1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Остальные комповавты тенвора моментов кнерцви имеют аналогичное значение. Формулы (17) могут быть теперь »вписаны в весьма простом виде 1 Х.э вли в составляющих (1 = »1»х» + ума»в + а 1»юв А»»ю» + Ув»хв + У»ва»в й = ав»ю» +»зФ'» + ав»свв (19) (М) На основании теоремы предыдущего пункта мы можем заключить, что ксиффициеиты линейных соотношений (21) образуют тензор, который естественно наевать теввором, проиеводным от веитора а по вектору г,иобоеначитьчерее да» да» да» 'Б; дв» д»» дж ж, да» да» д»Ч д»1» да, да, дав д,а,Б;) (22) Этот теввор имеет очень важное значение, потому что ие него можно получить все основные дифференциальные операции, рассмотренные в е главе П. Формулы (21) можно теперь вапиоать е очень простом виде: (22) вполне оправдывающем обоавачение проивводвого тевзора. Введем еще в рассмотрение тевеор, сопряженный с (22). По причинам, которые сейчас выяснятся, его очень удобно обоввачить черве да да дх» дх, а~ а, да» й»» да, ач дав Б» д, дх» бтаб в ~.7а »1 да» да» с а»» (24) Отметим, что тевеор моментов инерции, очевидно, симметрвчев.
В качестве второго примера рассмотрим поле вектора а (г) а (х», х», х,). Дадим радиусу-веитору г бесконечно малов прираще" вие ссг в рассмотрим соответствующее прнращевве сЬ вектора а. Для проекций етого вектора сса мм будем иметь формулы с(е1 = — »Ь1 + — сЬ»+ — »Ь» да, да, да, д»1 да» дав сйв сЬ»+ — »Ь» + »Ь» да» а»» да„ да» дв» да» (21) йв — с(х1+ Б- с(ха+ — »Ь, да» дав да» д»1 1» дЪ умножении твевоге не вкктог Тек как — = (~7а)м то в анну формулы (11) будем иметь но ссноЫе Ф ванин (23) Иа й-3габа = й" 17а (25) Покучеккая формула впоине аиаиогична формуие йр = й"бган ~р й" 179 Более того, если 17а рассматривать как символическую диаду, в которой первым вектором служат символический вектор 17, а вторым вектором служат а, н если применить формальное правило скалярного умножения вектора на диаду, то мы поиучвн иа (25) (26) Иа = (<й" ~7)а (й"8габ) а Но эта формула есть как рае формула (9] $13.
Заменян в формулах (25) и (26) сг на какой-либо вектор т, мы придем к формуле (27) т-17а = (т. 7) а так что градиент вектора а по вектору т есть скаиярное проивведенне вектора т на теивор ~га, сопряженный с тенеором, проиеводным от вектора а по вектору г.
Конечно, формуяу (2?) можно еще переписать в сниу формулы (11) и того, чго ~ =(т7а), еа в виде (т ~7)а = —.т й ег (28) Отметим совершенно очевидную формулу г е'г (29) Наконеп, разложим проивводный тенаор <й/Ыг ва самметрнчиум к автискмметричную части. Симметричный теиеор есть 1 ~ве, й'3 дее '2'Й+ В а ! и в том случае, когда вектор а (г) представляет веитор смешения частиц упругого тела, наеывается дефор-мационным тек вором. Аитксимметричная же часть проивводного тенвора есть аеккнык ог'гогоньлькык твнеогы где, как легко вычислить, вектор в равен в -з года д Ыа Отсюда легко еаключнть, гго танзер — симметричен только в том аг случае, когда а есть потенциальный вектор а — бтад(!р.
В этом случае очевидно! д.Г %3'.-.з йззз лдф а-П=П,.а П а Если образовать квадрати двую форму Р Рыхдз + Рззхзз + Рззхзз + 2Рдзхзхз + 2Рвхдхз + 2Рвхзхз где рз! — компоненты свмметрвчного тенаора П, то мы будем иметь оче. видные равенства! Д ду (П ")д = ~ е. Рыхд + Рдзхз + Рдзхз Д дд (П.), г е Рюх,+Р х,+Р зр (П.г)з — — — Рдзхд + рззхз + Рззхз (35) еивввалектвые одному векторному равенству П.г ! Кгаб Р (33) Возьмем теперь антисикметричный тевеор 0 — здз вз) А= вз 0 — в, ( — вз вд 0 Умножав его па вектор а справа, мы получюе вектор Ь = А а с со- ставляющимии Ь, Яд!ад + Ав а, + д1юаз — взад + в!аз Ьз = — в!аз + взад Ьз — взад + вдаз 4.
Скалярное произведение симметричного или автиснмметричного текэора ка вектор обладает 'пекоторьпии особенностями, которые полезно отметить. От умножение симметричного теввора П на вектор а как справа, так в слева получается один и тот яю результат. В самом деле, мы имеем в силу формулы (11) и в силу симметричности танэора П умножкквн твнаога на Вяктоу Отсюда видно, что А а= мха Совершенно аналогичное вычисление показывает, что (38) аА=ахм — Аа (39) — =Ф+А где Ф ° — ~ —, + зла) есть снмметрнчный тевеор деформаций, а А = — ~ — — '(7а) З зза антвсвмметрнчпый теваор. Повтому з(а = — .ззг =Ф.ззг + А.заг (40) Но е свлу формул (31), (32) в (38) мы имеем А з(г з гоа а ха(г поэтому получаем рааложевне ззг на две чаотв з(г = Ф'ззг + з гзя ахз(г (41) Эта формула определяет отвоснтеяьные перемещения раалвчвых точек бесконечно малого объема, окружающего рассматриваемую точку, в виде суммы двух членов, посведннй ве которых дает поворот объема как целого, а первый определяет нсткнвую деформацию объема (см.
$ 29, п. 4). 3. Еоеершенно аналогично скалярному проиеведению можно определить секторное пронаеедевке теваора П (зй + зара + (ара на вектор а справа как новый теваор П', который мы обоевачвм синеоком Пха в определим формулой Пха з, (р,ха) + аз (реха) + за (раха) (42) Ие самого вида атой формулы видна днстрвбутввность векторного произведения теваора ва вектор. Если ваять аа тенеор П диаду Ьс, то, как легко проверить, получатся Ьсха = Ь (ох а) Таким обраяом, рееукьтаты скалярного умножения авткснмметрвчвого теваора А ва вектор а справа н слева отавчаются только енаком. Это впрочем является непосредственным следотвием формулы (11) и формулы (9) $23.
Пусть вектор а (з) есть вектор смещения частицы упругого тела; тогда, как мы внаем Авнннык Огтогоыэльныв тикзогы Гл. П! т. е. опять надо формально помножить ва вектор а тот вектор диады Ьс, котормй стоят блвже к а. Это правило остается а силе и в случае эекторяого перемножения суммы нескольких диэд па вектор а справа или слева. Обраеуем в качестве примера векторное проиэведевие Ф=вх1 где в — некоторый вектор, 1 — единичный тевеор. Так как 1 = зззз + зззз + зззз Ф = (вх зз) зз + (вх з ) зз + (вх! ) (з Помвожая теяэор Ф ва проиэвольиый веитор а справа, получим то Ф а (в х1,) ((з.а) + (в х зз) (з, а) + (в х з ) (з„.а) (вх зз)оз + (вх)з)аз + (вх зз)сз = (мха) а' П .
а, Ь' П Ь, с' П*с где а, Ь, е три фиксированных векомпланарвых вектора, окаэываются компланарвымв между собой, то все векторм П н, где я — любой вектор, яомпланарвы и найдется такой отличвмй от нуля вектор ъ, что П.ч = О. Обратно иэ наличия такого вектора ч следует комплаварность всех П я. 3 а д а ч а 168. Покаэать, что если тевэор П обладает тея свойством, что векторы а' П а, Ь'=П Ь, о'=По.
где а, Ь, с — три фиксироваиимх векомплаварвых вектора — окаэмвают. СЯ Ковквиаарныып зыжду Сабой, то все векторы П.н, где и — любой вектор, колливеарвы и найдутся два таких вэколяивсэрных вектора т и м, что П ч О и П.в О. Обратно, иэ наличия двух таким векторов ч и 'м следует коллпвеарвесть всех П-в. 3 а д а ч а 764. Если для трех векомпланарпых векторов а. Ь, с яы имеем Па О, ПЬ О, Пс О то П я = О длэ любого вектора и. На основании предыдущих эадач все тенаорм макло раэделить на 4 класса; э вмевво, восьмом три каках-либо некомпланарных вектора а, Ь, с н составим секторы а' П.а, Ь' П Ь, с' = П с тогда могут окаэаться четыре следующих случая: Сравнение полученной формулы с формулами (37) и (38) покалывает, что теваор Ф совпадает с тевэором А, определенным соотнощением (37). Дадвм ряд аадач, в которых выясним еще яекоторые вопросы, 3 а д а ч а л62. Покаэать, что если тевэор П обладает тем саойствоаь что векторы гиножвнив.твнзогь пл внктог 1) а' Ь' = с' = О, в этом случае вазовом тевэор П муламьм жгкабрам.
Все составляющие нулевого тевзора равны нулю, так как из формул (4) ясно, что в противном случзе нашелся бы вектор а такой, что а' чь О. 2) а', Ь', о' иоллинеарны, во ве зсе сразу равны нулю — з этом случае теваор П называется л и н е й н ы м. 3) а', Ь', с' компланзрвы, но ве колливеарвы — в этом случае теваор П называется и л а в а р н ы м. 4) а', Ь', с' векомплаварвы — в этом случае тенэор П называется полным. 3 а д а ч а 165. Показзтзч что соли р,, рз, рз и йю з(з, <рз — две тройии векомпланзрвых векторов, то диада рзз)з есть линейный теваор, сумма двух диад рйй + рзцз есть плаварвый тензор, а сумма трех диад Рзз(з + Рзаз + РэзЬ есть полный тензоР.
3 а д а ч а 166. Показать, что, обратно, полный тензор всегда может быть предотазлен з виде суммы трех диад. во ве может бмть представлен суммов двух диад. 3 а д а ч а 161. Показать, что пленарный тензор можно представить в ниде суммы двух диад, но нельзя представить одной диадой. 3 а д а ч а 168. Показать, что линейный тенаор может быть представлен одной диздой. 3 а д а ча 169. Колк П вЂ” тевзор, г н г' — радиусы-векторы, то преобразование г' П.г можно рассматривать, как преобразование пространства. Выяснить, в чем состоит это преобразование для следующих тевзоров П: 1) П = а1 (а — пололзнтельвое число), 2] П=1+ае, 3) П 2ззп — 1, где и — единичный вектор, 4) П 1 + аЬ, где вектор Ь перпендикулярен вектору а, 5) П = з, з, + з, зз + 1з )з, где (з, з*, 1з и з,, 1з, 1, — дзе тройки взаимно перпендикулярных единичных векторов.
О т в е т. 1) Преобразование подобия; 2) растюкевие в вапрзвлевив вектора а; 3) поворот около оси п ва 180'; 4) сдзвг плоскостей Ь г = сопзз параллельно направлению вектора а; 5) поворот пространства, дпи котороп осв 1„з„(з переходят з оси 1з', 1 ', 1,', сопровождаемый зеркальным отражением пространства, еслв ориентация осей 1,', зз', 1з' отлична от ориентации осей 1„1„з,. Задача 170. Дава ливезщая векторная фувкцпв г' = вх(Ьхг) = П-г При каких условиях тенэор П будет симметричвьзмР О т з е т.
При условви, что а и Ь коллинеарны. 20 н.з. кочек ьоинныв озтсгонлльныв твнвоэы г, ш 3 ад а» а 171. Для того чтобы тевзор П Г>ыл автясамметрачным, необходимо и достаточно, чтобы для любого вектора а выполнялось равенство а(Па)=0 Доказать это. 3 а д а ч а 173. Показать, что кннетвчзскую энергию Т твердого тела, вращающегося около веподзвжной точки, мо>кво выразить формулой Т > ы (1 где 1 — тевзор моментов пнерпнп, м — вектор угловой скорости. 3 а д а» а 171. Дан тевэор П. Разложим его ва снмметрпчную в антисимметрвчвую части п обозначвм чсрев м вектор — соответствующий автисвмметрвчной части. Доказать формулу п (П.т) — ч (П*п) = — 2а.(пхт) где в в ч — любые векторы. 3 а д а ч а 17>(. Доказать, что ( а х П), = — (П, х а) 3 а д а ч а 173.
Найти представление в ваде суммы трех днад тензора П, преобразующего тря векомпланарпых вектора а, Ь, с в три данных вектора р, й, г, т. е. тевэора П такого, что Па = р, ПЬ = >(, Пс = г. Р е ш е в в е. Обоапачим через в», Ь*, с» тройку векторов, взаимных с системой векторов в, Ь, с (см. Э 8). Тогда, очезвдпо, будет П = ра* + вЬ» + гс» В самом доле, нрвнвмая во вниз>анне формулы (19) $8, легко убедиться, что этот тевзор удовлетворяет всом поставленным условиям. С другой стороны, ясно,что может быть только один тепзор, удовлотворяюв>нй требованиям задачи, так как если бы существовало два различных тензора П> и Пз, дающих решение задачи, то тепзор Ф = П> — Пз удовлетворял бы условиям Фа =ФЬ=Фс =0 н, следовательно, ве мог бы быть отличным от нуля. 3 а д а ч а 173.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
