1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Распределения интенсивности при различных температурах графически изображены на фиг, 82. При 19 м. воов Фыг. 32. Кривые еиектральыого распределения ыытененвноегы твидового налуяеыыя ио~™Планку для теыиератур ог МОО до 4000'. влввввеа масытеба ио оси абскисс слуыат ад кк. Зсытрвкеааиаав область соответствует ультрефиолссееему яекуяеиюо (являть яе б.та.аФ Облвссь еаламото иаауяевяк отреикчсвв лвгмк аувктвриымв ляиияма. Цифры ва кряаык врекстеалкыт сабоб сбеааытаые теываратурм. Слскусс отмстить короясее согласие с ексаеримситсльвмма левилами, врваелевкымв ва фаг. бт (стр.
666). Э д Твглсвов ивлгввггв и гаков Плавка малых частотах спектральная плотность возрастает приблизительно как квадрат частоты т: если Ьт?ЬТ~1, то экспоненту в знаменателе можно разложить в ряд по степеням Ьт!ЬТ, причем первый член разложения в точности соответствует закону Релея — Джинса; Зэзт~ и„— — г— с Таким образом, в длинноволновой части спектра закон Планка согласуется с классическими формулами. Иначе обстоит дела в области коротких волн. Если Ьч(ЬТУР1, то экспонента в знаменателе гораздо больше единицы.
В этом случае мы можем просто вычеркнуть из знаменателя единицу и получить тем самым приближенный закон излучения для коротких волн и» зявэл г г»/Фг Закон излучения в такой форме был предложен ранее Вином (1896 г.), который пытался феноменологнчески описать результаты своих измерений в этой части спектра (фиг. 83). Между областями применимости этих двух предельных законов излучения лежит обширный переходный район, в котором и лежит максимум кривой распределения. Прн повышении температуры этот максимум, в согласии с законом Вина, сдвигается в сторону коротких волн.
Аналогичное проведенному раныпе вычисление максимума интенсивности приводит к соотношению = — Х „,У' — С, гт Ь Ьт„»»» Зв где С вЂ” постоянная, которую можно найти, решая трансцендентное уравнение, и которая оказывается равной 0,2014. Выше мы упоминали (гл.?, $8), что атомные постоянные Ь и Ь можно определить с памощью спектрального распределения энергии в излучении черного тела. Константа Ь была впервые определена фактически Планком с помощью закона Стефана я закона смещения Вина.
Согласно первому закону, полная энергия, излучаемая за секунду с одного квадратного сантиметра поверх ности нагретого до температуры Т тела, есть З=аТ', где о — постоянная, называемая коэффициентом излучения и равная о=5,67Х10 г эрг/смг сгя град'. Эту постоянную можно .получить и теоретически, интегрируя по всему спектру функцию распределения Планка.
В результате получается равенство о=йягЬ'/1бс'Ьв. С другой стороны, измерения показывают,. что постоянная в законе Вина 1 „„Т»»С(Ьс~й) 0,2014 Ьс(Ь? равна 0,290 см ° град, (Чтобы найти порядок этой величины, 1В» г з р ~ 8 р в р Фвг. 83. Кривые свектрааивого раепредеаеввв, авалогвчные прваедеввыы ва фвг. В2, во вав воаее выеоввв теывератур. Зиись иииииии мимигиби ии иси юуиииит ииииии.
чим ии миг. ат. у д Твоаовмковтв ввводекс ввв и мновоагомои» вазов 293 достаточно заметить, что максимум интенсивности в излучении Солана, которое излучает как черное тело при температуру Т ЙЫР, лежит в зеленой части спектра, т. е. приблизителЫо при А 4500 А.) Зная эти две эмпирически определенные константы, можно рассчитать Ь н й; найденные при этом значения хорошо согласуются с оценками, полученными другими методами. Сделаем еще одно короткое замечание. Из общего вида кривых распределения явствует, что коэффициент полезного действия, скажем, ламп накаливания и других осветительных приспособлений, основанных на излучении раскаленных тел, совершенно ничтожен, Действительно, область видимого света соответствует лишь узкой полосе в спектре теплового излучения; вся остальная энергия излучения пропадает даром, по крайней мере в смысле освещения.
Вернемся еще к истории открытия Планка. Нет нужды го. зорить, что гипотеза Планка встречала вначале самое яростное сопротивление физиков. Никто не хотел верить, что непременным условием вывода закона излучения является обращение к гипотезе квантов. Считалось, что зти новые идеи представляют собой ие более чем искусственный математический прием, который рано или поздно найдет ту или иную нитерпретацйю в рамках классической физики. Однако все попытки такого рода потерпели полный провал. Заслуга серьезного отношения к новым идеям принадлежит Эйнштейну, Он первый указал на то, что, помимо теплового излучения, существуют и другие явления, которые можно обьясмить на основе квантовой гипотезьг н которые необъяснимы с классической точки зрения.
В 1905 г. Эйнштейн выдвинул гииогезу световых «алнтое и показал, что законы фотоэлектрического эффекта свидетельствуют в ее пользу. Мы уже обсуждали это (гл. 1Ч, $2). ф У, Теалоеммоепзв пзае1вдвв.г тел и мкогошиомммх газов Годом или двумя позднее (1907 г.) Эйнштейн показал, что формула Плаййа для средней энергии осциллятора ьв з непосредственно подтверждается тепловыми свойствами твердых тел.
Из опыта известно, что прн высоких температурах справедлив закон, называемый законом Люлолга и Пти, который утверждает, что теплоемкость одной грамм-молекулы любого твердого вещества (гл. 1. $4) составляет цйнимвриа гл. УШ. Кганггггг сгатаггыка б каг(град. С классической точки зрения этот закон вполне понятен. В твердом теле каждый атом можно рассматривать как трехмерный гармонический осциллятор, поскольку, согласно нашим представлениям, атом удерживается в определенном положении равновесия некоторой квазиупругой силой. Поэтому по правилам классической статистики ему следует приписать з среднем полную энергию ЗкТ, так что моль вещества будет збладать энергией У=ЗМгйТ=ЗЙТ, где Р— универсальная газовая постоянная, равная приблизительно 2 каг/град.
Отсюда легко найти теплоемкость квк приращение энергии, соответствующее повышению температуры на 1 град. Итак, с = — =ЗЯ 6 кал/град. ги Однако на опыте наблюдаются отклонения от этого правила: чем тверже тело, т. е. чем крепче гпривязаныэ атомы к положению равновесия, тем заметнее эти отклонения. Так, например, для алмаза теплоемкость одной грамм-молекулы составляет при комнатной температуре всего лишь примерно 1 кал/град. Эйнштейн объяснил этн отклонения тем обстоятельством, что в этом случае нельзя пользоватьоя классическим выражением для средней энергии: необходимо обратиться к формуле Планка для средней энергии квантового осциллятора, Тогда энергия одного моля вещества будет равна аг,в в уат и= =ЗЛТ В втой формуле Ьч есть элементарный квант колебательной энергии осциллятора; он тем больше, чем прочнее удерживается атом и положении равновесия, так что слабая связь эквивалентна малой колебательной внергии, а стало быть, малой ча.
стоте. Важный вопрос состоит в том, какая нз величин больше, йт или йТ. Обычно при комнатных температурах Ы(ЬТг~1, так что формулу для средней энергии осцнллятора можно упростить разложением в ряд. В этом случае она переходит е классическую формулу И=ЗТсТ = ЗЯТ-+ и, таким образом, приводит к закону Дюлонга и Пти. Если же атомы жестко связаны с положением равновесия (как, например, в алмазе) или теплоемкость измеряется при' очень низких температурах, то Ьч1ЙТ становится сравнимой и даже превышает единицу; тогда появляются отклонения от р и Тсокоавкоотв твврдмз те.а а миоаовтовимк иксов 2зз закона Дюлонга и Пти.
Для теплоемкости получается кривая, форма которой показана на фиг. 84. При больших значениях Т 10 03 48 гр ЯБ ~ Ц5 ог Т ~,о ОУ ОВ О,У ОЫ с~ 05 04 оз м2 ОР УОО т Фиг. 84. График иизкотзмпзрзтуриоа зависимости твпговмкости по язбзвк Мааавакве круаав сбеавачако ексверввевчасевве сечка. скаемкав крвваа сествесствчес кезаевсксв ееервм Е- каракчервствческав еаввература аемессаа [так, чте С ( 1~) екав Фувквва ет тя.
кривая асимптотически приближается к классическомч пределу 6 им/град, а при малых Т убывает, проходя при Т' 0 через начало .координат. Экспериментальные исследования, имеющие целью проверку предсказаний теории и проведенные в основном Гл. уШ. кааагоааа статэсгэка Нернстом и его сотрудниками, показали, что имеет место приблизительное согласие между экспериментом и теорией, особенно в связи с тем фактом, что теплоемкость стремится к нулю по мере приближения к нулю температуры.
Тем не менее были обнаружены и расхождения, свидетельствующие о том, что теория в той форме, в какой она тогда существовала, нуждалась еще в некоторых уточнениях. Эти уточнения были сделаны Дебаем и независимо Борном и Карманом (1912 г.)„Они основываютоя на следующих соображениях.
До сих пор мы считали, что каждый отдельно взятый атом в твердом теле (кристалле) совершает гармонические колебания сокершенно независимо от других атомов. Однако на самом деле это вовсе не так, поскольку атомы кристаллической 6 ешетки, вне сомнения, очень сильно связаны друг с другом. оэтому не следует думать, что Ф~ атомов кристалла колеблются с одной и той же частотой. Скорее нужно рассматривать связанную систему ЗФэ различных колебаний (соответствепно ЗМс степеням свободы У, атомов, находящихся в одном моле) ° Энергия системы поэтому будет иметь вид ЗМе Ьч и-~ 1с — 1 где ч,— частота г-го колебания.
Разумеется, чрезвычайно трудоемкой задачей было бы непосредственное вычисление этой суммы иа основе какой-либо конкретной модели. Но приближенную формулу„как оказалось, пблучитЬ ццопце .Ыцжно..Простейший метод, пригодный для описания кристаллов, решетка которых составлена из атомов одного сорта, предложен Дебаем и заключается и следующем. Нормальные колебания атомов кристаллической решетки в обычной теории упругости рассматриваются как колебания кристалла в целом, хотя реальному наблюдению доступны, естественно, лишь колебания, длина волны которых значительно превышает межатомные расстояния (звуковые волны).
Поэтому для приближенного вычисления энергетической суммы можно заменить спектр нормальных колебаний атомов кристаллической решетки спектром упругих колебаний кристалла в целом. Следовательно, необходимо решить проблему определения спектра упругих колебаний твердого тела, которое в согласии с подходом теории упругости считается непрерывным. Аналогичные проблемы (побсчвт числа собственных колвбаний) уже встречались нам в различных областях квантовой теории (световое излучение, б-распад и пр.), и результат, простой вывод которого мы сейчас дадим, разумеется, не будет неожиданным. б 2. Тлелоеммолта гвлрдмк глл н ммолоегомнмл милам 297 Рассмотрим для простоты тело, имеющее форму куба с ребром а, н попытаемся найти его собственные колебания, иначе говоря, стоячие волны, которые могут еозннкнугь в этом кубе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
