1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Мы следим за «быстрым» движениемвзаимодействующих электронов, считая движение атомов в целом медленным. Таким образом, в этом приближении мы считаем, что на электроны каждого из атомовдругой атом воздействует как целое, и атомы не обмениваются электронами.На больших расстояниях R два атома взаимодействуют как диполиdi = eri (i = 1, 2), и потенциальная энергия взаимодействияd1α d2β3(d1 n) (d2 n) − d1 d2V̂ =≡Nαβ ≡ Ryv|R|3R3(n = R/R ,(aBR)3,)Nαβ = 3nα nβ − δαβ .Поправку к энергии основного состояния за счёт взаимодействия можно записатьв виде( )6∑ ⟨0|V |n1 n2 ⟩⟨n1 n2 |V |0⟩aBU(R) =.≡ −2RyηV2E0 − En1 − En2RУгловое усреднение с учётом сферической симметрии атомов даётηV =22|p⟩|2 |⟨0|d2z|q⟩|23 ∑ |⟨0|d1z.E p + Eq − 2E0a6B Ry pq(9.29)Вычисление, подобное сделанному для поляризуемости, приводит к неравенствам3 ⟨0|dz2 |0⟩23 ⟨0|dz2 |0⟩2>η&.V2Rya6B E1 − E02Rya6B |E0 |Для взаимодействия двух атомов водорода в основном состоянии это даёт 8 > η & 6.Аккуратный расчёт даёт ηV ≈ 6, 5.168Глава 9.
Центрально-симметричное поле§ 9.4. Повышенная симметрия некоторых трёхмерныхсистемНапомним, что собственные состояния кулоновской задачи и изотропного трёхмерного осциллятора имеют более высокую степень вырождения, чем даёт общаязадача о сферически симметричном потенциале. В соответствии с (2.12) это означает, что такие системы обладают более высокой симметрией, чем симметрия группытрёхмерных вращений O(3), в них помимо операторов Ĥ и L̂i существуют сохраняющиеся операторы, коммутирующие с гамильтонианом и не коммутирующие со всемикомпонентами момента импульса1 .Чтобы убедиться в существовании «оснований для дополнительного вырождения», в соответствии с (2.12) достаточно только убедиться в существовании операторов, коммутирующих с гамильтонианом (операторов сохраняющихся величин),которые не коммутируют с компонентами момента импульса.
Этим мы и ограничиваемся для изотропного трёхмерного осциллятора. Для кулоновской задачи мыещё и находим с помощью этих дополнительных сохраняющихся операторов уровниэнергии и кратность их вырождения, не прибегая к решению дифференциальногоуравнения.9.4.1. Изотропный осцилляторДля трёхмерного симметричного осциллятора мы построим дополнительные сохраняющиеся операторы в терминах операторов рождения и уничтожения (гл. 4),снабжая их индексами 1, 2, 3 ≡ x, y, z.
В этих терминах гамильтониан имеет вид()Ĥ = ~ω N̂ + 3/2 , N̂ = â†1 â1 + â†2 â2 + â†3 â3 .(9.30)Удобно обозначить собственное состояние осциллятора в базисе собственных функций осцилляторов по отдельным осям через |n1 , n2 , n3 ⟩ ≡ |n1 ⟩|n2 ⟩|n3 ⟩.▽ Энергия состояния E = ~ω (n + 3/2), где n = n1 + n2 + n3 , при заданном nсостояния вырождены по различным значениям ni . Простой подсчёт показывает, чтократность этого вырождения составляет K = (n + 1) (n + 2) /2.▽ В состояниях с данным значением n представлены все значения моментаℓ = n, n − 2, n − 4.... Чтобы убедиться в этом, достаточно просуммировать кратности вырождений перечисленных значений ℓ и сравнить с величиной K .▽ Наконец, при чётном n состояния чётны, при нечётном n – нечётны. Действительно, при чётном n либо все числа ni – чётные, тогда при отражении координатвсе волновые векторы не меняют знак.
Другая возможность – например n2 чётно,а n1 и n3 нечётны. Тогда при отражении |n2 ⟩ не меняет знак, а каждый из векторов|n1 ⟩ и |n3 ⟩ меняет знак так, что их произведение |n1 , n2 , n3 ⟩ сохраняется.Точно так же, при нечётном n либо все числа ni – нечётные, либо одноиз них нечётно, а два – чётные.
В обоих случаях произведение собственных векторов |n1 ⟩|n2 ⟩|n3 ⟩ при отражении меняет знак, т. е. нечётно.1 В классическом случае эта дополнительная симметрия приводит к тому, что период радиальногодвижения совпадает с периодом движения по углу, и траектория замкнута (эллипс) – в отличие от общегослучая, когда эти периоды не совпадают, и траектория не замкнута.9.4. Повышенная симметрия некоторых трёхмерных систем169♢ Операторы дополнительных сохраняющихся величин можно выбрать в видеÂi, j = â†j âi − δij N̂ /3 .(9.31)Отметим, что этих операторов по виду 9, но независимых среди них только 8, поскольку след составленной из этих операторов матрицы равен нулю.
Компонентывектора момента импульса отвечают только трем из этих операторов, ℓ̂3 = −i(Â1,2 −Â2,1), ℓ̂1 = −i(Â2,3 − Â3,2), ℓ̂2 = −i(Â3,1 − Â1,3) – ср. (4.35). Существование ещё пятинекоммутирующих друг с другом и с ℓ̂i сохраняющихся операторов и приводит (наалгебраическом языке) к появлению дополнительного вырождения1 .Коммутативность, например, оператора Â2,3 с гамильтонианом видна из того,что его действие на собственное состояние |n1 , n2 , n3 ⟩ превращает его в состояние|n1 , n2 + 1, n3 − 1⟩ с той же энергией.Перестановочные соотношения операторов Âi,j друг с другом легко устанавливаются, это(9.32)[Âi, j , Âk,ℓ ] = δiℓ Âk,j − δkj Âi,ℓ .Эти перестановочные соотношения совпадают с перестановочными соотношениямигенераторов группы унитарных матриц 3-го порядка с равным нулю следом, которую называют группой SU(3).
Эта симметрия – более высокая, чем симметриягруппы трёхмерных вращений O(3) или изоморфная ей группа унитарных матриц2-го порядка с равным нулю следом SU(2) ⊂ SU(3).9.4.2. Кулоновская задача. Метод ФокаДля кулоновской задачи три дополнительных сохраняющихся оператора – трикомпоненты квантового аналога вектора Рунге–Ленца–Лапласа (сохраняющегосяв классической механике) 2A = −e 2r[p × L] − [L × p]+.r2m(9.33)Прямым вычислением нетрудно убедиться, что наряду с известными перестановочными соотношениями [ℓ̂i , Ĥ ] = 0, [L̂i , L̂ j ] = i~ei jk L̂k (9.2) и [L̂i , Â j ] = i~ei jk Ak (8.5)выполняются также специфические соотношения[Âi , Ĥ ] = 0 ,[Âi , ÂJ ] = −2i~Ĥei jk L̂k /m .(9.34)Этим фактически закончено доказательство наличия условий для дополнительноговырождения (2.12).
Дальнейшие вычисления имеют целью получить энергетическийспектр атома водорода без решения дифференциального уравнения.1 Из этих пяти некоммутирующих друг с другом и с ℓ̂ сохраняющихся операторов удобно сфорiмироватьтензор, похожий на тензор квадрупольного момента (только похожий!)( симметричный)Ûij = Âi, j + Â j,i /2.2 Сравнивая с классическим вектором того же наименования, читатель обнаружит здесь симметризацию в соответствии с рецептом, обсуждавшимся перед (1.5).Глава 9.
Центрально-симметричное поле170Рассмотрим теперь набор состояний дискретного спектра с фиксированной (отрицательной) энергией −ε. Для этих состояний в перечисленные перестановочныесоотношения√мы подставим Ĥ → −ε и изменим нормировку оператора Â, обозначив Ĝ = −Â (m/2ε) /~. Полный набор остающихся перестановочных соотношенийимеет вид:[ℓ̂i , ℓ̂ j ] = ieijk ℓk ,[ℓ̂i , Ĝ j ] = ieijk Gk ,[Ĝi , Ĝ j ] = iei jk ℓk .(9.35)Эти соотношения обнаруживают симметрию между векторами ℓ̂ и Ĝ. Они в точности совпадают с перестановочными соотношениями компонент четырёхмерногоэвклидова тензора момента импульса, в котором компоненты вектора ℓ̂ отвечаютобычным трёхмерным вращениям, а компоненты вектора Ĝ отвечают вращениямв плоскостях (xi , x4) (приложение Б.6). Это означает, что кулоновская задача обладает группой симметрии четырёхмерных вращений O(4), которая включает в себягруппу трёхмерных вращений O(3) как подгруппу (В.А.
Фок, 1935 г.).♢ Перейдём к вычислению спектра энергий кулоновской задачи. Заметим сначала, что имеют место два легко проверяемых тождества,2ℓ̂ + Ĝ2 + 1 =(ℓ̂ Ĝ) = (Ĝ ℓ̂) = 0 ,Ry.ε(9.36)Введем теперь два новых векторных оператора(±)v̂i=)1(ℓ̂i ± Ĝi .2(9.37)Легко проверить, что перестановочные соотношения между компонентами каждогоиз них точно такие же, как и для компонент оператора момента импульса, а другс другом они коммутируют,(±)(±)(±)[v̂i , v̂ j ] = ieijk vk ,(+)(−)[v̂i , v̂ j ] = 0 .(9.38)Нетрудно получить отсюда, что [(v̂ (+)) 2 , (v̂ (−)) 2 ] = 0. Это значит, что операторы(v̂ (+)) 2 и (v̂ (−)) 2 одновременно измеримы.
В силу (9.38) собственные значения этихоператоров вычисляются точно так же, как и собственные значения оператора квадрата момента импульса в § 8.1, это v (±) (v (±) + 1), причём в отсутствие прямой связивведённых операторов с углами вращения, целыми должны быть только значения2v (±) , а не v (±) (8.15).()Поскольку (ℓ G) = (G ℓ) = 0, то (v̂ (+)) 2 = (v̂ (−)) 2 = ℓ2 + G2 /4.
Это означает,что собственные значения операторов v2(+) и v2(−) совпадают, т. е. v (+) = v (−) . удобнообозначить v (+) = v (−) = v. Подставляя эти собственные значения во второе равенство (9.36), получим результат, совпадающий с (9.19) с точностью до обозначений:4v(v + 1) + 1 =RyRyRy⇒ ε=≡ 2 , где n = 2v + 1 .ε(2v + 1) 2n(9.39)Убедимся, что этот подход даёт и другие известные свойства атома водорода.9.5. Задачи171▽ При заданном значении v кратность вырождения каждого из операторов(+)(−)(v̂ (+)) 2 и (v̂ (−)) 2 (число различных проекций операторов v̂z и v̂z на ось z) составляет 2v +1. Поэтому полная кратность вырождения составляет (2v +1) (2v +1) = n2 .▽ Возможные значения полного момента.
Напомним, что ℓ̂ = v̂ (+) + v̂ (−) призаданных v (+) = v (−) = v. Это соотношение может реализовываться при различныхотносительных ориентациях векторов v (+) и v (−) . В итоге орбитальный момент ℓпробегает все целочисленные значения от 0 до 2v = n−1 (см. подробное обсуждениесходного вопроса в § 12.1).▽ Чётность. Оператор Ĝ не коммутирует с оператором пространственного отражения, поэтому общие собственные состояния гамильтониана и любого из операторов Ĝi не имеют определённой чётности.§ 9.5.Задачи1. Для прямоугольной сферически симметричной потенциальной ямы докажите условие (9.5), рассмотрите также предельный переход U → ∞, a → 0. При какомусловии в пределе остаётся связанное состояние?2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
