1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Для других газов критическая температура слишком мала, что не позволяет непосредственно наблюдать этот эффект полного авыморажнванняъ молекулярных вращений. Но начало процесса — падение теплоемкостн — доступно наблюдениям. Это дает возможность рассчитать момент инерции молекул. Результаты хорошо согласуются с другнмн нзмееннямн, например с даннымн по полосатым спектрам (гл. 1Х, 3) н с расчетамн, основанными на теоретических моделях.
~$ 3. Квангнованне мерного из зуменин Вернемся теперь к закону черного излучения. В предыдущем параграфе мы внделн, что гипотеза Планка блестяще подтвердилась не только для черного излучения, но н в теории темплоемкостн. Последнее еще раз красноречиво свидетельствует в пользу справедливости квантовой теории. С другой стороны, вывод закона излучения методом Планка е какой-то степени неудовлетворнтелен, поскольку он во многом основан на законах классической физики н лишь частично использует квантовые представления Действительно, формула, связывающая среднюю энергию ооциллятора с полем черного излучения и,=(8пчз/с')з, получается чисто классическим пу.
тем; прн выводе этой формулы применяются классические законы поглощения н излучения осцнллятора. Можно лн найти другой путь, не использующий свойства классического осцнлляторат Сама собой напрашивается мысль попытаться, имея. в виду. методы Релев Джинса и Дабая,- оянсать электромагнитное яоле в кубической полости с отражающими стенками прн помощи точно таких же статистических приемов, какие прнменяютоя прн описании собственных колебаний кристалла в теории теплоемкостн.
Полость с зеркальнымн стенками обладает в точности таким же спектром собственных колебаний, как кристалл. Поэтому число собственных колебаний в интервале частот от т до т+~Ь можно рассчитать тем же способом, что н раньше: Фи=2 — чтсЬ. Однако здесь появляется добавочный множитель 2, поскольку каждой частоте н каждому направлению соответствуют две волны с разлнчнымн поляризациями. Разумно предположить теперь, что каждое собственное колебание ведет себя подобно плапковскому осциллятору со средней энергией Ь» Э 4.
Стагисгиза Бозе — Эйнисгейна дан сезгоеыз иеангое 303 (Здесь ход мысли н метод рассуждений последнего параграфа автоматически перенесен со случая собственных колебаний кристаллической решетки на случай собственных колебаний влектромагннтного поля.) Таким образом, мы снова получнлн фор. мулу Планка 1 Ьч Значз 1 зч~зг Г зч1зг У е" — 1 с е — 1 Хотя этот метод н отличается простотой, он все же не свободен от серьезных принципиальных трудностей.
В самом деле, формула для средней энергии осциллятора получена в предположении, что осцнллятор с частотой ч может находиться в различных энергетических состояниях: его энергия можетоказаться равной не только Ьч, но н любому целому числу элементарных квантов, причем вероятность состояния с энергией нЬч пропорциональна е "чжг. Именно так, проводя соответствующее усреднение, мы получаем известное выражение для средней энергии ооцнллятора чч — зч1зг О ач СО Х е- ззч!зг о Но если мы перенеслн этн представления на случай собственных колебаний электромагнитного поля н считаем теперь каждое колебание осцнллятором, то мы должны признать, чтособственное колебание с частотой ч может обладать .энергией пИч.
Как нужно интерпретировать н в терминах 'гипотезы световых квантовР Предположение, что энергия одного кванта света может быть равна иИч, противоречит опыту (фотоэффект). Поэтому нужно считать и числом световых квантов с энергией Ьч. Но предполагается, что световые кванты движутся совершенно хаотически, подобно свободным частицам в газе.
Из этих представлений не удается получить формулу излучения Планка. В следующем параграфе мы рассмотрим этот вопрос подробнее н покажем, что трудности можно устранить, усовершенствовав методы статистической физики. 3) 4. Стсзтпсткка Болл — Эйкпстеака для саетовзех квантов Попытаемся теперь вывестн формулу излучения в предполоч женин, что оно представляет собой корпускулярную систему. Первое, что приходит в голову, — это прнменить методы классической статистики Вольцмана по аналогии с кинетической Г.«7!П.
К«апвмсл егапрсгэ«з теорией газов. Прн этом квантовая гипотеза, примененная Планком для волнового рассмотренна черного излучения, автоматически учитывается с самого начала тем фактом, что мы оперируем со оветовымн квантами, т. е. с частицами (фотонами), энергия которых равна йэ, а импульс йэ/с. Оказалось, однако, что н эта попытка вывестн закон излучения Планка терпит неудачу, н вот по какой причине. В этом случае мы характеризуем отдельные компоненты поля излучения ие длиной волны и направляющими косинусами, как это делалось раньше, а проекцнямн импульса, котоый ассоциирован с распространяющейся волной в теории деройля. Именно, Ь Ь 3 р =-~-а, р„=-~-р, р,=г-у. Однако, как мы знаем ($ (с ребром а) возможны удовлетворяют условиям 2а и, =-~-ал 2 этой главы), в кубической полостк лишь такие стоячие волны, которые 2с 2« иэ =-~-йл из~-~ ул где и«, и» н и» вЂ” целые числа.
Отсюда следует, что иространсгзо имиулэсоз световых квантов тоже дискретно. Действительно, предыдущие уравнения можно переписать так: а 3 а р =~-и„р„э-из, р,=-й;;и„ откуда видно. что йроекции имдульса. могут быть только целымн кратнымн Й~2а. Абсолютная величина импульса прн этом равна р .~ —, нрл,~~~~-~1. з а» л В классической статистике (гл. 1, $ б) мы разбнвалн импульсное пространство на ячейки произвольной формы с объемами вь вэ, вь .... Отношение объема отдельной ячейки кполному объему в импульсного пространства, т. е. величину я, ел/ар мы называлн статистическим весом ячейки. В нашем случае допустимые импульсы принимают лишь дискретные значения. Поэтому статистический вес ячейки в, определяется просто числом целых точек (иь иэ, и»), лежащих внутри ячейки. Это следует из принципа соответствия, поскольку необходимо, чтобы квантовая теория непрерывно переходила в класснчеекую.
Очевидно, среди всех ячеек, содержащих хотя бы одну целую точку, найдется наименьшая. Обычно в квантовой статистике слово «ячейка» употребляют для обозначения именно й 4. Стативтииа Боев — Эйаивтвйиа оаа ееетоеыи аеаитое 30о этой минимальной ячейки, т. е. фактически для обозначения некоторой тройки чисел ль пъ пь Поэтому мы должны найти кахое-то другое наименование для статистически элементарной области нмпулъсного пространства то,. Назовем та, «споем». Число ячеек (пь ла, пв) в слое в, мы будем называть его статистическим весом лв.
Выберем теперь в качестве слоя область, заключенную между двумя сферамн радиусов р н Р+бр- Вообще говоря, разделение импульсного пространства на слон может быть совершенно произвольным; конкретный выбор диктуется лишь соображениями формального удобства. Число ячеек (т. е. число допустимых состояний), содержащихся в шаровом слое, определяется полученной ранее формулой для числа собственных колебаний электромагнитного поля в частотном интервале от и до и+би ($2 этой главы).
Вспоминая соотношение р=йч(с, получаем й' =2-р-чтбч =2вт-фйр. Из этого выражения видно, что тот же самый результат мы получилн бы, разделив все фазовое пространство, т. е. пространство координат н пространство импульсов вместе, на наименьшие ячейки объемом йв н подсчитав затем число ячеек, попавших в объем т координатного пространства н з шаровой слой от р до и+Ьр нмпулъсного пространства. Принимая во внимание удвоение числа состояний за счет поляризации, находим таким образом 4а,вт ь,ау нв Ьв ° что совпадает с полученным ранее выражением. Новый метод счета отличается от обычной больцмановской статистики только тем, что в согласии с требованиями квантовой теории наименьшей нз ячеек, на которые разбивается фазовое пространство, приписан определенный объем. В обычной кинетической теории газов, за исключением случая вырождения, который мы рассмотрим позднее размер ячейки не играет никакой роли и выпадает нз дальнейших вычислений.
Однако в нашем случае статистики световых квантов (как н в случае вырожденных газов, см. $5 этой главы) размер ячейки очень важен. Можно отметить также, что найденный нами конечный размер ячейки йв точно согласуется с принципом неопределенности Гайзенберга. В соответствии с этим принципом координата частицы н ее нмпулъс не могут быть одновременно измерены с более высокой точностью, чем та, которуюдопускаетсоотношеннеАрбу л. Поэтому более лгелкои дробление фазового.
пространетва еовер- Га. 1тШ. Каантоааа етатиетика щенко бессмысленно: в атом случае все равно нельзя было бы проверить на опыте, в какой именно ячейке находится частица Но вернемся к статистике оветовых квантов. Докажем, но- первых, сделанное выше утверждение о том, что идея световых квантов (вместе с квантовомеханнческнм определением размеров ячейки) скажется нвдостаточной для вывода формулы Планка, если мы сохраним верность статистике Больцмана. Действительно, в соответствии с результатамн Больцмана число квантов в заданном слое, который мы будем характеризовать средним значением частоты квантов м,„определяется произведением количества ячеек в слое я, на больцмановскнй множитель Ае *т1ат, так что Напомним, что распределение Больцмана (гл.
1, $6) есть просто наиболее вероятное распределение частиц газа (в нашем случае газа световых квантов) по различным слоям (которые мы раньше называлн ячейками), удовлетворяющее, если число частиц н полная энергия заданы, двум дополнительным условиям 3п,=п и ~а,е,=Е. Поэтому распределение энергии для нашего газа световйх квантов будет иметь внд етт,те, = Ай',йа,е ~а1эг, нлн и„еЬ = =Н Ьта азате ат а-ьаат что с точностью до миожнхеля 4. совпадает с.результатом Вина, а не с формулой Планка 83$Ь%4 ат 1 "е"- — Г~ Возникает естественный вопрос, каким образом следует изменить классическую статистику, чтобы закон излучения Планка вытекал нз чисто статистических рассуждений, минуя окольный путь рассмотрения поглощения н излучения осцнлляторамн.
В первую очередь видно, что прн малых Т, когда е"амт»1, наша формула согласуется с внновскнм приближением (в этом случае справедливым) к закону Планка, если положить А 1. Что означает условие А=*1? Если мы вспомним вывод распределения Больцмана, то будет ясно, что значение коэффициента А определяется первым дополнительным условием (фиксированное число частиц). Если же отбросить это дополнительное условие, то А было бы равно единице. Формула излучения, которую мы только что вывелн, аснмптотическн совпадала бы прн этом с правильной формулой, Но для газа, состоящего нз 2 Е Статистика Бови — Эйниагвйна дли еиигиини квантов 307 световых квантов, есть все основания отбросить первое дополнительное условие (фиксировакное число частиц), так как, разумеется, в каждом процессе излучения порождаются новые кванты света, а пропессы поглощения сопровождаются исчезновением световых квантов и переходом их в другие формы энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
