1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Это та же самая задача, которую мы уже решали в одномерном случае колеблющейся струны н в двумерном случае ко леблющейся круговой мембраны (гл. Ч, $9). Для любого собственного колебания необходимо, чтобы вдоль каждого ребра Р ба укладывалось в точностн целое число полуволн (фнг.88). оэтому если в кубе распространяется плоская волна, направление которой задается тремя направляющими косинусами а, 11, у (так что ар+бе+то 1), то проекция любого ребра на зто Ф н г. Эб. Пример собстееннык колебаний кубической волости.
Ввела валалого ребра ломово увлалыеаееов целое ввело велуаелв (о ваваеы врвыера Е| 7. Фе а) направление должна равняться целому чнслу полуволн Ц2. Обозйачнв тРн соответствУющих целых числа чеРез пь-пб, пб, получим трн уравнения: о Х л,-2= ао, п,~=ар, па 2 =ау. Случай а 1, (1 у О тривиален; волна прн этом движется параллельно первому ребру, а колебання совпадают с собственными колебаннямн закрепленной с обоих концов струны.
Но упомянутые условия, естественно, должны выполняться н для трехмерных колебаний. Теперь мы уже можем найти спектр собственных колебаний. Во-первых, возводя полученные уравнения в квадрат н складывая нх, мы приходим к равенству л',.+и, '+л'=-~-, так что длина волны собственного колебания определяется суммой квадратов трех целых чисел пь пв, па. То нлн нное собственное колебание удобно поэтому нзобразнть точкой в трехмерном пространстве; целочисленные координаты точки ль ле Гл. вШ. квантовая огатпогиаа н пв характеризуют данное колебание в соответствии с тремя приведенными выше уравнениями.
Теперь ясно, что число собственных колебаний с длиной волны больше )е и точности совпадает с жслом целых точек (аь ла, вв), лежащих внутри сферы радиуса 2аД в первом октанте а-пространства (поскольку равенство яре+лат+аар=4ар/У представляет собой уравне« ние сферы, радиус которой есть 2а/в„а центр находится в начале координат а-пространства). Все собственные колебания с длиной волны больше Л изображаются поэтому теми точками Ф в г.
66. Подсчет чвсаа ссбствсвимд аоаабаввй. Чвело волебввва е лловой волов > Ь Ц вво овалу увлов реваевв вауерв вэ~ лвее о правового ввеаравта. Поелелаее лее прваерао рввао плевелов авелревзв. Р 1 л 3 4 Б 6 7 б в-пространства, которые заключены внутри. этой -сферы. Огранячение первым..октантом-сферы-терке-вполне понятно; так хзк все и, естественно, положительны.
Искомое число внутренних целых точек шарового сегмента приблизительно равно его объему. В этом легко убедиться С помощью фиг. 86 (хотя чертеж, разумеется, имеет лишь два измерения). Поскольку координаты узлов изображенной на рисунке решетки целочисленны, небольшие квадратики, образованные линиями решетки, обладают единичной площадью. Относительная ошибка, возникающая прн замене чнсла внутренних целых точек круга (сферы) на его площадь (объем), мала, если круг (сфера) содержит много таких точек.
Количество собственных колебаний, длина волны которых больше Х, равно, таким образом, объему сферического октанта: Ф (т) =3 сг где а — скорость распространения волны. Однако. в кристалле могут возникать как поперечные, так и продольные волны, при- Е Х Таиоемеесгэ твердим гве е месеаегсмммм миое 299 чем поперечные волны нмеют две степени свободы соответствен. но двум возможным взаимно перпепднкулярным направлениям полярнзацнн.
Учитывая этот факт, мы должны написать м. = — чз, где — = ~ — +.— ~ 4аУ 1 г2 1ч ез ~г Здесь се — скорость поперечных волн, а с1 — скорость продольных (т. е. звуковых) волн, Отсюда мы сразу же получаем число собственных колебаний в интервале частот от ч до ч+й: АГ = — чэ 4Ь.
4мУ с~ Мы еще вернемоя к этой формуле. Ее можно доказать, нсходя нз самых общнх предположений, не ограничнваясь случаем упругнх собственных колебаний. Более того, как показал Вейль, она остается справедлнвой прн любых конкретных геометрнческих очертаннях объема К Вернемся теперь к вычнслению средней энергнн атомов в твердом теле. Полученное несколько раньше вырзженне ~ =Хч-лай†гы) е можно теперь преобразовать только что опнсанным методом, т. е. относя частоты ч, уже не к собственным колебаниям атомов, а.к упругим волнам, воаннкающнм в твердом' теле.
Поскольку чнсло колебаннй в частотном ннтервале от ч до ч+йч уже нзвестно, суммнрованне можно эаменнть ннтегрнрованнем, прнчем весовая функпня в подынтегральном выражении будет определяться как раз чнслом колебаннй. Таким образом, Лч 4м1Г п-)' иш. Не нужно забывать, однако, что число собственных колебаннй крнсталла ограннчено, а нменно равно 31че. Поэтому существует макснмальная частота ч„, которая находится нз уравнення ЗЖе=Я = — чз, нлн ч = с ~ — ~-. 4мр' э~-ррм' 4а1г Следовательно, ннтегрнровать следует не до бесконечностн, а лншь до этой максимальной частоты, служащей, таким образом, верхним пределом зйписвднаго нами интеграла -Итак;-ыы Гл. мгп.
Кеентоеех етатнатеха получаем для энергии У выражение ч,„ хпв 4пУ г Зч~Лч 4п1т затее Г хецх 3 Р хчФх и- —,~" „- ( — ) а/ — -тт — ~' —. ее 1 ееЧ вЂ” 1 с ~ Ь) 1е" — 1 хе 1 ех — !' а о ч'О где для краткости положено х йч ~ЙТ 1э(Т, причем О=йч /й называется дебаевской характеристической температурой Формула Дебая дает более точное приближение к действительности, чем эйнштейновская модель не связанных друг с другом осцилляторов с одной н той же частотой (фнг. 84, стр.
296). Борн н Карман получнлн независимо еще более точную формулу, принимающую в учет структуру кристаллической решетки, которая в предшествующих вычислениях не учнтвшалась вовсе. Для различных типов кристаллической решетки при этом получаются различные выражения, которые переходят, однако, в области не очень низких температур в сумму определенного числа дебаевскнх функций с разнымн значениями чт. Эта теория во всех своих пунктах была подтверждена экспериментально. Например, прн чрезвычайно низких температурах на опыте мы наблюдаем пропорциональность теплбемкостн третьей степени Т, в то время как эйнштейновская модель приводит к экспоненцнальному закону падения теплоемкости по мере понижения температуры. Теория Дебая дает уже правильную температурную зависимость теплоемкостн.
В самом деле, прн низких температурах х стремится к бесконечности, так что интеграл в определяющей энергию У формуле становится практически постоянным. Так как множитель церед интегралом включает'четвертук1 стецень Х,. а теллоеыкооть нему- чается нз энергии дифференцированием по Т, экспериментальный аакон Т' немедленно следует нэ дебаевской формулы. Исследования Блэкмана (193б г.) показали, что на самом деле в некоторых случаях теплоемкость, по-видимому, подчиняется закону Тз н в области таких температур, которые недостаточно малы, чтобы оправдать вышеприведенное теоретическое объяснение.
Блэкман показал, что уточненная теория Бориа н Кармана, учитывающая структуру кристаллической решетки, способна объяснить этн случаи: можно утверждать в качестве причины, что дебаевская характеристическая температура чэ перестает быть константой н увеличивается с понижением температуры. Следует ожидать, что чистый закон Т' будет выполняться лишь в области самых низких температур. Соответствукнцее падение теплоемкостн действительно наблюдается. В классическом случае алмаза оказалось возможным навлечь определенные сведения о силах, действующих внутри кристаллической решетки, нз измерений коэффициента упругости (Ба- З д.геаеоемаоете теердеие тел а маоеоатомми» еаеое Зя гавантам н Бнмасенакар, 1944 г.) н объяснять на этой основе поведение теплоемкостн вплоть до самых ннзкнх температур (Смят, 1946 г.).
Можно сказать, что к настоящему времеян экспернментальные факты, касающнеся теплоемкостн твердых тел, нашлн полное объясненне. Точно такнм же образом можно прнменнть квантовую теорню осцнллятора к многоатомкым газам. В этом случае экспернментально определенная теплоемкость увелнчнвается с температурой в согласны с формулой Планка, прнмеяенной к молекулярным колебанням. В гл.
1, $5 мы уже говорили, что клас. снческая теорня теплоемкостн вынуждена счнтать, что двнженне электронов в атоме не дает вклада в энергню н что теплосодержанне газа определяется только двнженнем его молекул, которые рассматрнваются как твердые образовання. Прн этом одноатомные молекулы, как предполагается, обладают лншь поступательнымн степенямн свободы, тогда как у двухатомных молекул есть еще две вращательные степенн свободы (отвечающне вращениям вокруг. двух осей, перпенднкулярных осн молекулы).
Объясненне этого факта, совершенно непонятного сточкн зренця до-квантовой фйзнкн, состонт, разумеется, в том, что энергня связн электронов значнтельно больше средйей энергии теплового двнження аТ. Еслн мысленно заменнть электроны осцнлляторамн с частотой ч, соответствующей лннням наблюдаемых спектров, то энергня Ьч окажется очень большой посрав ненню с аТ. Прн обычных н даже очень высокнх температурах нн однн нз этнх осцнлляторов не может возбуднться. Это сразу же-объясняет, почему вкутриатомное двнженне -не дает вклада в теплоемкость.
Аналогнчные рассуждення справедливы н дл» яращення молекул, состоящнх нз легкнх атомов. Как мы внделн, в квантовой теорни Бора (гл. Ч, $1) вращательная энергня задается формулой новая квантовая механнка заменяет /е на Я+1). И в том, н в другом случае расстояние между двумя соседннмн уровнями равно а' Ь94цеА. Здесь А обозначает момент ннерцнн молекулы, так что з оказывается нанбольшнм, когда А достигает мнннмального значення, т. е.
для молекулы На. Нужно ожидать поэтому, что прн температурах, определенных неравенством 'аТ.с.з, вращательная энергня Не не будет нграть заметной ролн. Так н обстонт дело в действительностн, что было впервые замечено Эйкеном (1912 г.). Он обнаружнл, что около 40еК теплоемкость Не поннжается до значення, характерного для Га УШ. Кааатаааа агатиатааа одноатомного газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
