1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 56
Текст из файла (страница 56)
вектору, в частности применимо к векторам р, (Г), р»(г) р»(Г)с Й' Ар», — — — Ар» ею »и ' йт »>>ч — = Арп Ы» Иа зтвх равенств легко аывестк следующее ю >»+ ~ »» + ~ (»=(А р»)»д+(А.р»)»»+(А р») )» ее» ° яу» - ль ° А (р»)» + р»гз + ра»а) — АП В самом деле, если кы рассмотрим в теле радиус-вектор г какой-лабо. точки М, вращающейся вместе с телом, н еслк в начальный момент г = О мы имели >с = з»>» + з»)» + я»)в Гл. Ш лвпнныв Огтогоплльпыв тппаогы или, в силу формулы, аналогичной формуле (6) (26) Итак, теизор поворота П удовлетворяет дифферевциальиому уравкеиию (26), где А есть постоявпый автисимметричпмй теиаор (25).
Приме:няя к решепвю уравнения (26) теорию предыду7цего пункта, получим, что ПП)= С где С есть начальное зпачевие теиаора поворота, т. е. С 1 (так вав и начальный момевт вектоРы Р, (1), Рх (1) и Рз (Г) совпаДают с вектоРами 14, ),1, аг=г). Итак, для тевзора поворота иы получаем выражение П(г) = ел' (28) Представим его в другой форме. Прежде всего цо формуле (16) будем иметь Аз «А Азы Мл лс (29) Заметив далее, что, как нетрудно вычислить, впвариак7ами теваора .А являются 1,=0 1, О, 1~=ма, .и псетому, согласно задаче 191 А* + взА = 0 Впрочем это последнее равенство нетрудно проверить в кепосредствеи.
.во. Ив него легко вывести, что А» = — вхА, Ае = — аРАе, Аз = влА, Ае = веАз, А' — влА, Поэтому ряд (29) получает гледувпцую форму г ~ щпз вил ива;; сх ецз емв П 1+ А~)- — — + — — — +...)+Аз~~ —,— — + — —...) 3! 5! 7! ' ') 1 2Т 4! с! Принимая ~еперь во ввимавие взвестпые ив анализа ряды в~ еам ели,;рп з1в (в7) = — — — + — — — +.. 1 Э! 5! 7! вчи лхч~ еив ссе(в0= 1 — . + + 4! С! легко преобразовать предыдушее равенство к следуюятему виду: (30) В целях дальнейших преобразовавий обозначим угол поворота ек через ф, а едивичвый вектор, имеющий направление оси вращеппя через и, так что в вп. пиаювавнпнговьнпи твпзагь па скьлягномт ьгггмвнтг 33$ Если мы согласно правнлу пункта 5924 будем составлать 1хм, то получим 1хм (»з»1+ »е(з+»е(е) хм »т((аахм) +»з ()зхм) +)з (1зхм) = (31) мз Π— ев А Чтобы вычислить Ае, ааметим, что (32) Аг мхг Постону А'г А Аг А.(мхг) мх(мхг) = м(м-*) — м*г Отсюда следует, что Аз = мм — юе1 м' (ав — 1) (33) Привимаа зсе зто во внимание, получим П иа+ аш ф(1 хи) + сое ф(1 — вп) (34) Формула (34) н дает окончательное выражение тевзора поворота П через угол поворота ф и через единичный вектор а, дающий направление оси поворота.
Какай-лабо вектор ю после поворота принимает положение г, определяющееся формулой г = Пгз = в (н.ге) + еш ф ((1 хи).щ» -(- саь ф (ж — п (в. ге)) = в (в.ге) + з»в ф (1 ° (п х ге)) -»- саз ф (ге — о (в. геЦ или г = в (в те) + зш ф (в Х ге» + соз ф (ге — а (п.ге)» (35) Эту последнюю формулу можно было бы, конечно„аолучнть и непасредстзевно из простыв геометрвческ~щ соображений.
В самом деле, пусть ОА — ось повороте а пусть ге =ОМ (фиг. 93). Опустим ав точки М перпендикуляр МА на направление осв ОА и пусть А — основание етого перпендикуляра. После поворота на угол ф вектор ге р я займет положение г дУ, а АИ повернется в лло- 4 р скости, перпендикулярной осв, к займет положе- 3 нае А»т', причем /МА»т' = ф, Ю Опустим аз точки»У перпеидинуляр 31В на на- г<. правление АМ и пусть  — основание этого перпен- г динуляра. збы имеем тогда, что г = О»'г' = 0.4 + АВ + ВЛ Вектор 0.4 имеет направление а и по величию.
9 равен проенции вектора ге на направленно оси, 1виг. 99 т. е. равен в.ге, поэтому 0.4 = и (в.ге) ьеинпыв огтогопальвыв твнвогы Гл. РА Вектор ахг расеи по велвчпие г эгп (МОА) = АМ и имеет то нге направление, что вектор Вг(г, величина которого равна Аг1г э(в ~р АМ эш ~р. Поэтому ВЛ~ = вп и (пхге) Наконец, вектор АМ = ОМ вЂ” ОА = *„— в (и г„), а поэтому АВ = сов гр АМ сов(р(ге — к (к-ген Складьгвак иайдеккме выражения для векторов 0.4, АВ и Вггг, кы и докюкем формулу (35). 4.
В качестве следующего примера рассмотрим вопрос о сохраняемостп векторных линий вектора а. В 5 21 свойство сохраиаемости векторных ливий определядось следующим образом: если мы имеем пестациоиарное поле вектора а в если частицы сплошной среды, обраэувщие векторпую лииюо в какой-нибудь определеппый момент вь в любой момеит времеви обраэуют векторную ливию, и если это верка для любой векторной лквпи, то мы говорим, гго векторпые липки вектора а сохраипютсл. В том же параграфе было выведено иеобходпмое условие сохраияемости векторых лилий вектора а: ~ —, — (а г7) г) ха = О (Зб) я=х(а,Ь,с,г), у у(а,б,с,г), с=г(а,Ь.с,г) (37) Чаше всего эа а, Ь, с принимают декартовы координаты частзщы в начальный момент времени ьь В этом случае мы будем иметь, что а я (а, Ь, с, г ) Ь у (а, Ь, с, г„), с = г (а.
Ь, с, гв) (38) Если г есть радиус-вектор в кростраистве х, у, з, а г есть радиус- вектор в простравстве а, Ь, с, то формулы (37) эапвспутся в векториой форме следуввцим обраэомг г (ге, г) (39) где ч — вектор скорости сплошной среды. Докажем теперь достаточпость условия (Зб) для сохраияемоств векторных ливий. Для этого иам будет удобно перейти к переменным Лагранжа.
До сих пор мы рассматривали раэличпые поля векторов, т. е. рассматривали апачекия векторов, отяесеивых к ф и к с в р о в а и вы м точкам простракства. Но н пексторьгх вопросах целесообраэио рассматривать эиачеиив векторов, отиесевпых к ф и к си р о в а и и ы и ч астицам сплошной среды. В этих случаях каждой частице сплошной среды сопоставляются три параметра а, Ь, г, которые вавываются лаграижевыми переменными.
Движение всей среды будет иээестио, если будут иэвесгпы координаты каждой частицы к любому моменту 1 те днФФзРанпиРОВАннз тзнеОРА по скьлягномь АРггмзнту ЬХ« Чтобы определить скорость какой-лабо частицы, мы долнсны, по общему правилу, составить проивводную от радиуса-вектора г по времеви ( (ведь для каждой двиной частицы а, Ь, с остаются постоянными). В рееультате получим аг т= -3)- или в проекциях ах(А,Ь,с, «) ат(а,д,с. С) Ис(А,Ь,с, С) (40) Мы предпопожзм, что функции (37), их первые и вторые проивводные по а, Ь, с, ( существув«т и непрерывны и что уравнения (37) можно ре«пить относительно а, Ь, с: а = а (х, у, х, с), Ь = Ь (х, у, А, С), с = с (х, у, А, Ь) (41) необходимым условием чего является отличие от нуля определителя де дх дс да дЬ дс дв дв дт '3А де дс дс '3« (42) 6" — Ьа+ — ЬЬ -)- -3-Ьс дс дх дс да "Ь Ьу = фЬа+ ф66 + ~~ Ьс Ь = — Ьа+ — ЬЬ+ — Ьс дс дс дс да дЬ дс (43) Вводя поьтому в рассмотрение тенеор (см. $24) А К ) (44) мы можем записать, что Ьг = Т 6«е (45) Ыз самого поня«ня о сохрвняемости векторных линий векторе а следует, что длв того, чтобы сохраняемость векторных ливий векторе а Вставляя выражения (41) в формулу (40), мы получим обычное представление вектора скорости Р черев координаты х, у, х, д т.
е. Золучнм поле скорости. Примем ва а, Ь, с, декартовы координаты частвцы в момент гс. Рассмотрим теперь и моменту сс бескозечно малый вектор 6гс, декартовы составляющие которого равны Ьа, ЬЬ, бс; «квдкпе частицы, образую«цие этот злемепг, расположатся к момекту г вдоль вектора Ьг с со- стаелвющвмп с экнпыв оэтотокальныв тннэовы гм пд имела место, несбходвмо н достаточно, чтобы вэ коллннеарностн векторов а (те, со) и Ьте следовала коллввеарность векторов а (т, О и Ьм Такам обраэом, если Ьтеха (гм т) = 0 (46) то должно быть Ьтха (т, С) 0 (47) Но в силу отлнчня определнтеля (42) от куля, тенвор Т явлвется полным.
Повтому. условве (46) соверщенно эквввалентно такому условию (ибо коллипеарвые векторы после преобраэоваквя тевэором опять переходят в коллинеарные векторы): ТбьехТа (тм С,) 0 а в силу (45) такому . ЬтмТа (г,. се) = 0 (48) Итак, вэ (48) должно следовать (47), иными слоэамн, векторы Та (те, М) в а(т, э) должны быть коллвнеарны. Мы прнходвм поэтому к следующему выводу: всобходимым и досжажсчнма услоеяае ссяраяясместв векжорямя лилий вектора а леллсвса емкаенеипе раеелслма а (т, с) к Та (т„с,) = 0 .(49) Умножая оба вектора на тенеор Т 1 слева, мы можем переписать равенство (49) в вквввалентной форме Т-'а (т, О ха (ге, ~а) = 0 (50) Смысл равенства (50) эаквючается, очевидно, в том, что вектор Ь (т, й) = Т 'а (т, С) сохраняет постоянное направление в пространстве, Но необходимым н достаточным условием для етого валяется выполнение равенства (5() как это следует вв $9, формулы (15) п вэ еадачп 80.
Заметвм теперь, что еь ет-' 1 аэ — = — а(т с) +Т '— й Ф Ф и в силу формулм (13) е1 й — — Т' — Т'а+Т'— ~И Поэтому формуле (51) может быть переписана в ваде (Т ' —,— Т э —,Т ~а)х(Т а)=0 ь уа дниоквкнссссгоевнкк ткнвове по сквсгявному Аугуикнту ааь кла, умножая оба вектора слева на Т, в виде — — — Т- а)сга 0 (-- аа дт ю (52) Выясним ваачекне тенвора — Т"с ю Ив форыулы (44) кмеем, по правилу днфферекпнровапкв тенвора а принимая во внимание формулы (40)с Заметим далее, что теивор Т-с, обратный для тенвора Т, имеет, очевидно, вначенае (54) Нетрудно поэтому составить пронвведенке (с(Т/сгс) Т '. В самом деле, воеьмеи пронввольный бесконечно малый вектор с(г, тогда в силу (54) имеем Т сс(т — — ть ог с(гъ Далее в силу (53) имеем дт с Ыт — (Т с(т) — с(ге = сст е— Но вто овначает, что (~Т с) с(г = сст Отсюда следует, что д» дэ де дд аев дар д ат а,,) ю ~ ас Ж (55) де ае де дт Тенора нетрудно вычисякть, чему равняется вектор — Т 'а.
ет ет юе юас д*в ае дс дсс де ССС асс дсе аьсн а Св у' Юс асс 3 Э ас де дЬ дв дс ае дев де дс дев дэу Ю дес аее аа йь а ас аь аь ат дс дс дс де дс ЬЪ дт а. дв, дс ) леииныв огтогоиьльвыв твнаогы Гл. Нь А именно по формуле ло $24 мы имеем дч — *а = (а* ~7) ч в, следовательно, — Т-'а = (а.~у)ч дь Условие (52) нереписывастся теперь в окончательном виде (д,— (а Су) )Хв = 0 (57) Так как это условие совершенно эквивалентно условюо (49), то мы можем выскаеать следующую теорему: ваадхедиаым и достаточным услыхали охравлсваств асюворвмх ливия вектора а ядлливсл мгволнснаа радаясвыа (57).
Итак, мы получили условие сохраняемоств векторных линий в двух формах: в форме (57), годной для случав обычных иееависимых переианвъгх х, у, х, д к в форме (49), пригодной длв спутав лагранжевых переменных. Это последнее уравнение, будучи вьшисано в проекциях иа оси координат, имеет, очевидно, следующий вид а„ де да да дд дв .д +'.да+аиде ''дс+'ъ.да+а*,д а*.а +'.де+си д где а„, ач, ~Ь.
и а„., ач., а„— проекции вектора в в два равличных мо- мента времеви г в Гм но длв одной и той же частвцы. 9 29. Рввзпждеиие теваора. Применение к теории упругости П (г) (,р, (г) + )чр, (г) + з,р, (г) Определим в каждой точке паля для каждого направлении и вектор р„= в-П = р, сое (в, хД .+ рг осе (н. х ) + р„сос (в, х,) (1) Рассмотрим теперь интеграл по еамкнутой поверхности Ю: и прюееним к нему формулу Гаусса — Остроградского: р„ьу = $(рь сов[в, х,) + ра сое (в, хИ + рс сос (и, .т)) ИЯ = .а д ~ У др, др,~„„ (2) 1. Из двфференциальных операций мы рассмотрим только вопрос о расхождении теваора, которое мы определим ио аналогии с расхождением вектора. Итак, допустим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
