1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 52
Текст из файла (страница 52)
С другой стороны, в рассматриваемом газе заселённостьnkλ не зависит от направления векторов k и ε. Поэтому та же плотность энергиивыражается через энергию одного фотона и плотность числа состояний на единицуобъёма в этом интервале ρ(ω) = ω 2 / (π 2 c 3) (15.24в):U(ω)dω =⟨E2 (ω) + B2 (ω)⟩⟨E2 (ω)⟩~ω 3V ρ(ω)dω =V ρ(ω)dω = n(kλ) 2 3 dω . (13.31)2 · 8π8ππ c(Множитель 1/2 возник при усреднении величины cos2 (ωt − kr) по времени.)§ 13.4.Системы с взаимодействиемГамильтониан системы можно представить в виде суммы одночастичных гамильтонианов Ĥa1 , каждый из которых описывает состояния отдельной частицы a, и до∑ (1)бавки V̂ , описывающей взаимодействие Ĥ =Ĥa + V̂ .aПусть теперьвзаимодействие V̂ складывается из энергий взаимодействия пар∑ (2)частиц V̂ =Ĥ (ab).
Здесь a и b обозначают координаты частиц a и b. (Еслиa,bнеобходимо учесть трёхчастичные взаимодействия, это делается сходным образом.)Обозначим через |i⟩ собственные векторы одночастичного гамильтониана Ĥ (1)и через Ei соответствующие значения энергии так, чтоĤ (1) =∑Ei |i⟩⟨i| .(13.32а)Глава 13. Тождественность частиц214В этом базисе оператор Ĥ (2) , действующий в пространстве, которое является прямым произведением пространств одночастичных состояний |k⟩, записываетсяв виде матрицы(2)(2)Hii ′ kk′ = ⟨i|⟨i ′ |Ĥab |k⟩|k′ ⟩.В представлении чисел заполнения нетрудно получить (подобно тому как этоделалось при описании разных операторов в энергетическом представлении для осциллятора)Ĥ =∑i(1)Ei bi+ bi + V̂ ≡∑Ei Ni + V̂ ,V̂ =∑i,i ′ ,k,k′(2)Hii ′ kk′ bi+ bi+′ bk bk′ .(13.32б)Подобные представления можно построить и для других операторов. В силу тождественности частиц операторы физических величин исчерпываются такими наборами.Используя соотношения (13.14), взамен (13.32б) можно записать такжеĤ2 =∫Ĥ1 =∫ψ̂ + (q) Ĥ (1) ψ̂ (q)dq ;ψ̂ + (q) ψ̂ + (q ′) Ĥ (2) ψ̂ (q ′) ψ̂ (q)dqdq ′ .(13.33)О взаимодействии электронов с решёткойВ кристаллах за счёт колебаний ионы смещены от положения равновесия, такчто электроны движутся в потенциале, отличающемся от периодического.
Пока отклонения от положения равновесия невелики (т. е. число фононов мало), их можноописать как возмущения. Изменение энергии электрона, вызванное смещением ионаот равновесного положения, выражается через изменение потенциала поля, создаваемого ионами eδ (U(x)), и плотность числа электронов ρ(x) = ψ ∗ (x)ψ (x) описываетсявыражением V1 = −eρ(x)dU/dx∆x. При небольших отклонениях от равновесия силапропорциональна смещению, edU/dx = −F . В итоге, суммируя по всем ионам, получаем∑∑V = Vn = F ψ ∗ (xn)ψ (xn)∆xn .nВыполним разложение по собственным функциям оператора конечного сдвига– преобразование Фурье.
Для смещений оно даётся соотношениями (7.32), a дляэлектронов – соотношениями (7.8). В методе вторичного квантования коэффициенты последнего разложения приобретают смысл операторов рождения и уничтоженияэлектронов. С учётом ортонормированности собственных функций оператора сдвигаиз выписанного выражения получается гамильтониан электрон-фононного взаимодействия (Фрёлиха), где сумма берется по всем значениям квазиимпульсов pи k, а u p (x) – блоховская амплитуда (7.6):V̂ =()g pk+√â+p â p−k âk + â−k ,NMωkp,k∑g pk = F∫u p (x)u p−k (x)dx .cell(Последний интеграл берется по элементарной ячейке.)(13.34)13.5. Задачи215Такой гамильтониан используется для описания процессов в кристаллах.
В частности, в середине 1950-х г. при экспериментальном исследовании сверхпроводимости был обнаружен изотопический эффект – зависимость температуры сверхпроводящего перехода от массы изотопа. Подобная зависимость отсутствует в гамильтониане электрон-электронного взаимодействия, но присутствует в гамильтонианевзаимодействия электрона с решёткой (13.34). Поэтому обнаружение изотопического эффекта послужило основой для понимания того факта, что сверхпроводимостьобусловлена электрон-фононным взаимодействием. Вскоре после этого и была построена микроскопическая теория сверхпроводимости.§ 13.5.Задачи1. Найти спектр энергий и кратности вырождения относительного движения системыиз двух тождественных частиц с потенциалом взаимодействия U = k(r1 − r2) 2 /2при различных значениях полного спина системы, считая частицы1) бесспиновыми;2) имеющими спин 1/2 (электронами);3) имеющими спин 1.2. Докажите (13.6).∑ 2kxi /2 и взаимодействуют по закону −kx1 x2 .3.
Два фермиона помещены в полеiВ первом порядке теории возмущений найти поправки к четырём низшим уровнямв состояниях с различным полным спином. Сравнить с точным решением.4. Две частицы в параллелепипеде с ребрами a, b, c взаимодействуют по законуU = U0 δ (r̄1 − r̄2). Найти поправки первого порядка к энергиям двух нижних состояний, считая частицы1) различными (с равными и с неравными массами);2) тождественными со спином 0;3) тождественными со спином 1/2.В последнем случае определить вероятность того, что обе частицы находятсяв левой половине объёма при заданном полном спине s.5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, построенныхдля двух осцилляторов:()++â = â+Ĉ = i â1 â+1 â2 + â2 â1 ,2 − â2 â1 .6. Покажите, что из инвариантности гамильтониана относительно преобразованияa → e −iα a, a+ → e iα a+ следует сохранение числа частиц â+ â.Глава 14Атомы, молекулы, ядраВ этой главе рассматриваются только начальные элементы физики атомов,молекул и ядер.Как известно, атомы состоят из электронов и положительно заряженных ядер,размеры которых значительно меньше атомных размеров.
Атом содержит Z электронов, он электрически нейтрален, заряд ядра равен (с точностью до знака) сумме зарядов входящих в атом электронов Ze. Устойчивость атома обеспечиваетсяпритяжением электронов к ядру, имеющему массу MA ≈ Am p (A – атомный весв единицах массы протона).
При описании молекулы массы входящих в неё атомовобозначаются через Mi . В обоих этих случаях рассматривается только движениеотносительно центра масс, в атоме он практически совпадает с ядром.Порядки величин♢ Характерные величины энергии связи электронов в атоме определяются решением задачи об атоме водорода. Для внешних электронов это величины порядка(0, 1 ÷ 1) Ry ∼ 1 ÷ 10 электронвольт.
Энергии возбуждения отдельных уровнейи их расщепления на 1-2 порядка меньше, это электронвольты и их доли. Внутренние электроны чувствуют притяжение почти неэкранированного ядра, их энергиисвязи достигают Z 2 Ry, т. е. доходят до ∼ 105 электронвольт (0,1 МэВ) для урана.♢ Энергии связи молекул на 1-3 порядка меньше энергии ионизации атомов.Молекулы с энергией связи меньше 0,025 эВ разрушаются тепловым движениемпри комнатной температуре.♢ Энергии связи ядер на 5-6 порядков больше атомных, типично это – МэВы(Мегаэлектронвольты) на нуклон (протон или нейтрон).Для понимания важности эффектов полезно иметь в виду тепловое уширениеспектральных линий.
Оно возникает из-за эффекта Доплера – сдвига частоты вследствие теплового движения молекул и атомов. Поскольку скорости движения молекул невелики по сравнению со скоростью света, характерное изменение частоты в силу эффекта Доплера можно оценить с помощью нерелятивистской формулы ω ′ ≡ ω − ∆ω = ω (1 − v/c) (здесь v – проекция скорости молекулы на направление наблюдения). Среднее относительное значение сдвига частоты излучения14.1.
Атомы217(относительная ширина спектральной линии) определяется из цепочки простых оценок (M – масса молекулы или атома):⟩ √⟨⟩ ⟨ ⟩ ⟨√kT/M∆ωvkT=∼=.(14.1)ωccMc 2Для атома водорода (Mc 2 ≈ 109 эВ) при комнатной температуре (kT ≈ 0, 025 эВ)это относительное уширение составляет 5 · 10−6 .§ 14.1.АтомыВ атоме каждый из электронов движется в поле, создаваемом ядром и всемидругими электронами. Полный гамильтониан атома можно записать в виде (i – номерэлектрона)Ĥ =∑ p̂2∑ Ze 2 ∑e2i−++ Ĥ f + Ĥhf + ĤL .2mri|ri − r j |ii(14.2)i> jЗдесь слагаемое Ĥ f описывает тонкое (спин-орбитальное) взаимодействие, слагаемое Ĥh f описывает сверхтонкое взаимодействие, а ĤL – Лэмбовский сдвиг(см. ниже). Точное решение такой задачи связано с большими вычислительнымитрудностями даже для сравнительно простых систем типа атома гелия.14.1.1.
Самосогласованное поле. Электронные конфигурацииПри изучении строения атомов обычно стартуют с приближения самосогласованного поля, в котором считают, что каждый электрон в отдельности движетсяв самосогласованном центральном поле V(r) = Z ∗ (r)e 2 /r, создаваемом ядром иостальными электронами, где Z ∗ (r) – суммарный заряд ядра и электронов, находящихся внутри сферы радиуса r. Отклонение энергии взаимодействия электронас ядром и остальными электронами от энергии его движения в самосогласованномполе невелико, и это обусловливает эффективность рассматриваемой ниже картины. Это приближение учитывает первые два слагаемых и – усреднённо – третьеслагаемое гамильтониана (14.2).Вблизи ядра наружные электроны не создают поля, и Z ∗ (r) ≈ Z.
С ростом расстояния поле убывает быстрее кулоновского, в частности, на больших расстоянияхот ядра Z ∗ (r) ≈ 1 (внешний электрон «видит» однократно заряженный положительный ион), вблизи от ядра Z ∗ (r) ≈ Z (внутренний электрон «видит» только ядро).При таком подходе отличие поля от кулоновского на расстояниях, сравнимыхс размером ядра, учитывается просто как ещё одна небольшая модификация эффективного заряда Z ∗ (r) на малых расстояниях. В тяжёлых атомах для ближайшихк ядру электронов следует учитывать ещё модификацию потенциала, эффективноописывающую релятивистские поправки.218Глава 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
