1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

Но даже это допущение само по себе еще недостаточно для получения формулы Планка на чисто статистической основе, Фактически мы должны перестроить фундамент самой статистической физики и перейти к новой «квантовой статистике». Способ, позволяющий это сделать, был указан Бове (1924 г.) и усовершенствован Эйнштейном.

Они постулировали абсолютную неразличимость световых квантов. Эта гипотеза чрезвычайно правдоподобна, Действительно, предположим, что кванты света каким-то образом перенумерованы. Когда световой квант 1 находится в ячейке еь а световой квант 2 — е ячейке еь соответствующее распределение отвечает, очевидно, тому же самому состоянию, что и распряделение,е котором квант 1 находится уже в ячейке ез, квант 2 — в ячейке еь а остальные кванты остаются на своих старых местах.

В самом деле, единсввенное различие между квантами состоит в том, что один из них находится в первой ячейке, а другой — во второй. Какая-либо нумерация или индивидуализация световых квантов абсолютно лишена смысла, поскольку состояние системы однозначно определяется простым указанием, сколько квантов содержит ячейка аь сколько ячейка зь и т. д. Такая ситуация, однако, принципиально отлячается от положения вещей в классической статистике.

В последней-любые два состояния, которые получаются друг нз друга простой перестановкой световых квантов, считаются различными и каждое из них фигурирует в расчетах. Теперь же оба варианта размещения квантов отвечают одному и тому же состоянию и при подсчете числа состояний должны учитываться только один раз. 'Рассмотрим теперь проблему с математической точки зрения. Мы будем говорить о частицах вообще, а не обязательно о световых квантах.

Знакомясь с принципом Паули (гл. Ч1, З 6), мы уже ййдели, что не имеет значения, каким именно электроном занято то или иное место. Вторая часть принципа Паули утверждает, что перестановка двух электронов не изменяет состояние системы в целом, так что два распределения, которые отличаются друг от друга лишь переменой мест двух электронов, представляют одно и то же состояние.

В волновой механике состояние каждой частицы, в том числе и светового кванта, описывается волновой функцией. Пусть волновая функция одной частицы (первой) есть ~ф>, волновая функция второй частицы — ~~э>, третьей — фф и т. д., где индексы Ф, 1, гп, ... относятся к состояниям соответствующей частицы (в случае световых квантов, например, индекс й обозначает три квантовых числа йь йь йз). Состояние системы в целом описывается яри этом (по крайней мере в первом приближении, не учитывающем взаимодействия между частицами) произведением этих волновых функций, т, е.

волновой функцией 'Г„... = ФИДА " .. Если теперь переставить какие-либо две частицы, например частицу 1 и частицу 2, то получится другая волновая функция ч' = ФРФ~ГФп которая, очевидно, соответствует той же самой полной энергии всей системы з ез+з,+з +.... Для этого значения энергии мы можем получить и другие волновые функции, конструируя всевозможные линейные комбинации различных функций, которые возникают из исходной в результате разнообразных перестановок отдельных частиц, т. е. в результате перемены мест аргументов одночастичных волновых функций Здесь сумма берется по всем перестановкам Р аргументов, а множители ааа..

есть просто произвольные постоянные коэффициенты. С точки зрения классической статистики каждая новая лн нейная комбинация соответствовала новому состоянию системы, так что число различных состояний совпадает с числом различных комбинаций. Новая статистика считает, однако, все состояния, которые получаются друг из друга простой перестановкой частиц, одинаковыми. Поэтому волновая функция какого-либо состояния не должна изменяться при перестановке частиц или в крайнем случае может измениться только ее знак, поскольку лишь квадрат модуля волновой функции допускает непосредственную физическую интерпретацию. Легко видеть теперь, что единственная линейная комбинация из числа фигурирующих в записанной выше формуле, которая не меняется при перестановке частиц, есть комбинация, в которой все коэффициенты равны единице, т.

е. сииметричмая волновая Другая комбинация, которая при перестановке частиц меняет знак, но квадрат которой остается неизменным, представляет собой кососимметричную, нлн антисимметричную, форму где знак «+» берется для четной, а знак « — » — для нечетной перестановки частиц. Антисимметричная форма хорошо известна из теории определителей: она получается при раскрытии детерминанта Других волновых функций, удовлетворяющих требованиям неразличимости частиц, не существует. Отметим, далее, любопытное свойство антисимметричных функций.

Известно, что детерминант равен нулю, если две строки нли два его столбца совпадают. Следовательно, если две функции зуз и фз равны друг другу, то определитель, а вместе с ним и волновая функция сиотемы исчезают. Иначе говоря, состояния системы, в которых ф„.=зрй невозможны. Мы припгли к -принципу-Паули, который утверждает, что два электрона не могут находиться в одинаковых состояйиях (т.

е. не могут обладать одинаковыми фз). Таким образом, имеются только две возможности описать состояние системы частиц с помощью волновой функции— нужно пользоваться либо симметричной, либо антиснмметричиой формой. Вторая возможность соответствует принципу Паули, с первой же возможностью дело обстоит совсем иначе. Если подсчитывать число возможных состояний, рассматривая соответствующие волновые функции (т. е.

если подсчитывать число линейно независимых волновых функций), то сразу же иоаникают два различных вида статистики. Если мы ограничимся симметричными волковыми функциями (не подчиняющимися принципу Паули), то мы получим так называемую статистику Бозе — Эйн)итейна. Если же мы будем пользоватьс~ антисимметричными волновыми функциями (подчиняющимнся принципу Паули), то получится статистика Ферми — Лирика (1926 г.).

Какой йз двух видов статистики следует применять Ге. 1Лтд Квантовое етатиетака в каждом конкретном случае, зависит в конечном счете от указаний эксперимента. Электроны, как мы уже знаем, подчиняются принципу Паули, поэтому к ним нужно применять статистику Ферми — Дирака. Напротив, как оказалось, световые кванты (Бозе) и некоторые газовые молекулы (Эйнштейн) подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Продолжим рассмотрение статистики Бозе — Эйнштейна. В первую очередь нужно рассчитать число различных состояаий (т. е.

число линейно независимых волновых функций). Перечисляя состояния, мы пользуемся, однако, не волновой, а корпускулярной картиной: требуется найти число отличимых друг от друга размещений частиц, подчиняющихся статистике Бозе— Эйнштейна, по ячейкам слоя. С этой целью обозначим ячейки через к„зт, ., ке соответственно; прн этом количество ячеек по определенйю задается весовым фактором л, слоя. Пусть этот слой содержит, с другой стороны, л, частиц, которые мы обозначим через ао ат, .-., а,. Теперь нам нужно разместить все частицы в ячейках слоя и найтя число различных вариантов размещения.

Каждое конкретное размещение мы будем фиксировать следующим образом. Выпишем формально последовательность элементов х и а в произвольном порядке, например ЖгФэзепззепепзпеяекеттт ° ° ° ° Будем считать, что частицы, попавшие между парой элементов л, находятся реально в той ячейке ло которая стоит савва от них. †Т, напряиер,'порядок членов в'записанной нами послздовательйости таков, что частицй ат и аз содержатся в ячейке ль частица ае — в ячейке хз, частицы ам аь ае — в ячейке зь в ячейке хе вообще нет частиц и т.

д. Если это так, то первой буквой символического ряда, очевидно, всегда будет я, а не а. Таким образом, мы получим все возможные последовательности, помещая на первое место какой-либо из символов з — а зто можно сделать й; способами — и затем располагая л, — 1+тт, оставшихся символов в произвольном порядке. Поэтому полное число различных последовательностей равно й (й +в — 1)!. Однако все последовательности, которые можно получить друг из друга простой перестановкой ячеек или простой перестановкой частиц, соответствуют не различным, а одному и тому же состоянию системы.

Характеристики

Список файлов книги