных движения из некоторой точки A.
Сместившись сначала на ℓ1 = 200 км на восток, а затем – на ℓ2 = 200 км на юг, мыпопадём в некоторую точку B. Сместившись же сначала на ℓ2 = 200 км на юг,а затем – на ℓ1 = 200 км на восток, мы попадём в другую точку B ′ , расположеннуюна расстоянии ℓ1 ℓ2 /2R ≈ 3 км к востоку от B (R – радиус Земли).Оператор вращения на конечный угол определяется подобно тому, как этобыло сделано в § 1.7 для оператора конечного сдвига (1.28). Для вращения на уголα относительно оси n этот оператор имеет видÛn (α) = e iαL̂n/~ ≡ e iαℓ̂n .(8.4)В частности, оператор вращения вокруг оси z можно записать в виде e iα∂ /∂φ– в полной аналогии с (1.28). Как и в одномерном случае, это влечёт за собойвыражение (8.23) для z-компоненты момента импульса.Вращения вокруг осей x и y не сводятся к простым сдвигам полярных координатθ и φ.
Поэтому записанные в сферических координатах выражения для операторовконечных вращений вокруг этих осей и сами проекции оператора момента импульсавыглядят сложнее (см. ниже (8.23)).8.1. Следствия алгебры коммутаторов145Далее полезно рассмотреть преобразование произвольного векторного оператораA при том же вращении вокруг оси z, записав этот оператор в координатном представлении Â = (Âx , Ây , Âz) → (Âx cos φ − Ây sin φ, Ây cos φ + Âx sin φ, Âz). Запишемэто преобразование для бесконечно малого угла поворота δφ и сравним получившееся выражение с общим преобразованием (1.20) для выписанного выше оператораzмалого поворота Ûδφ:()()z †z(Ûδφ) (Âx , Ây , Âz) Ûδφ≡ 1 − i ℓ̂z dδφ (Âx , Ây , Âz) 1 + i ℓ̂z dδφ .Эти выражения, очевидно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
