1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. мы получили первое правило сшивки (6.13). Второе из этих правил сшивки подобным образом не получается,поскольку под растущей экспонентой может «скрываться» падающая, причём с лю∫x1бым коэффициентом. Удобнее стартовать с волновой функции √ cos( kdx + π /4),kaкоторая ортогональна предыдущей в физически достижимой области, записать еёкак сумму экспонент, и для каждой из них повторить изложенную выше процедурув противоположном направлении. Сохранение Вронскиана гарантирует правильность полученного ответа.§ 6.5.Правила квантования Бора–Зоммерфельда. IIПолучим теперь правило квантования Бора–Зоммерфельда (6.7) традиционнымметодом – с помощью правил сшивки. Для сокращения объёма вычислений мырассмотрим потенциальную яму, изображенную на рис.
6.3. Здесь область x < 0U(x)ax полностью недоступна (как для радиального движения в центрально-симметричном поле). Ищем уровниэнергии, пользуясь алгоритмом, который подобен исEпользуемому при компьютерном моделировании.Поскольку область x < 0 недоступна, то)( xв соот∫A√ветствии с (6.14) внутри ямы ψ (x) =sinkdx .k0Теперь надо пройти точку поворота x = a. Чтобы восРис. 6.3. Простейшая ямапользоваться условиями сшивки (6.13), введём вели∫a∫aчины α = kdx + π /4, φ = kdx + π /4 и перепишем волновую функцию внутри0(x) x∫AAAямы в виде √ sinkdx = √ sin(α − φ) = √ (sin α cos φ − cos α sin φ). Далееkkk0воспользуемся условиями сшивки для каждого из слагаемых и получим волновую6.6. Прохождение сквозь барьер107AAфункцию в классически недоступной области: ψ = √ sin α·e t(x) − √ cos α·e −t(x) ,κ2 κ∫xгде t(x) = κdx. Волновая функция должна убывать при x → ∞. Поэтому стаaционарными являются только состояния, для которых коэффициент при растущейэкспоненте (sin α) обращается в ноль, т.
е. при α = π (n + 1). Удваивая обе части равенства, мы приходим слева к интегралу по периоду классического движения(0 → a → 0). В итоге энергия уровня E определяется из условияI √2m(E − U(x))dx = 2π~(n + 3/4).(6.23)Покажите, что для потенциала, гладкого в обе стороны, условие квантованияБора–Зоммерфельда принимает вид (6.7). (Различие между 1/2 и 3/4 в правилах(6.7) и (6.23) улавливается точностью приближения даже при умеренно больших n.)♢ Правила квантования (6.7) и (6.23) выписаны для потенциала, достаточногладкого, чтобы линейное приближение (6.12) работало и в области применимости квазиклассического приближения.
Широкая прямоугольная потенциальная ямапредоставляет нам другой пример системы, для которой применимо квазиклассическое приближение, а линейное приближение (6.12) несправедливо, и условия сшивкиимеют совсем другой вид (2.15б). Это приводит к модификации√ правила квантования.В частности, для бесконечно глубокой ямы оно имеет вид 2m(E − U(x))dx = 2π~n(целое число полуволн на полупериоде). Для потенциалов, быстро изменяющихся вблизи точки поворота правило квантования должно иметь схожую форму сдобавлением в правой части слагаемого, меняющегося от 0 до 1/2 и зависящегоот крутизны потенциала и величины его изменения в неквазиклассической области.§ 6.6.Прохождение сквозь барьерЗдесь повторяется обсуждение разд.
2.6.3 для случая гладкого потенциала.Если энергия частицы меньше максимальной потенциальной энергии (рис. 6.4), то в классическоммеханике области с разных сторон барьера не сообщаются друг с другом. В квантовом случае волновая функция, заданная, например, слева от барьера, не исчезает и справа от него, имеет местоподбарьерное прохождение – туннелированиеРис.
6.4. Прохождение через барьер– ср. обсуждение в связи с (2.29), (2.37).В условиях применимости квазиклассического приближения задача о прохождении сквозь потенциальный барьер (о туннелировании) решается по стандартномурецепту с двукратным использованием правил сшивки (6.13). Вероятность туннелирования определяется величиной коэффициента прохождения (туннелирования) 1][ ∫bκ (x)dx (a и b – точки поворота).(6.24)D = exp −2a1 Дляпрямоугольного барьера коэффициент прохождения имеет тот же вид: D ≈ e −2κ (b−a) (2.37).Глава 6.
Квазиклассический случай108При D ≪ 1 направо от барьера уходит волна очень малой амплитуды, и прохождение асимптотически мало∫xC i(ψп = √ e bkk(x)dx+π /4)C=√k()∫x∫xcos( k(x)dx + π /4) + i sin( k(x)dx + π /4) .bbПрямое использование правил сшивки (6.13) даёт под барьером суперпозициюпадающей и растущей экспонент b()∫∫b∫x∫x√κ(x)dx−κ(x)dx− κ (x)dxκ (x)dxiC1C xi= √√ e ae+ e xψII = √+D ea.22κκDДальнейшее использование этих правил даёт слева от барьера2Cψл = √Dk()iDsin α +cos α ,4∫ak(x)dx +α=π.4(6.25)x√Таким образом, амплитуда прошедшей волны в D раз меньше амплитуды падающей волны (коэффициент туннелирования D).
В этом приближении в падающейи отраженной волнах потоки вероятности равны друг другу, а в прошедшей– в D раз меньше (коэффициент отражения равен 1, коэффициент прохожденияравен D), закон сохранения вероятности выполняется с точностью до малой величины D. Чтобы сделать эти выводы явными, обычно нормируютпервое слагаемое√на равный единице поток в падающей волне, выбирая C = D.Поправки порядка D в (6.25) находятся за пределами точности приближения.Они отвечают поправкам на конечную глубину проникновения в электродинамике.Их учёт формально восстанавливает закон сохранения вероятности.Обратите внимание, что сдвиг фаз между отраженной и падающей волнами составляет π – в точности как при отражении от проводника в электродинамике.§ 6.7.Время жизни квазистационарного состоянияРассмотрим частицу в поле рис.
6.5. Если бы потенциал после максимума неубывал с ростом x, частица имела бы вполне определённые стационарные состоянияс энергиями En . В классическом случае со- U(x)стояние с энергией En отвечает незатухающимколебаниям между точками 0 и a. Существование падающей ветви потенциала позволяетIIIIIIчастице проникать сквозь барьер (туннелиро- Eвание) и уходить к x → ∞, состояние становится нестационарным.
Квазиклассическийabxподход позволяет описать эту нестационарРис. 6.5.ность при условии, что коэффициент туннелирования достаточно мал. Ниже мы используем определения, введённые в § 2.8.6.7. Время жизни квазистационарного состояния109Условие невозрастания вероятности со временем в нашей задаче выглядит кактребование, чтобы на больших расстояниях оставалась только уходящая из центраволна (при этом вероятность убывает со временем). Покажем, как из этого условияполучаются комплексные значения энергии квазиуровня.Последовательное применение условий сшивки (6.13) (как при квантовании) даёт∫x∫aс использованием обозначений (6.24) и α = kdx + π /4, β = kdx + π /4,z1 =∫xκdx, z2 =0∫bbκdx(x)∫A√ sinkdx ,(I)k0][cos α −z1A √ sin α · e z1 −·e=2κψ (x) =(II)][Acos α z2 −z2√=sinα·e−De,2κD]cos αA [√· cos β .
(III)2 sin α · sin β − D2kDax(6.26)Условие, чтобы в области III была только уходящая волна e iβ , даёт уравнение:2 sin α= i ⇒ tg α = −iD/4.−(D cos α) /2(6.27)Далее мы считаем туннелирование слабым, т. е. D ≪ 1.При b → ∞ было бы D = 0, и в системе нашлись бы стационарные состоянияс энергиями E = En , которые изучались в § 6.5. При D ̸= 0 движение инфинитно, т. е.локализуемых стационарных состояний нет. Однако физическая ситуация при D ≪ 1не может сильно измениться по сравнению со случаем D = 0, и решения уравнения(6.27) должны лишь ненамного отличаться от решений условий квантования α =π (n + 1) (6.23). Поэтому запишем α = π (n + 1) + δn , где |δn | ≪ 1. Тогда уравнение(6.27) преобразуется к виду−iD/4 = tg δn ≈ δn ⇒ α = π (n + 1) − iD/4.Окончательно, выражая величины α и k (6.5) через комплексную энергию состоянияẼn = En − iΓn /2, получаем∫a √2m(En − iΓn /2 − U(x))dx = π~(n + 3/4) − i~Dn /4.0Вычитая это выражение из (6.23), получим с учётом (6.9) и малости Γn~Dni=4∫a √∫a √Γn1 dαiΓn2m(En −U(x))dx −2m(En −i −U(x))dx = ~iΓn =· Tкл ,24 dE400Глава 6.
Квазиклассический случай110т. е. время жизни τ оказалось равным классическому периоду Tкл , делённому навероятность Dn ухода через барьер при однократном подходе к барьеру (ср. (2.48)):Γn = ~Dn /Tкл ⇒ τ = Tкл /Dn .(6.28)Для атомной или молекулярной системы характерный период Tкл определяется отношением атомного размера & 10−8 см к атомной скорости электрона . αc ∼ 108 см/с,т. е.
Tкл & 10−16 c. Учёт коэффициента туннелирования обычно значительно увеличивает это время. Из этой численной оценки видно, что квазиклассический подходне работает для атомных или твердотельных систем при изучении воздействия наних сигналов с частотой выше 1015 Гц.♢ Формула (6.28) даёт ставшее ныне классическим решение задачи об α-распадеатомного ядра с первоначальным зарядом Ze (теория Мандельштама–Гамова).В этой теории предполагается, что в ядре можно выделить α-частицу (ядро атома гелия 2 He4), которая движется в поле, создаваемом остальными нуклонами (нейтронами и протонами) ядра, сначала внутри ядра – потенциальной ямы радиуса a ∼ 1 фм,а затем вне его.
В отсутствие туннелирования энергия α-частицы в яме составилабы E > 0. Вне ядра α-частица движется в кулоновском поле ядерного остатка, это2взаимодействие описывается потенциалом U(r) = β /r, где β = 2(Z −√2)e .Коэффициент туннелирования при E ≪ β /a это D = exp(−π 2mβ 2 / (~2 E) ).Множитель Tкл зависит от энергии значительно слабее, для его грубой оценки можноаппроксимировать поле ядра c массой, равной A массам протона, моделью прямоугольной (радиальной) ямы с радиусом a ∼ 1, 1A1/3 фм и глубиной несколько МэВ.В итоге связь между временем жизни ядра и энергией α-частицы (6.28) записывается в виде закона Гейгера–Нетолла√log10 (τ /1sec) = a + b/ E .(6.29)Для тяжёлых ядер b ≈ 130÷150 МэВ1/2 , a ≈ −50. Это – очень сильная зависимостьот энергии уровня E (хорошо измеряемой величины).
Согласно (6.29), при увеличении E от 4 до 9 МэВ время жизни падает на 20 порядков, с 108 лет до 10−5 c. Такаясильная зависимость подтверждена опытом (для таких различий отклонения дажев десятки раз не очень существенны).§ 6.8.Двойная ямаВажный и поучительный пример доставляет исследование двойной почти симметричной ямы. Получаемые здесь результаты фактически воспроизводят то, чтополучилось при изучении пары δ-ям в разд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
