1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 64
Текст из файла (страница 64)
отдельных ячеек, равна » П Яд~ л,!!л,— л,)! ' нлн по формуле Стнрлннга 1п Ю 3 (й',!пав,— п,1п.л,— (й',— а,)1п(й',— и,)). Как н раньше, мы хотим найти наиболее вероятное распределение, подчиняющееся двум дополннтельным условиям: Хл, л1, Ха,«,=Е. я » Мм получим его обычным образом: = — !и и +! и (й', — л,) = 1п Х' —:"-~ = а+ ре л, илн и = т, е. за исключением знака «+» в знаменателе, формула та же, что н в случае статнстнкн. Йозе — Эйнштейна. Однако эта разинца в знаке несет с собой существенное раэлнчне между рассматрнваемым случаем н случаем статистики Бозе — Эйнштейна. Дело в том, что а теперь может прнннмать все значення от — со до +со, а параметр вырождения А е « — все значения от 0 до +со; прн этом знаменатель функции распределення всегда больше 1.
Подставляя теперь значение н, (с множителем 2 для учета двух направлений спина), мы находим, так же, как н выше (5 $ втой главы), закон распределення Ферма— Дир ока яч=г»>~я- — ~ (1 — 1. зяу 3~Б!ху'в ле г 1 аа е«1 ! (, аУ! Как н выше, параметр вырождения определяется нз первого дополнительного условия ИО ~ аФ ~ Р(е))~е Из=И= пУ; е з1в Гс.
у!П. дааатасаа статастшса абсолютной температуре. Однако старые теории неизменно приводили к трудностям в объяснении теплоемкости металлов. Экспериментально установлено, что металлы подчиняются закону Дюлонга и Пти, т. е. их теплоемкость, отнесенная к1молю, равна 6 пал/град. Это можно было бы сразу объяснить, если температура металла определялась бы только энергией колебаний атомов в решетке, так как на один узел решетки приходится в среднем энергия 3йТ. Но для объяснения процесса проводимости и других связанных с ним явлений необходимо предположить, что каждому атому (иону) соответствуетприблизительно одни свободный электрон. Свободные электроны принимают участие ~в тепловом движении з металле; в действительности (как показывает закон Видемана — Франца), в основном оии и ответственны за высокую тепловую проводимость металлов.
Поэтому, согласно классической статистике, каждый свободный электрон в металле будет обладать средней кинетической энергией с/сйТ, а тогда теплоемкость металла на один атом равнялась бы не Зй, а около (3+с/э)й, т. е. молярная теплоемкость равнялась бы 9 кол/град, что противоречит опытным фактам. Эту трудность преодолели Паули и Зоммерфельд (1927 г.), которые отметили, что законы классической статистики нельзя применять к электронному газу внутри металла, ибо он обязан вести себя как вырожденный газ. Действительно, масса электрона е 1340 раз меньше массы атома водорода, поэтому при комнатной температуре (Т 300'К) и плотности электронов и 3 ° 10'с, соответствующей плотности газа при давлении з 1 атм, величина параметра вырождения Ая для электронов равна Ая=Ан'-у(1340)ъ=АнХ4 ° 10' — 1, 2, где Ап обозначает параметр вырождения для водорода при тех же условиях; следовательно, даже в этом случае А †величи порядка 1.
Для электронного газа в металлах значения А оказываются даже гораздо ббльшими. Число атомов в 1 смс серебра равно и 5,9 ° 10сэ. Как уже отмечалось, мы должны предполагать, что имеется, грубо говоря, один свободный электрон на каждый атом; поэтому для таких величин тт первая приближенная формула дает для А значение около 2300; следовательно, в этом случае газ вырожден в высокой степени. Правда, прн столь высоких значениях А нельзя применять первую прйближенную формулу и следует яспользовать вторую, но даже она дает все еще высокое значение: А 210.
Таким образом, электронный газ в металлах во всяком случае сильно вырожден— его свойства существенно отличаются от свойств обычногогаэа. э У. Элвнуроннен уворыа нвуаллое. Равнрвдвлвныв не лнврлаи 31Я Наиболее важные особенности функции распределения Ферми — Дирака состоят в слабой зависимости распределения от температуры- и в появлении нулевой энергии, Последнее свойство тесно связано с принципом Паули. В классическойтеории газов абсолютный нуль характерен тем, что при этой температуре обращается в нуль средняя кинетическая энергия частиц газа, а вместе с ней н энергия каждой отдельной частицы; следовательно, с классической точки зрения при абсолютном нуле частицы газа покоятся.
По-иному обстоит дело в статистике Ферми — Дирака: здесь каждая ячейка может быть занята только одним электроном; в состоянии с наименыпей энергией заняты все ячейки с маленькой энергией, и граница «заиолненияа системы ячеек определяется числом электронов. Мы Ф ы г. 87. Крыева расвредеаевыв Фермы.
Хоарлумаала ауоааа о ооттыаа лалама ооотаоо втаутт аооолвтаоау ауно (г Ох а ауаатарала ауаааа-отлаоаоа от аула тоааоратууо. характеризуем эту границу импульсом ро той ячейки, на которой заканчивается заполнение; он находится из выведенной выше формулы для числа ячеек: 2 -((р- р1 М, 4ы1У млн Тогда граничная энергия ее равна ее ††-у-'- =.у- ~-у„-) 5,77 10 ~л' эре=3,63 10 мл' эе.
Следовательно, мы получаем кривую распределения электронов при абсолютном-нуле, показанную на фиг. 87. Взяв в качестве абсциссы энергию электронов е, а в качестве ординаты определенную выше ($6 этой главы) функцию распределения Р(е), произведение которой на )( еллз дает число электронов со значениями энергии между е и е+Ие, мы получаем на графике прямоугольник; вплоть до энергии ео ячейки полностью заняты, а ячейки с бблыпей энергией пусты. (Такое же точно распределение использовалось в модели Томаса — Ферми электронного облака в атоме, см. гл, М, $9,) 1(ак показывает приближенная Гл.
УШ. Квантовая втагнстшсв формула, з этом случае параметр вырождения А становится бесконечно большим. Прн конечных, но малых Т параметр А ведет себя как ЦТ; сравнение с предыдущей формулой для граничной энергии показывает, что мы можем приближенно положить а — — "' ~,";)'- — -'+- Приближенная функция распределения, справедливаядлябольшнх значений А, т. е. для низких температур, имеет тогда вид Р(е) зяб )Лег Зв в-М +1 н в пределе Т-~ О дает график, изображенный на фнг. 87. Прн з<вв экспонента в знаменателе обращается в нуль, когда Т-» О, н мы имеем Р(е)=8п~~~/йв1 но прн з>за экспонента в знаменателе становится бесконечной, н Р(з) обращается в нуль. При повышении температуры электроны постепенно переходят на более высокие состояния, но вначале изменение электронного распределения будет пронсходнть только в месте, где функция Ферми спадает и при этом, как показано на фнг.
87, углы кривой распределения медленно скругляются. Повышение температуры не затрагивает основной массы электронов. Следовательно, при не слишком высоких температурах в тепловом движении принимает участие лишь исчезающе малая часть электриков так что теплоемкость электронов очень мала. Только когда температура.достигает ачень. высоких знячййий '(йорядка 10в 'С), намного превышающих комнатную,плотнаяупаковка электронов в глубоких состояниях разрежается, н мы получаем заметный вклад электронов в теплоемкость металлов. ф е. Термовффекив а фотовффект е мета в ва.к Следующее доказательство правильности представления о свободных электронах е металлах мы обнаруживаем в явлении термоэлектронной эмиссии.
Известно (Ричардсон, 1903 г.), что электроны самопроизвольно выделяются нз раскаленных металлов (напрнмер, подогревных катодов) и что в отсутствие приложенного потенциала они образуют электронное облако, нлн <атмосферу», вокруг раскаленного тела. Число электронов можно определить, намерив ток, возникающий, если приложить внешнюю э.д.с. Теоретически явление термоэлектронной 'эмиссии следует представить себе следующнм образом (фиг.
88). Ясно, что внутрн металла электроны могут двигаться свободно, 8 В. Терыоа44еат в 4отое44акт е ветоаааа 821 но их выходу из металла препятствует, вообще говоря, потенциальный барьер — внутренний потенциал вь Однако при высоких температурах может оказаться, что энергия отдельного электрона станет больше зо так что он сможет вырваться из металла. Используя формулы статистики Ферми — Дирака, мы Ф ыт.
88. Потоыцыаа внутри ватаева. Патааааааааа ааа ааатаааа аааааааеаа» ааааттааааа можем определить число электронов, покидающих таким образом металл за единицу времени; ток оказывается равным 4ыеав (й~ )а -(а -а дат Ферми 4ыетае !»вЂ” ла классическая А=1п ~ ) у=А — а(пх — Ьх ь-ф 1 и= 2 При этом член и 1п х обычно столь мал по сравнению с двумя другими, что до сих пор не удалось решить, какая из двух формул предпочтительнее: квантовая с а 2 или классическая с в то время как классическая статистика дает для него выражение (Ричардсон, 1902 г.) 1= еа ~/ ~ е 'и"~, которое по своей температу1)ной завясимости несколько.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
