1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 59
Текст из файла (страница 59)
димо обобщить введеввые вами попятил. В нашем трехмерном пространстве, вводя прямолппвйпую прямоугольиую систему координат Охз хз хз, мы можем определить положепие каждой точка М ее декартовыми коордипатамп хз, хз, хз. Если другая точка Ф имеет декартовы коордииаты ум уз, у„то расстояние между этими двумя точками М и Л определяется по теореме Пифагора: МЛз (у, — х,)' + (у, — хз)' + (уз — х,)' Совершенно апэлогичио атому можно определитью-меркоеэвклидовое прастрапство Е,„.
в котором положение каждой точки М задается ее декартовмми координатами х„хз,..., х относительно прямолпвейпой прямоугольной системы координат Ох, хз... хм, причем, если другая точка Л имеет декартовы координаты уз, у,..., у, то расстоявие мюкду точками М и зз' определяется по формуле (Уз хз) + (Уз хз) + . + (У хз) Если )У есть точка. бескоиечпо бливкая к М, и ее коордикаты суть х,+аЪ„хз+Ыхз,...,х +з(х о расстояние Нз между точкамв М и )У дается формулой з(зз = з(хзз + Лхзз +... + Ых з (4) Но положение точки М может быть определено в ю-мерпом эвклидовом пространстве Е и криволинейными координатами о„оз,..., с тогда.
акалогичпо формуле (2), длв расстояния между двумв бескоиечпо блпэквыи точками получим формулу вида п~ ° '(з' Х Х йз (уз Чз. ° у ) з(уз 4?з (б) з=зз $ в которой можно считать, что ям язо 3. Подобно тому как в простраистве трех ввмереяий мы рассматриваем поверхности в ливии. так в пространстве ю иэмервквй мы можем рассматривать подпростраиства меньшего числа иамереввй. Допустим, что мы рассматриваем подпростракство Е„, имеющее л кэмерепий. Для определеиия точек этого подпростраиства можно воспользоваться каквми-то криволинейными координатами, которые мы опять обовиачим через о„уз,..., о„, аиалогпчио тому, как в формуле (3) параметры, опреде. ляющие точку па воверхкости, были обоэиачепы через дз и ез.
Ясио, что декарзовм коордипаты точек подпрострапства Л„будут определеипыми фупкцпювк ст ри дз,..., оз: х~ = хз(зз Чз ° ° ° *9) (б) элвмвнты озшвв твоэии твнзоэов Гв. 17 Расстояние между двуми бесконечно близкими точками подпросз. ранства Я„будет определяться по формуле (4), в которой вместо х„нужно кзДстазить их выРаженик чеРее кРкаолинейные кооРДинаты Дю Дз,..., Д„. Н о очевидно, мы имеем дз„де а*„ " дза «в = 3 — «Д<+ — <(Дз + ° ° ° + — «Д = Х вЂ”.
<<Д< (з 1. 2...., <в) ас, ' ' ' ат„"= аэ. < < В з е е а.. а; д*„дз~ <(х = Х д — <(Д ' Х <(Дз= Х Х вЂ” д <(Д«(Дз ,ад< з <ааз « з . аз<аз Поэтому аза l ч д* дз 1 «<з = — ~ <(х < = Х ха х< у-~ <(Д<<(Да= х< ла [ ~< а х ~ <(Д<<(Дэ 1 Ф < < <ь 1 Й дь аз< дз,< Введем теперь обозначевве аз» аза Х,—; —,;=у (д»д .'д.) (<,ь=<,ц.....) , асп ась Прячем, очевидно, (8) Д<ь = Ка< Тогда окажется, что в а «з = Х ~х~ ~Фа(Д< Дз ° ° Д ) вД«(Дл При и = ю отсюда, как частный случай, получается формула (5), в этом частном случае цростраиство г< совкадазт с Е , н только положешю точки в этом пространстве определяется ве декартовыми коордкватаки я<, хз, ..., к„, а криволинейными коордияатамн д<, д, ..., д„,.
Итак, если в эвклвдовом ж-мерном пространстве рассматривается пздпространство я измерений Л„, определенное формулами (6), в котормх в<,..., л суть непрерывные вместе со своими первыми частными нроиззодвыми функция, обладающие тем свойством, что з рассматриваемой области ввменевиЯ кооРдвват Д„Д<,..., Д„Различным системам эвачэнвй Д<, Д„..., Д„отвечают различные точки пространства Е, то квадрат расстояния между двуми бесконечно близкими точкамв подпространстза Я„определяется формулой (9), как квадратичная форма ст дифференциалов координат.
Говорят, что формула (9) устанавливает ветряку водпространства )<„. Полезно сразу же отметить, что в некоторых случаях метрика двух различных поднространств к<скет оказаться соеершенно одинаковой; так, например, в нашем трехмерном пространстве метрика какой-либо цилиндрической поверхности не отличается от метрики плоскости.
ОБЩЕЕ ОПРВДЕЛВННВ ВЕКТОРА Н ТВНЭОРА 1 30 Отсюда видно, что метрика надпространства Л„яе вполне характермэует это надпространство; оказывается, однако, что метрика характернэуег одни вэ самых глубоквх свойств надпространств зг„. 4. Риман поставвл задачу обратно; ов всход«В вэ многообраэня н намерений, т. е. Оовокувноств точек, каждая иэ которых определяется л координатами аы аэ, ..., а„, менязощимнся в некоторой области, причем точки, соответствУющие Раэлвчным снстемам эвачеввй Рм дз, ..., 7„, считаютсн раэлячнымв. Затем Рнман по провэволу задавал фувкцнн ум (ды дз, ..., 7н) с тем лишь условвем, чтобы квадратичная форма в правой часто формулы (9) была определевнов положительной формой, т.
е. принвмала лвшь положительные экачеввя прв любых бды ауз,..., с(7„, не равных нулю одновременно. Наконец, Рнман Овределлл расстояние между двумя бесконечно блвэ«вни точками исходного многообРаэнЯ, нмеющвмн кооРдинаты Ум У»,...,7„, в д, + Ыд,, дз + ддс,..., 7с + ду„, формулой (9), в которой у;» удовлетворяют условию (8) '. Многообразие и итнерений е катарам формулой 197 уснсанозлена метрика, т. е, задана раеетонние между дсумн любыми бесконечно-Близкими точками, казы»остен нроетранетеан Римана и обозначаетел обыкновенно серее Совершенно естественно воэнякает вопрос о том, нельзя лв всякое рнманово пространство Вс рассматривать как надпространство в эвклкдоаом т-мерном пространстве Е, где т ь н.
Иэ предыдущего иэложенвя ясно, что этот вопрос эквввалентен следующему; нельзя ли найтя число т в такие функцив кс (ун ., 7с),..., х (уи ., ., 7„), чтобы выполввлвсь равенства (7), где г,„суть эадаявые функции от уь 7», ..., рн удовлетворяющие условиям (8). Но легко подсчитать, что (7) есть система ~ л (н -~- 1) уравнений (н уравнений получается прн с = й н ф н (л — 1) урасвений нрк с < й, уравнения прв 1 ) й в силу условия (8) рассматривать не надо); число же вевэвестных функднй равно т. Можно поэтому ожядать, что уравнения (7) можно решвть прв т * = с н (и + 1), а в частных случаях я при т < фи (л + 1).
Кэк говорнт, рнманово пространство н намерений может быть вложено в эвклидово пространство фн(и+ 1) намерений; так, например, риманово пространство двух Вэмереикй всегда может быть вложено в наше эвклндово трехмерное пространство, иными словамв, всегда ножки подыскать такую поверхность, для которой с(зз представляется наперед заданной определенной положктльной квадратичной формой (3)1 точно так же рвманово пространство трех намерений может быть влоскево в эвклвдово пространство -" 6 намерений и т. д. с См.
обзор прсф П. Ф. Кагана, Г»омстричссние Вцех' Рвненз и их совр». неэвое Рэзввтее. ГТТИ, 1333 Тем же аолробаая натер»гура. злквввты евшая теОРии твнзогоз Гл. (Ч к»= аи (и и ° ° и») (»=1,2, ..., ») (10) В атом случае мы будем говорить. что формулы (10) определяют преобразозапие координат.
Про функцви, стоящие з правой части формул (10), мы будем предполагать, что в рассматриваемой области изменения координат я',..., я" зтк функции однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные всех тех порядков, какие нам з дальнейшем понадобятся. Вообще все функции, с которымя мы будем иметь дело, будем считать удовлетворяющими этим условиям. В рассматриваемом же случае мы потребуем, сверх того, чтобы якобнан дл~ д»» д»»''' Ш» д»» д»» а(д ' ' д~ю дщ дю д»э ддт д»» д»» д»» ЛЫ дю ''' «й» был отличным ог нуля. Как известно, в этом случае можно решить уравнения (10) относительно я', я',..., я: я» = я» (х', хз.....
з") (а = 1. 2, ..., з) (12) Иногда, как, например, в теории относительности, пригодится рассматривать в те случаи, когда правая часть формулы (9) является неопределенной квадратичной формой, т. е. может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Во всяком случае стоящая в правой части формулы (9) квадратичная форма будет в дальнейшем играть колоссальную роль; поэтому зта форма называется о с н о в н о й, или фундаментальной, формой, Но на первых порах наложения тевэорного исчисления квадратичная форма (9) вам не понадобится.
Точнее говоря, можно дать определение тенэора и состроить тенэорную алгебру, созершенво вне аависимости от того, определена ли метрика пространства вли нет, и только при построении тенэорного анализа метрика начинает себя проявлять. Поэтому в основу наших первоначальных рассуждений мы положим самое общее многообразие в измерений, коордвпаты точен которого обоаначнм в соответствии с установившимся обычаем через х', з*,..., я", (вместо фц ((з, ..., д„, так что значки 1, 2,..., п являются не повазателями, а индексамн; мы скоро увидш», вочему удобнее зги индексы ставвть наверху, а не внизу). 5. Итак, рассмотрим многообразие в измерений (г„, понимая под нвм совокупность всех его точек, под т о ч к ой ж е м н ег о об раз и я мы понимаем совокупность значений я независимых переменных я~, яз,..., х", самв же числа к', я»..., и" будем назызать ноординатамк точки.
Вместо координат хг, к*,..., к» можно ввести новые координаты яз, я»,..., я", связанные со старыми некоторыми соотношениями оэшнв опгвлвлвнив Ввктога в твнвсга Полученное преобраэовавие координат наэывается обратным по отношению к преобраэоваввю коордвват (10). В обшей теории теваороэ рассматриваются, как было упомянуто в п. 1, всевоэможнме коордкнатные системы, свяэаввые одна с другой формулами преобрааоваяия (10), в то время как прв научении афвнвыт ортоговальвых тенаоров вам достаточно было ограничиться рассмотрепяем линейных сртогопальныт преобрааоваввй коордкнат (1) (авалогачпые (1) формулы могут быть написаны в для пространства л измерений). 6. Дадим теперь общие определения скаляра, вектора и тенэора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
