1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Чтобы найти эти амплитуды и фазы, разложим когерентноесостояние по стационарным состояниям |k⟩:∑|β⟩ = dk |k⟩.k√Умножим равенство (4.40) слева на ⟨n|. Поскольку ⟨n|â = n+1 ⟨n + 1| (4.11),то с учётомс разными n получается рекуррентное соот√√ ортогональности состоянийношение n + 1 dn+1 = βdn / 2. Итерируя (т. е. повторяя) это соотношение n раз,начиная с n = 0, найдемdn ≡ ⟨n|β⟩ = √βn2n n!d0 ⇒ |β⟩ = e −|β|2/4∞∑n=0√βn2n n!|n⟩.(4.44)(Величина d0 = e −|β| /4 получается из условия нормировки.) Выражая |n⟩ через(â+) n |0⟩ (4.11), находим2|β⟩ = e −|β|2/4∞√∑(β â+) n−|β|2 /4 (β â+ / 2)|0⟩≡ee|0⟩.n22 / n!(4.45)n=0Таким образом, вероятность найти состояние |n⟩ в данном когерентном состоянии|β⟩ описывается распределениемwn =|β|2n −|β|2 /2e.2n n!(4.46)Среднее значение числа «вибронов» в этом состоянии есть |β|2 /2, а средняя энергияосциллятора естественно совпадает с (4.43):()(∑)11|β|2 + 1E = ⟨β|~ω â+ â +nwn +|β⟩ = ~ω= ~ω.222♢ Поучительно рассмотреть и другой вывод уравнений для эволюции среднихзначений координаты и времени (4.23), основанный на законе эволюции состояния|n⟩, который имеет вид |n⟩e −iEt/~ ≡ |n⟩e −itωn−itω/2 .
В итоге()n∑ βn∑ βe −iωt|β|2 /2−iωnt−iωt2−iωt2//(4.47)√√e|β (t)⟩ =e|n⟩ ≡ e|n⟩ .2n n!2n n!nnИтак, эволюция состояния со временем описывается заменой β → β (t) = βe −iωt– в точном соотношении с уравнением для гайзенберговского оператора â(t) (4.22).Вспоминая теперь связь β (t) с координатой центра тяжести и импульсом пакета(4.40), вновь убедимся в справедливости (4.23).Глава 4. Гармонический осциллятор82♢ Нетрудно убедиться, что для когерентных состояний имеет место соотношение∫1d(Re β)d(Im β)|β⟩⟨β| = 1̂.(4.48)πЭто означает, что единичный оператор строится из комбинации проекторов на когерентные состояния, т. е.
набор векторов когерентных состояний является полным(даже избыточным)§ 4.5.Задачи1. Найти волновые функции осциллятора в импульсном представлении.2. Сравнить классическую dw/dx и квантовую |ψn (x)|2 плотности вероятности дляосциллятора при n = 0 и n ≫ 1. Найти вероятность того, что в основном состоянии состояние осциллятора сосредоточено в ограниченной области изменениякоординат и импульса имеет |x| ≪ ℓ, | p| ≪ k.3. Построить матрицы операторов x̂ 2 и p̂ 2 в энергетическом представлении.4. Найти средние значения ⟨n|x̂ p̂|n⟩.Построить матрицу ⟨m|x̂ p̂|n⟩.5. Найти перестановочные соотношения операторов кинетической энергии гармонического осциллятора, взятых в разные моменты времени. Записать соответствующее соотношение неопределённостей. Разобрать случаи собственных состоянийосциллятора и их суперпозиции.6.
Найти уровни энергии и волновыедля частицы в поле{ функцииmω 2 x 2 /2 при x > 0,U(x) =∞при x < 0.2 27. Частица находится в поле U = mω x /2 в состоянии, описываемом волновой22функцией ψ (x) = π −1/4 b −1/2 e −x / (2b ) . Определить вероятности того, что при измерении энергии будут найдены значения ~ω /2 и 3~ω /2.8. Докажите, что [â, f(â+)] = df(â+) /d â+ и в частности [â, (â+) n ] = n(â+) n−1 .Вычислите [â2 , (â+) n ].9. Найти перестановочные соотношения для операторовÂ1 = (â+ â+ + ââ) /4, Â2 = (â+ â + ââ+) /4, Â3 = i(â+ â+ − ââ) /4.10. Найти собственные значения оператора â+ â + λâ+ + λ∗ â.+11. Покажите, что оператор e 2iπâ â эквивалентен единичному.12.
Начальное состояние частицы,√помещённой в √поле U = mω 2 x 2 /2, описываетсяволновой функцией ψ (x, 0) = 2a3 / [(x 2 + a2) π], причём a2 ≪ ~/ (mω). Найтивероятность того, что её энергия равна ~ω /2, 3~ω /2.13. Начальное состояние частицы, помещённой в поле U = mω 2 x 2 /2, описываетсяволновой функцией ψ (x, 0) = Nx(1−x/x0). Найти среднее значение её координаты⟨x(t)⟩ в зависимости от времени.4.5. Задачи8314. Частица находится в основном состоянии в поле{mω 2 x 2 /2 при x > 0,U(x) =∞при x < 0.В момент времени t = 0 поле принимает форму симметричного осциллятораU(x) = mω 2 x 2 /2 («перегородка взрывается»). Каковы вероятности того, что частица окажется в состояниях с n = 0, 1 или 2? Описать зависимость волновойфункции от времени после «взрыва», ограничившись учётом только перечисленных состояний.15.
Постройте волновую функцию когерентного состояния |β⟩ в импульсном представлении.16. Докажите (4.48).Глава 5Вариационный метод. ТеориявозмущенийВ этой и следующей главах мы опишем обычно используемые общие методыприближённого решения задач квантовой механики, которые работают при решениисамых разных физических проблем. Мы обсудим здесь только задачи, в которыхгамильтониан не зависит от времени явно.
При этом проблема состоит в том, чтобынайти приближённые значения уровней энергии и волновые функции.Идея всех приближённых методов состоит в использовании того факта, что «рядом» с нашей задачей есть точно решаемая задача, и следует искать поправкик решениям этой точно решаемой задачи. Методы различаются идеей выбора этой«соседней» задачи.Помимо того, рассматриваемые методы различаются по «степени регулярности».В некоторых из них построение последующих приближений – задача той же принципиальной сложности, что и для первого приближения. Отличие состоит лишьв степени громоздкости результатов. В других случаях следующие приближения посуществу сложнее первых, иногда регулярный метод для построения последующихприближений даже трудно предложить.§ 5.1.Вариационный методСобственные функции гамильтониана Ĥ образуют полную систему ψn (x) (с собственными∫ функции∑ значениями∑ En).
Это значит, что для любой нормированнойψ (x) = an ψn (x) и |an |2 = 1. Образуем теперь величину ⟨ψ|Ĥ |ψ⟩ ≡ ψ ∗ Ĥ ψdx.В∑силу уравнения Шредингера, ⟨ψ|Ĥ |ψ⟩ =|an |2 En > E0 . Поэтому имеет место вариационный принцип:{∫E0 = minψ ∗ Ĥ ψdx}∫при условииψ ∗ ψdx = 1.(5.1)5.1. Вариационный метод85Вариационный метод состоит в использовании условия (5.1) для приближённого вычисления волновых функций и энергий различных систем.
Вообщеволновая функция основного состояния ψ0 получается из условия минимума (5.1)в пространстве всех гладких функций. Волновая функция ψ1 первого возбуждённогосостояния получается из того же условия в пространстве гладких функций, ортогональных к ψ0 . Следующие волновые функции находятся подобным же образом.Для приближённого вычисления сначала угадывают более или менее правдоподобную форму волновой функции в зависимости от каких-нибудь параметров β –пробную функцию и вычисляет среднее значение энергии с этой волновой функцией E(β). Тогда (5.1) становится простой задачей на нахождение минимума E(β).Найденное таким способом значение энергии основного состояния E0 лежит, конечно, не ниже истинного.♢ Чтобы найти первое возбуждённое состояние, угадывают волновую функцию,ортогональную к найденной функции основного состояния и зависящую от другогопараметра β1 .
Затем повторяется описанная выше процедура. Разумеется, качествоописания для возбуждённого состояния хуже, чем для основного, поскольку в основележит найденное неточное описание основного состояния. Таким образом, вариационный метод позволяет надежно определить лишь несколько первых уровней.Если система обладает какой-нибудь симметрией, то её состояния можно дополнительно классифицировать по собственным значениям соответствующих сохраняющихся величин. Волновые функции, отвечающие таким различным собственнымзначениям, автоматически ортогональны.
Так, в случае сферической симметрии сохраняется квадрат полного момента импульса, принимающий значения ~2 ℓ(ℓ+1), гдеℓ – целое число (гл. 8). Вариационный метод позволяет искать наинизшие уровниэнергии при каждом частном значении ℓ.▽ Оценки энергии основного состояния в простых потенциалах на основе соотношения неопределённостей § 1.8 были упрощённой версией вариационного метода.♢ Удобный технический приём. При вычислении среднего значения кинетической энергии можно обойтись без громоздкого вычислениявторой производной∫от волновой функции, сводя вычисление среднего ψ ∗ (x) p̂ 2 ψ (x)dx к вычислениюсреднего значения квадрата вспомогательной функции ϕ(x) = p̂ψ (x).
Действительно, эрмитовостьp̂ позволяетзаписать∫ ∗оператора∫∫ψ (x) p̂ 2 ψ (x)dx = (ψ ∗ (x) p̂) (p̂ψ (x)) dx ≡ ϕ∗ (x)ϕ(x)dx.Простейший пример: рассмотрим поле U = −Gδ (x) и воспользуемся (нормированной) пробной функцией вида ψb = π −1/4 b −1/2 exp(−x 2 /2b 2) со свободнымпараметром b, который надлежит найти с помощью вариационного метода.Вычислим среднее значение энергии с этой функцией:[()]∫~2 d 2~2G∗E(b) = dxψb−−Gδ(x)ψ=− √ .b2m dx 24mb 2b π√~2 πmG 2Далее найдем минимум этого выражения по b: bmin =, откуда Emin = −.2mGπ~2Сравните эти выражения с точным решением (задача 2.10).• На практике вариационный метод используют, например, при описании сложных многоэлектронных систем.
В качестве исходной волновой функции берут долж-Глава 5. Вариационный метод . Теория возмущений86ным образом симметризованную суперпозицию произведений волновых функций отдельных электронов в усреднённом поле остальных электронов и ядер. Параметрыэтого (самосогласованного) поля и подлежат определению.§ 5.2.Теория возмущений.
Общее рассмотрениеПусть гамильтониан Ĥ изучаемой физической задачи мало отличается от га(0)мильтониана Ĥ0 , чьи собственные состояния |n⟩0 и энергии En известны, т. е.Ĥ0 |n⟩0 = En(0) .Ĥ = Ĥ0 + V̂ ,(5.2)Без потери общности можно считать набор собственных векторов |n⟩0 ортонормированным, 0 ⟨m|n⟩0 = δmn . Гамильтониан Ĥ0 называют невозмущённым, а V̂ –возмущением. Что такое мало, выяснится немного позднее.Решение уравнения Шредингера в виде ряда по возмущению V составляет содержание теории возмущений.Итак, мы ищем решение уравнения ШредингераĤ |n⟩ = En |n⟩ :Ĥ = Ĥ0 + V̂ ,(0)Ĥ0 |n⟩0 = En |n⟩0 .(5.3)При этом полезно записывать оператор возмущения V̂ в представлении собственныхвекторов невозмущённого гамильтониана, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
