1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 50
Текст из файла (страница 50)
и лриятм единственным образом, на сумму дзу* азгнзорог, ив коих один будет симмгзярпчнмм, а другой енткгиммгтричннм. Пусть дан тенаор П а мы хотим рааложить его на сумму двух тенеороя: симметричного Е и антяснмметрнчного А: (10) П = Е +А Ваяя от обенх частей атого рааенстаа сопряженные тенаоры в силу формул (4) к (9) получим Отсюда, а саедкнекнк с (10), найдем, что необходима сеять П вЂ” И, с 2 + с с 2 Рвс+ Рзз 2 Рм — Рм ам = 2 (12) Сумма тенаороа Е н А дает, очеяндно, исходный тенаор П, следоаазельно, теорема докааана.
4. В 1 22 мы услокнлись сямяолнчески запнсыяать тензор ( р11 рзз рзв ) П с Рт Рзз Рзз Рзз Рвз Рзв (13) В оалу ракенстка (21) т 22 тенаор Х действительна будет симметрнчным. танкер А антяснмметричным; апрочем это очеяндно и яе того, что клементами тензороя Х я А являются Аовкяыв огтогоянльвыв твввогы Г,. О1 в виде П = (нрн + 1нр + )нрч П - ~ Е РыгнЬ нн! 1 (14) а также е виде (15) В том же параграфе мы ввели в рассмотревие особого рода тепаоры, ваевакиые вами двадами; в.иастоящем же параграфе мы.определили, что мы повимаем под сложеяием текворов. Покажем тепарь, что формулы (14) и (15) справедливы л в том случае, когда правые части стих формул мы повимаом кая сумму соответствевво трех и девяти диад. Например, для докааательства формулы (14) достаточво еаметить, что по самому ояределеквю диады (Рп Рнз рп) (О О О ) (О О О з„р, = О О О, 1нрн= Рп Рм Рнв, )нрн = О О О О О О О О О Рнч Р- Р-! Складывая ети три диады, очевидно, получим П.
Авалогвчяо докаеывается и формула (15). Так каи всякий тевеор можво представать в форме (14], то мы видим. что вселяй юеяеор ложно лредсшаеять в вяде суанмы нчрсх дпад. Заметим далее, что мм имевя право сгруппировать в (15) слагаемые следующим обраеом: П = л~д (ф Ри1н) 1н с-н Нчп Если теперь ввести обозвачевия ~л~ Рндн = Р~ (1 = С 2. 3) н н то тевеор П представляется опять в виде суммы трех диад П = рн(н + рн1. + Р.(н П а, Ьн + аеЬн + анЬв то совряжеввый тевеор будет, очевидно, равев сумме трех сопряжеяямх РиаЛ П, = Ь,в, + Ь,а, + Ь,а, 3 а д а ч а 161. Раеложить ва симметричвую и аитисимметрячвую части диаду аЬ.
В частвости еыясвить евечевие аксиальиого сектора, соответствующего автисимметричвой части. во только теперь три вааямво перяевдикулярвых орта 1ь Ь, и будут стоять в каждой диаде ва яоследяем месте. Если мм имеем теваор П, представлеяиый в виде суммы трех двад умножении твнвогв вв вкктое О т в е т. аЬ И+А, где Я вЂ” ', (аЬ + Ьа) —' ,(аздз + аздэ) —, (авдэ + авдэ) аэьз †', (а,Ьэ + азЬ,) -', ( ,Ь, + ,Ь,) аэдэ —,' (авдз + аздэ) з (аздз + авдэ) аэЬв Π— яэ юв ! А =-е(аЬ вЂ” Ьа) = ! юв Π— юз, ( — мэ аз 0) ю = к.йха ! й 24.
Умножение текворе иа веятор 1. Пусть вам дев теввор Рп Рзэ Рзэ ) эздэ + эвдэ + 'вдв Рзз Рзв Рвв ! Рвз Рт Рвв и вектор а !1аз+ зэав + Фэав (2) Под скалярным проввкеденнем теввора П на е е к тор а си р а в а мы будем понимать новый вектор а', который мы будем обозначать символом П а или, более коротко в тех случаях, когда вто ве может вызвать недоразумении, Па и который мы определим формулой а' П.а = Па = 1, (р, а) + 1э (рз а) + 1, (р,.а) = = зэ (Рэзаэ+Рзваэ+Рвзав) + вэ (Рмаэ +Реваз+Ржав) + зэ (Рмав + Реваз + Реваз) так что проекциями етого вектора а' валяются а,' = р,за~ + ржав + рма, ав' реваз + реваз +. Ржав аэ' = реза, + ржав + р а (П, +П,) а П,.а+П,.а П (а,+ав)=П а,+Па, П та = т (П.а) (5) Таким образом, скалярное произведение теллера П на вектор а есть вектор, еоетаелякнв(ие которозо яинеянмлв однородным образом выражаются через еоеяимляккиие вектора а, причем козу)у)ияиентаии яелюотея компоненты тенвора П.
Вектор а' П а называется повтому еще л и к е йвой векторной функцией вектора а. Иа самого вида формул (4) ясна двстрибутиввость и ассоциативность скаллрвого произведения тенвора ва вектор, выражающаяся формуламя Гл. Ед Аевпныв огтогонзвгьпыв твнеогы Рассмотрим частвмй случай, когда тевзор П есть дяада ( Ьвсв Ьвсв Ьвсз ) П=Ь = Ь,с Ь,с, Ь,, ЬР,Ь,,Ь,, В етом случае формулы (4) приводятся к а,' Ьв (е.а), ев' = Ьв (е а), ав' = Ь, (с а) в, следовательно, мы получаем, что (6) (Ьс) а = Ь (с а) Мы видам отсюда, что для хого чтобы скалярно помножить дааду ва вектор, достаточно формально помножить ва зтот вектор блвжавшвй к нему вектор диады.
Если тевзор П есть сумма вескольнях диад, еапркмер П = рвб~ + рзв(в + рваче то в силу дистрвбутввности произведения мы получим аналогичный результат (Рвй + Р Ч + Рейв) а = Рв (Чв. ) + Рв ( Ь ) + Рв (Чв.а) (7) При перемножении тенеора ва вектор важно указывать порядок умножения. Условимся понимать под скалярным произведением заданного формулой (в) тевзора П ва сектор а слева новый вектор а", которые мы будем обозначать символом а П, нли короче аП, и который мы определим формулой а' а.П = (а.)д)р, + (а*)в)р, + (а [в)рв = а,р, + с,р, -)- о,р, (6) в в нроекцвях ав* = а,рм + аврвв + аврм ав' = евр,в + авРвв + азРвв ав" = авРвз + авРвв + азрвв Для произведения вектора ва диаду получим аналогично (6) а (Ьс) (а Ь) о в далее, аналогично (7), а (рвв)в + рвв(в + рвв(в) = (а р,) «Ь + (а рв) йв + (а.рв) рм (10) Формулы (7) и ((О) приводят к очень простому практическому правклу: для скалярного умножения суммы вескольквх дпад ва вектор достаточно помновкить последний скалярво на ближайший к нему вектор наждой диады.
гмножаинн тзизогк нл еактог Сравнение формул (4) и (9) нриаоднт к одному важному выводу, выражающемуся формулой аП=П,а (И) Формула (8) допускает интересное геометрическое толкование. В самом деле, сопоставим формулы а = ач!, -(- ачгв + авве а" =- ачрг + аврв + агре Мы видим, что произведение а П так состаолево иэ векторов рв, рг, рв, как вектор а составлен из основных ортов Ь, м, 4. Ограничимся, для ясности, случаем двумерного пространства, таи что а = а1(г + агь, а" = агр, + а,рв Построим па взаимно перпендикулярных ортах П и вв квадратную решетку иа растяжамых прутьев, соединенных шарнирами, как показано на фиг.
87. Теперь так сданном н растянем стержни, чтобы образовалась параллелограмматическая Фаг. ЯЗ решетка (фиг. 88), стороны каждого парал- лелограмма которой дают векторы рв и р,. Тогда радиус-вектор а = ОМ любой точки М репютки относительно точки О перейдет нрн такой деформации решетки в новый радиус-аектор а = О'М' (О' и М' — новые положенвя точек О и М). На чертенятах даны а я а'для а~ =3, аз=2. 2, В результате скалярного умножения тевзора П ва вектор а мы получаем новый вектор а' = П.а.
Позтому на тзвзор П можно еще смотреть как ва оператор, совершающий преобразование одного вектора а з другой вектор а*, проекции которого определнютсн формулами (4). Покажем, что эту точку аравия можно положнть в основу еще одного определения теваора. Дня того чтобы лучше уяснить себе сущность дела, докажем одну теорему, относащугося к векторам.
Если для всякой прямолинейной прямоувольной системы координат Ох,хвхг мм имеем совокупность трех величин Ьм Ьв, Ьв и осли нри иереходс к модой дуняюй (конечно, тожв прямолинейной прямоугольной) систсмв координат и для любого вектора а вмпавнявтся условие (13) а,'6,' + аг'Ьг' + а,'Ьв' агдг + авдв + авЬв то ввличинм Ьм Ьв, Ьв опрвдвллют всктоо (ь гФинныи ОРтогонглъныи твнзоРы Для доказательства положим аз' = 1, аз' О, аз' О и заметим, что тогда из (13) получится Ьз' аздз + аз6, + а,Ь, Но в силу тото, что а есть вектор и в силу формул (2) 6 22 будем иметь аз сов (хз хз )з аз сое (хз хз )з аз сог (хз, хд ) Следовательно Ь; Ь, сое (х„ х,') + Ь, сов (х„ хз') + Ь; сог (хз, х, ) Аналогично устанавлпваются формулы для Ьз' и Ьв.
Совокупность же полученньгх трех формул выражает по $ 22, и. 1 как рав тот фапь', что величины Ьз, 6з и Ьз определяют вектор Ь. Докажем теперь аналогичную теорему для тензоров. ггугть длп каждой прямолинейной прямоугольной системы координат мм игмвм совокупность дгвлти величин рзз (з. г С 3, 6), и пусть линейнзм ссотнонмнил Ьз р„а, + ртаз + рззаз Ьз рззаз + реваз + рззаз Ьз рззаз + рззаз + рззаз определяют в любой мзординатной системс совокупность трек величин 6, 6, Ь,.
Ясла гти величины спгммгмспзга провкциапи некоторого вектора всвгди, как тизько ва а~ аз, аз вгтпм проекции какого-нибудь гектора, то девять величин рьь лгллхзцихся коэЯ~ицигнтами линейных гостнсимний (14), определяют некоторый твнгср П, Для докавательства возьмем какую-либо систему координат Охухз'т' и постараемся выраанть величину рм' через девять величин рт. Удобно веять за а вектор, который в новой системе координат имеет составляющие аг' = 1, а,' = О (г *Р 1); тогда на формулы (14) получим: Так как Ь н а по условию являются векторами, то Ьз' = ~~~~ гз„,Ь„а, = аь Поетому, на основании формул (14), з з Р '=Ьз' Х а«Ьг = Х Х а'р а* Х Х аззапрн (д г=а д З) г 1 ° З Эти соотношения и являются выражением того факта, что величины Рзг образуют теивор. укножкяав твпесгл аа Вватог $.
В качестве применения предыдущей теоремм рассмотрим еще несколько примеров тевеоров. Допустим, что твердое тело вращается около аенодвижиой точки 0 (фиг. 89). Найдем выражение главного момента яолячества движения етого тела относительно точки 0 через вектор его угловой скорости е. Пусть положение точки М тела отвосктельво точки 0 определяется радиус-вектором г, тогда скорость точки М будет раева ($9, и. 8) ч еХг (15) Ясла веять бесконечно малый елемеат массы звт, окружаюппай точку М, то количеством движения етого елемевта массм будет ч ят еХ г з(т Фкг. 69 Моментом количества движения етого элемента массы отвосятельао точки 0 будет по определению гхч Ит гх(ехг) Ит Сумма всех етнх моментов количеств дввжеавй и вавыеается моментом колвчестаа движения твердого тела; обозначая его буквой!, имеем ! = ~гх(ехг)Ит (18) где интеграл распространен по всем алементам массы твердого тела.
В салу формулы гх (ехг) = егз — г (™) е (хз* + хз + хв) г (хзез + хаев + хаев) у = ~ узз узв узв уы взв звв (18) где Лз ~ (хзз + хз') г7т есть момент инерции тела относительно оса Охз, а у,з - - 1 х,хз Й™ легко получим, что (, = е, ~ (х,'+ з) Й вЂ” е,~х,хайя — е )х,х Йя (з — — е,$х,х, Йя + е,$(хвв + х,') Йэа — е,$х,х, Йв (17) вв — ез ) хвхз Йя — ез~хзхвят + ез~(хз~ + хвз) Йя Мы видим, что вектор момента количества движения йвлается линейной векторной функцией вектора углоаов скорости, Но тогда ко предгедущей теореме коеффнцвеаты в (17) обрисует тенеор, который называется тенвором момевтов инерции; мы его обозначая чарва Аа»иппыв огтогопальныв твнвогы есть веятый с обратным аваком центробежный момент инерции вли момент девиации отвосжельво осей х» и х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
