1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Зпхои Ствфптса (1879 г.) утверждает, что полная энергия излучения пропорциональна четвертой степенн температуры излучающего тела — чем более натрет источннк, тем интенсивнее излучение. Следующнй шаг сделал Впн (1898 г.), сформулировав закон смеи(ения, который носят его нмя н .утверждает следуипцее. Спектральное.
распре- Э /. Тепловое иллу«екне и локон Планка две теоремы можно доказать яО (как это сделано в приложении 33), рассматривая излучение как своего рода термодннамнческую машину. Благодаря наличию светового давления эта машина можетвпрннцнпе производить работу с помощью гипотетических под- 60 внжных зеркал, так что в силу эффекта Допплера, возникающего нз-за движения зеркал, частота излучения, а вместе с ней н его полная энергия будет изменяться. Можно отметить, что закон Вина включает н закон Стефана; чтобы полу- ЗО чнть его, остается только проинтегрировать формулу Вина по всему спектру У и„1тт= У тзР ( ) У .
Полагая х в(Т н выбирая х в качестве новой переменной ннтегрнровання, получаем Ф и г. 81. Распределение интенсивности теиаового мтлуиеиин в зависимости от данны волны по данным Лвммера н Прингсгеяма. ~ атНт=Т' ~ хаР(х)йх, так что полная энергия нзлучення оказывается пропорциональной четвертой степени Т, поскольку интеграл по х, будучи константой, от Т не зависит. Причина, по которой закон Вина называют «законом смещения», такова. Экспериментально было обнаружено, что ннтенснвность излучения раскаленного тела, которое поддерживается прн постоянной температуре, как функция длины волны изображается графически кривой, показанной на ф~г, 51, В области деление плотности энергии подчиняется уравнению вмда и„= таР (-~), где Р— функция, зависящая только от отношения частоты к температуре, конкретный внд которой нельзя установить терыодинамическими методами.
Этн Га. УIП. Кааагаааа агагаагиаа очень коротких, так же как и в области очень длинных волн интенсивность исчезающе мала, следовательно, при некоторой длине волны Х~,, должен наблюдаться максимум. Если теперь изменить температуру источника излучения, график интенсивности также изменится. В частности, сместится н максимум. Соответствующие измерения показали, что при этом произведение температуры на длину волны, отвечающую максимуму, остается постоянным. Иначе говоря, Ха 1аТ соне Это соотношение сразу же следует из закона Вина. До сих пор мы рассматривалн распределение энергии как функцию частоты ч, так что и, представляла собой энергию излучения в интервале частот Ич. Правило смешения относится, однако, к графику зависимости интенсивности от Л, поэтому теперь иь будет представлять энергию в интервале длин волн ал.
Переход от и к щ несложен: очевидно, должно иметь место равенство и Нч ил~а„а так как Лч=с, мы получаем соотношение между Ич и сВ: 1сЬ~/ч !ИЦ/Л. Следовательно, снектральиое распределение энергии как функция длины волны будет иметь вид цх= лт Р("д ) ° Теперь можно без труда доказать закон смещения, рассчитав длину волны, при которой значение ил максимально. Условие максимума есть равенство пил/ИХ О, или % — ~-- (-ь) — '..-- '-~:64= —— откуда следует, что лу Р (лу)'+бР~лу.)=О. Это уравнение содержит всего одну неизвестную величину с!Ъ,Т, и его решение, если оно существует, должно, разумеется, иметь форму ЛТ=сопз~.
Таким образом, теорема о смещении максимума интенсивности при изменении температуры немедленно следует из закона Вина. Значение постоянной, естественно, нельзя определить, если функция Р неизвестна. Однако об этой функции термодинамика сама по себе не может сказать ничего; чтобы найти Р, нужно обратиться к какой=го конкретной модели. Но нз термодинамических соображений ясно, что форма закона, определенного той или иной функцией Р, не должна зависеть от конкретного механизма излучения. Поэтому в качестве простейшей модели излучающего тела Планк выбрал линейный гармонический осциллятор с соб- 287 ф Л Твкловов ивлвввккв и локон Планка ственной частотой ч. Для такого осцнллятора мы можем, с одной стороны, рассчитать энергию, излучаемую за секунду. Она будет равна просто энергии излучения колеблющеюся диполя (гл. У, $7) 2вв (~)~ 2вв бе = йр !ят (2 где е — энергия осциллятора, а черта сверху означает усреднение по некоторому промежутку времени, который хотя и велик по сравнению с периодом колебаний, но все же настолько мал, что излучением за это время можно пренебречь.
В согласии с уравнением движения мы имеем г= — (Япч)в г. а 1— в„,„=.й;титл .к-тя(йюч). е, л е. С другой стороны, работа, произведенная над осциллятором полем излучения, спектральная плотность которого есть и„, за одну секунду, равна авв д%' -З вЂ” и как зто следует из уравнений движения осциллятора во внешнем поле (это доказано в приложении 34). В случае равновесия эти две величины должны совпадать друг с другом. Поэтому вавв— и,=-;з-е. Таким образом, если мы знаем среднюю энергию осциллятора, то мы знаем также н распределение интенсивности черного излучения. Значение з, определенное методами классической статистики (гл.
1, $ б), оказывается равным е=ИТ, где й — постоянная Больцмана; это частный случай весьма общего результата статистической механики — закона равнораслределеиия. В ссззтветсъвии с этим законом каждый член в гамильтониане, пропорциональный квадрату координаты илн импульса, дает один и тот же вклад в среднюю энергию, а именно Ц,аТ.
В гамильтониане осцнллятора имеются два таких члена, следовательно, его энергия есть ЙТ. Это можно доказать и непосредственно, несложным вычислением. Согласно теореме Больцмана (доказанной в гл, 1, $6), при равновесии состояние осцнллятора, характеризуемое энергией а„ встречается с относительной вероятностью е-в~от, так что з получается в результате Гл. УШ: Квантовая втатавтваа среднення по всем состояниям с этим весовьом множителем. олагая для краткости р=ЦяТ, находим ~ ов Зввао е — — „1п ~ в-евг(е= — — „1и — =-= йТ. а отав о Если так определенное классическое значение энергии осцил-' лятора подставить в формулу излучения, то она дает витт и, ~ — ~ — йТ. Это — закон излучения Релея — Ласинса (1900, 1909 гг.).
В первую очередь заметим, что этот закон согласуется, чего и следовало ожидать, с законом смещения Вина, который как непосредственное следствие термодинамики должен выполняться во всех случаях. В длинноволновой области излучения, т. е. при малых значениях ч, закон Релея — Джинса также очень хорошо согласуется с экспериментальной кривой распределения интенсивности; в этой области интенсивность излучения возрастает пропорционально квадрату частоты. Но для больших частот формула уже неверна. Из эксперимента известно, что интенсивность достигает максимума прн некоторой частоте, а затем снова падает. Однако записанная выше формула не дает совейшенио никаких указаний на этот максимум. наоборот, по формуле Редея.=.Джинса спектральная .нйтеясивность .возрастает как квадрат частоты и в пределе очень больших частот, т.
е. очень малых длин волн, становится бесконечной. То же самое справедливо и по отношению к полной энергии излучения и = ( и, еЬ вЂ” соответствующий интеграл расходится. Имеет о место, как говорят, аультрафнолетовая катастрофа». Предпринималнсь попытки устранить эту явную несуразность в теории с помощью следующей гипотезы. Предположим, что е нашем случае, как и в химии, для достижения равновесия требуется определенное время релаксации. Допустим также, что для черного излучения скорость релаксации чрезвычайно мала, так что проходит очень много времени, прежде чем устанавливается равновесие.
Но за это время, как нетрудно представить, свойства системы, вообще говоря, полностью изменятся в результате внешних воздействяй. Однако эти рассуждения никоим образом не затрагивают существа дела. Действительно, З 1. Теьлоаоо иооучоиио и эоиои П.юаика мы всегда можем, по крайней мере теоретически, как угодно долго поддерживать внешние условия, и частности температуру, неизменными. Тогда рано или поздно равновесие все же неизбежно установится.
В такой ситуации Планк выдвинул смелую мысль, что все эти трудности можно устранить, допустив существование комечных дискретных квантов энергии ео, таких, что энергия осциллятора может оказаться равной (помимо з 0) лишь зо, 2ее, Ззо и т. д. Именно таким способом мы фактически и получим закон излучения Планка, который блестяще подтверждается экспериментом. Самое важное для этого — суметь найти среднюю энергию з; формально вычисление з отличается от проведенного выше только заменой интегралов на суммы.
По-прежнему состояния с тем или иным значением энергии встречаются с относительной вероятностью, определяемой фактором Больцмана, но теперь в расчетах фигурируют уже не все энергии, как это было раньше, а лишь энергии вида лзо (я=О, 1, 2, 3, ...). Поэтому среднее значение равно ОЭ ц озал Зоь в е= '"о о лр = — — „!и Т. г-~ ~ч~~ о-З ь о.
о о — — 1п — ~- — — — ~1 —, (р= — ) . это выражение в соответствующую формулу, Подставляя излучаем Чтобы это выражение не противоречило закону Вина, который, будучи прямым следствием термодинамики, справедлив при всех обстоятельствах, необходимо принять, что зо — — Фг, где й есть универсальная постоянная — постоянная Планка (ибо температура может входить в формулу лишь в комбина- ции 4Т). Отсюда прямо следует закон излучения Планка зиаоо 1 о ооой — 1 Как мы уже оэмечали, эта формула излучения прекрасно согласуется с опытом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
