1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Симметричные тензоры допускают интересную геометрическую интерпретацию, к взложепвю которой мы и перейдем. Заметим, что вектор а можно графически представать пе тольао направленным отрезком (как обычно), но и плоскостью (3) а г=1 г(П г)=1 (4) где г — радиус-вектор переменной точкв. Производя перемножение, для левой части уравнения (4) найдем выражение Г рых,и + рыхии + р,„х,,' + 2р„х,х, + 2риихихи + 2Р„,хах, 1 (5) Таким образом, мы имеем дело с поверхностью второго порядка, имевшей центр (фвг.
92). По самому способу получения поверхность эта не зависит от выбора системы координат. Найдем точки пересечении зтои поверхности с координат- Ф нымп осями. На оси Ох, имеем хи = х„= О, поэтому 1 хт +. = Ф' Рп Но тав как всякий радиус, исходящий из Фиг. 92 начала координат в имеющий направление в, монсет быть взят за ось хг, то, значат, этот радиус пересекает поверхность (4) в точке, отстоящей от начала координат на расстоянии 1 Р= у Рии (б) Таким образом, если на каждой прямой, проходящей через начало координат, отложить отрезок, обратный корню квадратному иа Р „, то геометрическое место концов этих отрезков даст поверхность второго порядка (5).
Если для всякого направления п воличина р„„положитель- где г — радиус-вектор переменной точки (фиг. И). В самом деле, так ! как а.г аг 1, то и = —, т. е. геометрическое место а, ° копцов радиусов-векторов, исходящих из начала аоорг цниат в удовлетворяющих уравнению (3), есть плоскость. перпендикулярная вектору з и отстоящая от начала ног 1 д ординат на расстоянии †. Поэтому вектор а перпендикуФвг. 91 лврен к плоскости (3) и имеет длину, обратную расстоя- нию начала координат до этой плоскости.
На прямой, проходящей через начало координат и имеющей направление в, плоскость (3) отсекает отрезок длины р = — . 1 и Будем аналогично поступать с симметричным тензором П. Рассмотрим поверхность 61З сикмвтгпчвыв твнзогы на — случай, наиболее важный в приложениях,— поверхность (5) будет, очевидно, элляпсоидом, ибо все р будут ограничены. Поэтому уравнение (5) называется уравнением т е н э о р в от о э л л и из оп д а (хотя ово может представлять в другве поверхностя второго порядка).
Есля тепзор есть теязор момепгов внерцяв, то р„„=,г„„, т. е. р„„есть в этом случае момент внерцяк относительно осв в, величина есегдз яоложительная, поэтому, строя по указанному выше правилу новерхвость, мы получаем зллнпсоад инерция. Если для некоторых направлений р„„ првввмает отрицательные значення, то в правеж частях формул (4) н (5) можно вместо 1 брать *1, а э правой части формулы (6) аместо р„брать ~ р „).
Скалярное произведение П.г имеет простое геометрическое значение, А ямепяо докажем, что если вектор г онанчиваегся в точке М поверхности (4), то вектор гг=П г имеет вацравлоние нормали к плоскости, касательной я поверхноств в точке М. В самом деле, еслп точка М, оставаясь на поверхности, испытает бесконечно малое смещение, то радиус-вектор г получит бесконечно малое приращение г(г, лежащее в касательной плоскости к поверхноств з точке М.
При этом мы будем имать 4[г (П г)) = О (нбо па поверхности г (П г) = 1), влн г(г (П г) + г (П-Иг) = О т. е. вектор и перпенднкулярен к любому направленпю, лежащему з касательной плоскостя к поверхности з точке М, что к требовалось доказать. Впрочем зто обстоятельство непосредственно вытекает вз формулы (36) 5 24.
Так как г.гг = 1, тогюОЛ1 = 1; откуда.для еелвчнны вектора П г получаем выражение 1 г оп (8) 3 а д а ч а Хсо. Показать, что для аптиспмметрвчного тепэора А имеет место равенство Ь*(А а) + а. (А Ь) = О для любмх векторов а и Ь. 3 а д а ч а 186. Во что переходит поверхность г-г = 1 прв преобразования г' = П г, где П полвыв тевзор? 0 т в е т. В эллвпсовд г' Ч'г' = 1, где Т = П, 'П '. Но по основному свойству скмметрнчных тевзоров оба слагаемых равны, следовательно ~йп=О яаннныи Огтогонвльныв твнэогы Гл. Н1 ф 27.
Главные оси тсвзора. Гнавшее значения теивора. Инварианты теваора 1, Рассмотрим какой-лабо тенвор П в пусть П.а Ь Ксан вектор Ь коллнвеарев вектору а, т. е. если вектор а после преобразования изменяет только свою величину, не изменяя своего напрааления, то направление вектора а называется г л а в н ы и н а и р а в л е н не' и т е п з о р а. Ясли при этом Ь Ьа, то величина Х называется г л а вы ы м з н а ч е н в е м те пз О р а. Опо покааызаст, насколько раз тевзор увеличивает векторы, направленные по главным осам теваора; паправлепяе таких векторов тензор ие меняет. Мы воспользуемся этой колаинеарностью вепторов а и Ь П.а для отыскания главных значений к главных осей тевзора. Итак, вусть тенаор задан в некоторой системе координат своими компонентами рм в пусть а имеет главное направление, которому отвечает главное значение 1, тогда по самому определению Па=Ха что равносильно трем уравнениям рввав + рввав + р„а, = агав рв,ав + рввав + рввав = 1ав Рв.ав + Реваз + Реваз агав Получились три линейных однородных уравнения относительно ав, ав, ав.
Эта система уравнений может иметь решение, отличное ог пули, только если ее определятель равен пулю Ры в Ры Рвв рю рю — 1 р,„= О Рвв Рвв Рвв (3) Иэ полученного кубического уравнения нужно определить 1, а тогда из системы (2) можно определить отнопюввя ав: ав: ав, т, е. главное направление тензора, отвечающее взятому корню 1 уравнения (3). 2, В случае симметричного тензора П мы сопоставлялн ему поверх- ность р,вх,в + р„х,* + рв,х,в + 2р,вх,хв + 2рв,х,х, + 2р„х,х, = 1 (4) "вгв + "ввв + "ввв 1 причем указывали, что поверхность зта не зависит от выбора координат. Но известно, что уравнение (4) вадлежащам выборои осей хв, х„х, можно привести к виду глеввмв осв твнеОРА Такам абрахом, в атой системе коордиват есе елемевты тенеора, кроме дкаговалькнх, обращаются в пуль в сам тевеор првввмаег простейжвй П= 0 Хе О (б) В соответствии с этим я прсобрааовавве вектора Ь П.а будет иметь весьма простой ввд ь,=х, ь =х, ь х (7) Очевядво, что для симметричного теввора направленая осей ям яе в Л~ являются главвымв направлениями, а велвчввы Хз, Хе к Хе — соатеетствующямя гланвымя еначеввямв.
В случае симметрвчвого тевеора существуют, таким обраеом, трв глав. кых ваправлеввя я трв главных звачввяя, так что ураввевве (3) имеет прв р,, = рм три еещестееввых корня. В качестве примера рассмотрим преобраеовавве определяющее главный момевт количеств дввжеввя твердого тела, вращающегося около О, веятый отвосительво качала координат, черве угловую скорость ю. Веря еа оси коордвват главвые осв эллвпсоида иверцкв в обоавачая через Ум Ум Уэ главвые момевты вверцкк, будем иметь (9) Припевам уравиевкя (9) для вывода ураввеявй Эйлера для еращеввя твердого тела около начала коордякат яе еакова моментов количеств движения — 1 л( (10) где В есть главвнй момевт спешках свл отвосвтельво начала коордкват.
Так как мы хотим ствосить дввжепве к главвым осям еллвпсовда иверцви, неподвижно свяааввым с твердым телом, то для вичвслеввя Н)лй ми дошквы восполъаоваться формулой (12) 5 10: ()- еч х лг1 — ) = — + юе(, — юе(е в т. д. ,иА, ж Составляем ураввеввя (10), подставляя в ввх вместо ЛЯг выражеввя (11), в которые, в свою очередь, вставлены евачевкя (9) для 1: ,(, — + (,(, — уе) м, е - С., ев, ж ,(г — +(А, — уе) .,М, =С; ля~ " хя У вЂ” +Уз — ~) юе-1 сев еж 2$ П. В.
вечеа аевииык оэтогоилльныв тввзогы г.ш Ураеиеввя (12) в вааыэаются уразкеииями Эйлера аращевва твердого тела около веподзюпиой точки. 3. Воээращаясь к общему тевэору П, раээерпем кубическое ураэие- вие (3) по убывающим степевям Л1 Лз — Лв (ри + рва+ рвв) + Мы виаем, что корив этого ураэиекян Лв, Лв и Лэ не должны зависеть от ембора коордииатиой системы. С другой стороны, ввэестпы соатво. жеввя между корнями в коаффвциеитами уразиеввя: Ь Ри+Рм+Рээ=Лв+Лв+Лв Ев ! Р ~+~Р Р ~+~~ Р ~= ЛвЛв+ ЛвЛв+ ЛвЛв (14) ри ри рвв 1в = рвв рвв рвв ЛвЛвЛз Рвв Рвв Рвв Поэтому величиям Еи 1в и Ев пз заменяются прв преобравоааиии координат. Эти величины называются в н э а р в акт ам я те ив о р а.
Прв помощи этих иваарваптоа мы можем составить бесчислеввое ыиожество других ивварвантоз. Так, например, визариавтом является величина 1вз — 21э=рив + рию+рввз+2рвври+2рмрзв+2рвврвв= = Лвв+Лвв+Лез (15) Составляя иввариаит 1в для производного теивора —, мы колу*им ае вв ' по формуле (22) 5 24 (16) Таким обравом, рассмотреике тевэораНа/в(г привело вас к (т 17) а го1 а и о1т а, т. е.
ко всем освоавым дафферекцвалькым операциям векторного авалива. Те тевзоры, у ксторых иввариавт П обращается э пуль, называются д е э в а г о р а и и, Покажем, яак можно вэ любого тевэора П получить деаиатор. Для этого достаточво, введя обоавачение а = 1в = ри + рвв + рвэ рассмотреть новый тевэор П' = П вЂ” — а1 1 3 (17) У атого теизора двагокальвымв элемевтамв будут величины 1 1 1 Ри 3 а Рзв — е Рвв — е 3 ' 3 сумма которых равиа кулю. 27 Ряьивыв оси тавэогь а Рм= 3 ае дм (ь, )-Ц г, з) 3 1 поэтому ииваризвтом 11 ддя тевзора П будет зыражевие (з8) ~ч", ~а„,Ьы ь 11 1 которое целесообразно юшзать б ис к ал я рвы м п р о из в е д е- и и е м те из о ров А и В. Мы будем обозвачать его через з з А"В=~ ~амд,з (19) ь з7 ! При В А выражение (19) делается аналогичным (15), 3 а д а ч а 187.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
