1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Число таких перестановок есть у,) п,!. Следовательно, в статистике Бозе — Эйнштейна число различных вариантов распределения частиц по ячейкам слоя, охаракте- Ф 4. Сгагиегика Бава — Мюигвака дал вввгввик квалгов 311 рнзованного индексом з, дается формулой и (а'в+ли — 1)! (ив л — 1)! Хв! лв! (Гз ) ! лв! Отсюда ясно, что число различимых распределений в случае когда первый слой содержит л! частиц, второй ла частиц н т. д., представляет собой произведение такого сорта членов по всем слоям фазового пространства: (и~+ лв — 1) ! = л.,е -йЛГ;Р- .
Назовем это выражение <вероятностью» заданного (т. е, определенного числами заполнения ли лв,,) распределення частиц по слоям. В нашем случае оно играет ту же роль, что к найденное ранее (гл. 1, $6) выражение л! % Щ! (... й!62 для вероятности в статистике Больцмана. Последуюшие вычисления проводятся точно так же, как н раньше. Для того чтобы найти наиболее вероятное распределение, используем формулу Стирлннга. Пренебрегая единицей по сравнению с большкмн числами л, н йи получаем 1и )вг = ~~."„((у, +- и,) 1п (л, + л,) — у, 1п у, — и, 1п п,) . Теперь необходимо вычислить максимум 1и %" прн изменении. в„ принимая в расчет дополнительное условне ~чр~явзв=Е (е =йв,).
Для световых квантов, как было показано раньше (й 4 этой. главы), второе дополнительное условяе (постоянство числа частиц) учитывать не нужно. Поэтому обычная процедура приводит к уравнению -т= — =1п(п,+а,)-+1 — 1пп,— 1=1п к'+~' ()е„ нли й, ~л лава л Таким образом, по Бозе — Эйнштейну распределенне световых квантов имеет внд (еслн опустить индекс е) н~~7й У Г*, УШ.
Хвакгоеаэ стагиствгл за что для плотности энергии дает выражение лат 1 Знай~ ет Я„Фч = — = -1- -~ —. Это как раз и есть формула излучения Планка, если считать, что р МйТ. Последнее допущение оправдывается термодинамическнми соображениями. Действительно, согласно Больцману 3 Й1п й" следует рассматривать как энтропию.
Можно показать теперь (см. приложение 35), что из уравнения ТЮ еЦ следует, что р= 11ФТ (здесь ٠— теплота, переданная системе; при постоянном объеме она совпадает с приращением энергии газа световых квантов). Итак, закон излучения Планка можно вывести из статистики Бозе — Эйнштейна с помощью рассуждений, которые совершенно свободны от возражений.
ф А Эйнштвйково теория аэзрождемом газа После блестящего успеха статистики Бове — Эйнштейна в описании газа световых квантов естественно было испытать ее и в кинетической теории газов как альтернативу статистике Больцмана. Исследование, предпринятое Эйнштейном (1925 г.), основано на гипотезе, что молекулы газа, подобно световым квантам, неотличимы друг от друга. Вычисления идут точно так же, как и в случае световых квантов, ио с той разницей, что появляется второе дополнительное условие, учитывающее сохранение числа частиц: ,'5', н, = л1'. Вероятность определенного распределения аь ае....
находится здесь так же, как и выше. Вычисление наиболее вероятного распределения приводит теперь благодаря второму дополнительному условию к уравнению дээ ээ нли. если опустить индекс г, в= где снова 1= 1/ФТ (см. приложение 36). Здесь число й ячеек в слое можно выразить через соответствующую энергию; действительно, е=~ — рэ и йе= — рйр, 1 1 в В, Эвиаттавиова т»оааа аив»»»даава еаза з~з где р — импульс частиц; поэтому полученное выше выраже- ние для я принимает вид б= —,Р»ФР= —,72й- ~й. 4аУ 4»У Таким образом, мы находим запоя распределения атломов в свииппслиисв Бозе — Затоитлейиа шм=т<.>тт»=~ — » — —, (в= — ') 4аУ т'ййг г'в Фв лв + — 1 ' ~ ат ' в то время как закон распределения в статистике Больцмана имел вид (гл. 1, 3 б) с(Ж=УНп=4пЪЪ~~~ ~~~ 'е з иг~РЫо= 1 УвИ' / = 4я1»' Яр-) 1/ — ~.
в-чаг ~/е Ыз. Здесь 1» обозначает число частиц в объеме К, а и — число частиц в единице объема.) Величина и определяется, очевидно, из дополнительного условия ~МИ=~Р(е) ~Ге йв =1»'=пУ. » Константу о, или, чаще, величину А=е-», называют пава- метром вырозсдения, и по следующей причине. Если а очень велика, а следовательно, А очень мала (по сравнению с еди- ницей), то мы можем пренебречь 1 в знаменателе по срав- нению с а»+в»=вв»/А (ибо ра. конечно, всегда положительно); следовательно, в этом случае мы получаем йЧ= — г- у'Ыт у'е ФеАв-в», т. е. классический закон распределения Максвелла; здесь А=е-» сразу находится из добавочного условия постоянства числа частиц.
Итак, мы находим (гл. 1, $6; приложение 1) из» А= (2аеат)ч' Таким образом, если А очень мало по сравнению с 1, то фор- мула распределения Бозе — Эйнштейна переходит в классиче- скую. По-другому обстоит дело, когда А становится сравнимой с 1 (случай А>1, т. е. а<0, не может осуществиться, поскольку знаменатель тогда обращается в нуль при энергии а= — а/Р, а для меньших значений е становится отрицательным, так что З14 Гл. т'Ш.
1(еаатоеая статистика вся теория теряет смысл). Если А»1, то появляются отклонения от классических свойств; тогда мы говорим, что газ аырозсдаи. В этом случае дополнительное условие прйводит к трансцендентному уравнению для А, которое можно решить с помощью разложения в ряд по степеням п)гЧ(2жййТ)ч~, причем первый член разложения совпадает с выражением, полученным для А в предельном случае А~1: ваз / 3 лаз А= , /1 (2июЗТ) Ь ~ 4 (4алгаТ) Ь ) Подставляя частные значения постоянных лт, гз н Т, мы можем выяснить из этого уравнения, вырожден газ при таких условиях или нет.
Прежде всего мы видим, что в самом общем случае А увеличивается, а вырождение становится соответственнобольше когда увеличйвается и, т. е. плотность; с другой стороны, А уменьшается с увеличением температуры и атомного веса. Возьмем пример: для водорода при нормальных условиях (для Т=300'К, л 3 ° 10'е см-з) получается А 3 ° 10-еср.1, а для тяжелых газов А становится еще меньше; следовательно, прн нормальных температурах и давлениях газы никогда не бывают вырождены н ведут себя согласно классическим законам.
Вырождение стало бы заметным лишь при недостижимо низких температурах или исключительно высоких давлениях, т. е. еобластях, где, даже согласно классической статистике, газы боль ше не ведут себя как идеальные (влияние конечного размера частиц, конденсация газа и т. д.). Итак, статистика Бозе — Эйнштейна в применении к газам в той области, где справедлива кинетическая теория газов, практически. не обнаруживает от-. личий по сравнению с классической статистикой Больцмана. Было, однако, предположено (Тисса, 1935 г:, Ф. Лондон, 1939 г.), что теорию Эйнштейна можно применить к аномальному поведению жидкого гелия при очень низких температурах, Детальное изучение уравнения состояния вырожденного газа показывает, что при очень низких температурах имеется скачок, когда происходит нечто вроде конденсации газа, при которой огромное большинство молекул переходит в основное состояние.
Вычисленная температура перехода достаточно хорошо совпадает с экспериментальной точкой (Т 2,4 К), при которой на ступает аномальное, так называемое сверхтекучее состояние гелия. Однако все еще сомнительно, может ли эта модель учесть странные свойства гелия в этой области, и были предложены другие объяснения (Грин, 1948 г.) '). ') Каи вмисивлось, дли ирвиеиевии модели амровгдеииого боае-гава и описаикю сверхтекучести жидкого гелии сувгествеиио иеобходкио учитмаать взаимодействие молекул (Богоюобов, 194у г.).
— Праа. ред, б б. Сгагистивв Ферми — Диввва З1б ф 6. Статаствка Ферма — Дарака Мы показали в $4 этой главы, что введение в статистику принципа неразличимости приводит к двум, н только двум, новым системам статистики. Одну из них, статистику Бозе — Эйнштейна, мы подробно обсуждали в последних двух параграфах (световые кванты, молекулы газа). Теперь обратимся ко второй возможной статистике, основанной на принципе Паули и предложенной Ферми и Дираком. Как мы виделн в 5 4, зта статистика тесно связана с использованием принципа Паули: мы отмечали, что собственная функция состояния, в котором два электрона имеют одинаковые индивидуальные собственные функции (учитывая четыре квантовых числа, в том числе квантовое число спина), автоматически обращается в нуль. Чтобы разобраться в природе этой статистики, мы воспользуемся моделью газа, состоящего из электронов, подчиняющихся, как экспериментально свидетельствувт спектроскопия, принципу Паулк.
В этом случае наша первая цель опять состоит в нахождении распределения электронов по отдельным ячейкам. Однако теперь мы должны иметь в виду, что ячеек вдвое больше, чем в предыдущем случае, когда рассматривались атомы газа, вследствие того что возможны два направления спина; с другой стороны, ин одна ячейка ие может быть занята более чем одним электроном, или, другими словами, «числа заполнения» ячеек в этом случае могут равняться либо О, либо 1. (Мы можем, конечно, принять другое предположение, а именно, что число ячеек в каждом слое то же, что и раньще, но в. качестве компенсации отвести электронам два возможных места в каждой ячейке соответственно двум направлениям спина.) Как и раньше, мы начнем с перечисления различимыл распределений.
Пусть в з-м слое находится и, электронов, распределенных по я, ячейкам этого слоя, поэтому нз й, таких ячеек л, будут заняты одним электроном (1), а Ы,— и, будут пустыми (О). Мы характеризуем такое распределение, задавая каждой ячейке ее число заполнения яг ~в яв «е яв яе ят яв яе ям ° ° ° 1001110100 или указывая незанятые ячейки и те, которые заняты одной частицей, 0 1 яе яв ят яв зм ° ° ~зе яе яв яе яв ° ° Ясно, что имеется й,! таких распределений соответственно числу перестановок и, ячеек х в этой схеме. Но среди этих распре- Гя 7Ш.
делят«еая «тятлетялл зш делений одинаковым состоянням (в омысле заполнения) ссютветствуют все те, которые отличаются друг от друга только перестановкамн л, заполненных ячеек нлн перестановками К,— л, пустых ячеек. Поэтому «вероятность» распределення, характернзующегося чксламн заполнення пь пь ль ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
