1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Поскольку E = −(r/r)dφ/dr,B = − [r × v]~(dφ/dr)=−(dφ/dr) ℓ.ercemcrПо порядку величины1 энергия взаимодействия спинового магнитного момента i-гоэлектрона с этим полем (спин–орбитальное взаимодействие) есть (здесь V = eφ)~2V ′ (ri) · ℓi si ⇒ βi (ℓi si),δi ∼ 1,m2 c 2 r i()2()2( a )3V ′ (ri)~e 2 Z ∗ (ri)~Bβi ∼∼= Z ∗ (r)α2 Ry.23mcmcrririVℓs,i = −δi µs B = δi(14.4)Получившееся выражение∑ следует просуммировать по всем электронам и усреднить по объёму, VLS = ⟨ Vℓs,i ⟩.
Усреднение по электронному состоянию атомас данными значениями суммарных момента импульса L и спина S даёт⟨∑ ⟩VLS = C(LS),C∼βi .(14.5)Оценим теперь коэффициент C. Из-за множителя 1/r 3 основной вклад при усреднении даёт область малых r, где волновая функция такова же, как и у водородоподобного атома с зарядом ядра Ze (см. стр. 162), при этом Z ∗ = Z. Вспомним теперь,что для такого атома e 2 Z/r ∼ Z 2 · Ry и r ∼ aB (Z) = ~/ (Zmcα) (9.14).
Как результат,в основной области r . aB /Z мы имеем βi ∼ Z 4 α2 Ry. Однако для внешних электронов эффективный заряд Z ∗ = 1, и вероятность для такого электрона попасть всферу небольшого радиуса r . aB /Z составляет 1/Z 2 . В итоге получается оценкаC ∼ (Zα) 2 Ry.(14.6)Если электронная конфигурация такова, что имеется всего одна незаполненная оболочка, и эта оболочка заполнена менее чем наполовину, то C > 0; в противоположном случае C < 0 [1].1 В точном соотношении необходимо аккуратно преобразовывать спиновый магнитный момент припереходе из неинерциальной системы, где электрон покоится. Аккуратный расчёт, пригодный для вычисления спин-орбитального взаимодействия в атомах и ядрах, даёт δi = (gi − qi) /2, где gi – гиромагнитноеотношение для частицы i (11.3), (11.5), а qi – её электрический заряд в единицах заряда электрона e.Так, для электрона, протона и нейтрона получается соответственно δe ≈ 0, 5, δ p ≈ 2, 29, δn ≈ −1, 91.Глава 14.
Атомы , молекулы , ядра222Итак, энергия атома начинает зависеть от его полного спина и от взаимной ориентации момента импульса и спина. Эта зависимость называют тонкой структурой.222Напомним, что 2⟨LS⟩ ≡ ⟨Ĵ − L̂ − Ŝ ⟩ = J(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1). Поэтомурасщепление уровней тонкой структуры есть CJ(J + 1) /2 c характерной энергией(14.6), а расстояние между ними ∆EJ,J −1 = CJ (правило интервалов Ланде).Тонкую структуру можно наблюдать, например, в спектре поглощения света.Обозначим через EnL энергию основного состояния атома без учёта тонкой структуры и через En′ L′ определённую в том же приближении энергию атома, в которомэлектрон с «внутренней» орбиты переместился на внешнюю орбиту так, что главное квантовое число n заменилось на n′ и момент импульса атома стал L′ .
Тогдав спектре поглощения будут наблюдаться полосы, отвечающие частотамEn′ L′ − EnL+~B ′ [J ′ (J ′ +1) −L′ (L′ +1) −S ′ (S ′ +1)] − B[J(J +1) −L(L+1) −S(S +1)]+.2~Здесь штрихованные величины отвечают состояниям возбуждённого атома, которыеопределяются по приведённой выше схеме.▽ Для тяжёлого атома (Z ≫ 1) спин-орбитальное взаимодействие (14.5) можетоказаться сильнее корреляционного (B ∼ 1).
Если бы это неравенство между взаимодействиями стало сильным, то первая поправка соответствовала бы тому, чтосначала формируются полные моменты отдельных∑электронов ja ≡ ℓa + sa , а затемуже возмущение Vcorr даёт полный момент J =ja . Этот случай называют случаем j j-связи. Однако случай чистой jj-связи для элементов таблицы Менделееване реализуется, и для тяжёлых атомов приходится иметь дело с трудно вычислимымслучаем смешанной jj- и LS-связи.ω=14.1.4. Тонкая структура уровней атома водородаТонкая структура уровней атома водорода имеет свои характерные черты. Чтобыизучить её, заметим, что спин-орбитальное взаимодействие – эффект второго порядка по отношению v/c. Исследование релятивистского уравнения для электрона –уравнения Дирака – позволяет записать гамильтониан атома водорода с точностьюдо (v/c) 2 в видеV̂relp̂2e2Ĥ = Ĥ0 + V̂rel + V̂ fs + V̂D ,Ĥ0 =−,2mr( 2 )2(p̂)1 ( aB ) 3 2π,V̂=α Ry(ℓ s) ,V̂D = α2 Rya3B δ (r) .=−fs8m2 c 32r2(14.7)Мы рассматриваем слагаемые V̂i как возмущения.Слагаемое V̂rel – обычная поправ√ка в разложении кинетической энергии ϵ = m2 c 4 + p2 c 2 −mc 2 по (v/c) (9.22).
Слагаемое V̂ fs – обсуждавшееся выше спин-орбитальное взаимодействие с аккуратновычисленным коэффициентом. Появление слагаемого V̂D (его обнаружил Дарвин)14.1. Атомы223обусловлено тем, что – в силу соотношения неопределённостей – электрон нельзялокализовать лучше, чем его комптоновский размер ~/ (mc).Поправка к энергии уровней, обусловленная слагаемым V̂rel обеспечиваетнебольшое разрушение вырождения по ℓ при фиксированном n. Она вычисленав (9.22б):()1α2 Ry3∆Erel = − 3−.(14.8а)nℓ + 1/2 4nДарвиновская поправка к энергии:ππ∆ED = ⟨njl|V̂D |njl⟩ = α2 Rya3B ⟨njl|δ (r)|njl⟩ = α2 Rya3B |ψn,ℓm (0)|2 δℓ0 .22Эта величина содержит квадрат волновой функции при r = 0, который отличен отнуля только при ℓ = 0 (напомним, что при малых r и ℓ ̸=√0 радиальная волноваяфункция убывает как r ℓ (9.7)). При этом ψn,ℓ=0 = Rn,ℓ=0 / 4π.
Используя (9.17в),мы получаемα2 Ry1δ⇒∆E=δℓ0 .(14.8б)a3B |ψn0 |2 (0) =ℓ0Dπn32n3Спин-орбитальная поправка к энергии:⟩⟨ (ℓs)a3B α2n jl =∆E fs =Ry njl 2r3 3⟨⟩ aB α2j(j + 1) − ℓ(ℓ + 1) − 3/4=Ryn jl 3 n jl .22rПри ℓ = 0 среднее значение ⟨|(ℓ s)|⟩ обращается в нуль, т. е. равен нулю и весьспин-орбитальный вклад. Коэффициент же ⟨|1/r 3 |⟩ не расходится только при ℓ ̸= 0(вспомните (9.7)). Используя для этого среднего результат (9.26б), найдём∆E fs =α2 Ry j(j + 1) − ℓ(ℓ + 1) − 3/4(1 − δℓ0) .4n3(ℓ + 1/2)ℓ(ℓ + 1)Полная поправка второго порядка по(v/c) ∼ α к энергии уровня атома водорода складывается из найденных вкладов (14.8): ∆E = ∆Erel + ∆E fs + ∆ED .Приводя подобные члены для каждого издвух возможных значений j = ℓ + 1/2 иj = ℓ − 1/2, мы обнаруживаем, что общеевыражение для энергии уровня с учётомэтой поправки сохраняет двукратное вырождение по ориентациям спина при заданном значении полного момента j:Enjℓ = −Ry α2 Ry−n2n3(14.8в)3d5/23p3/2 , 3d3/2 n = 33s1/2 , 3 p1/2}2 p3/2n=22s1/2 , 2 p1/21s1/2}n=1Рис.
14.1. Тонкая структура атома водорода(13−j + 1/2 4n).(14.9)Глава 14. Атомы , молекулы , ядра224На рис. 14.1 изображена получившаяся схема уровней тонкой структуры.Обнаруженное двукратное вырождение отсутствует у атомов с несколькими электронами, где уже состояния невозмущённого гамильтониана Ĥ0 при разных ℓ и одинаковом n имеют разные энергии. Для таких атомов релятивистское слагаемое V̂relи Дарвиновский член V̂D добавляют лишь ничтожные поправки (∼ α2) к уже имеющемуся расщеплению термов, вызванному отклонением эффективного потенциалаот закона 1/r, поэтому для таких атомов эти поправки можно не учитывать. По тойже причине для многоэлектронных атомов обычно не изучается зависимость среднего ⟨|1/r 3 |⟩ от ℓ.Лэмбовский сдвиг.
Вырождение, показанное на рис. 14.1, снимается очень слабым Лэмбовским расщеплением, которое обусловлено взаимодействием электронас вакуумными флуктуациями электромагнитного поля и «виртуальным» (на очень короткое время, допускаемое соотношением неопределённостей) рождением электронпозитронных пар. Точный расчёт, проводимый методами квантовой электродинамики,показывает, что эти эффекты заметно сдвигают только энергии состояний с ℓ = 0(s-состояния), для остальных состояний сдвиги энергий очень малы. Энергия уровняns1/2 (14.9) увеличивается на величинуLδEn,ℓ=0[]16α31=ln + Rn Ry ,3πn3αRn ∼ 1.(14.10)Сдвиг уровней с ℓ ̸= 0 значительно меньше, помимо общей зависимости 16α3 / (3πn3),этот сдвиг зависит от ℓ и j, но не содержит большого усиливающего слагаемогоln(1/α).
В частности, для уровня 2s1/2 величина R2 = −1, 089, а вычисленное расстояние между уровнями 2s1/2 и 2 p1/2 составляет 1057, 91±0, 01 МГц, что прекрасносогласуется с измеренным значением 1057, 90 ± 0, 06 МГц.Вычисление величины Лэмбовского сдвига в 1947 г. стало рубежом, ознаменовавшим построение первой последовательной современной теории квантованныхполей – квантовой электродинамики.14.1.5. Малые поправкиСверхтонкая структура термов возникает из-за взаимодействия магнитного момента электрона (орбитального и спинового) j с магнитным моментом ядра, имеющего спин I. По порядку величины для атома водорода энергия этого взаимодействиясоставляет⟨µ µ ⟩e~e~1e AE h f ∼ gF∼ gF··∼r32me c 2M p c a3B n3 (ℓ + 1/2) j(j + 1)(14.11)meα2 Ry∼ gF· 3.M p n (ℓ + 1/2) j(j + 1)Здесь M p – масса протона (магнитный момент ядра складывается, грубо говоря,из магнитных моментов составляющих его протонов и нейтронов), мы учли значениесреднего ⟨1/r 3 ⟩ (9.26б), в котором с учётом спина электрона произведена замена ℓ(ℓ+14.1.
Атомы2251) → j(j + 1). Наконец, фактор Ланде gF отвечает сложению моментов электрона иядра в полный момент атома F = j + I.В соответствии с оценкой (14.1), это расщепление при комнатной температуре «тонет» в тепловом уширении и наблюдаемо в спектрах лишь при достаточнонизких температурах.
В то же время можно наблюдать переходы между состояниями сверхтонкой структуры (в радиочастотном диапазоне). Поскольку эти состояния имеют одинаковую чётность, указанные переходы могут быть только магнитнодипольными или квадрупольными (запрещёнными). Поэтому соответствующие времена жизни очень велики, зато хорошо наблюдается резонансное рассеяние на частотах этих переходов (cм. § 15.5). В частности, для основного состояния атомаводорода (n = 1, ℓ = 0, j = I = 1/2) переход из состояния с F = 1 в состояние с F = 0 происходит на частоте ∆Ehf,H / (2π~) = 1420 МГц, отвечающей длиневолны 21 см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
