1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Операция сложения двух текзоров одного к того же вида (т, е. имеющих одннаковое количество ввжннх индексов к одинаковое количество верхянх ввдексое) естественно определяется следующвм образом: нужно сложнть соответотэующве составляющке данных тензоров ояжвв опгицвлннив Ввитогь и твизогь в результате получатсв, каи нетрудно показать, составляющие нового теввора, который в называется суммой двух данных тензоров. Так, иапрвиер, С„', = А~+В:, (1) есть сумма тевзороз Ааев и В;з. Иетрудно видеть, что сложение тевворов обладает обычнммв свойствами, как напркмер, коммутативным и ассоциативным.
Рассмотрим ковтразариавтимй тевэор второго ранга А'З. Если при иаиенении порядка индексов его составляввцие вв изменяют своих значений, т. е. если Аз Ааз то тевзор А наамвается вимм е т р и ч ими; если же при намеке° е пив порядка вндексов составляющие тензора А'л меняют свой знак иа обратный, так что Аза = — А'в то тензор назмвается а нт и с и и и е т р и чик и. Такие же определения можно дать и в случае иовариантвого тензора второго ранга. Таи же как в $23 можно доказать, что любой ковтравариавтвый или коварвавтный тевзор второго ранга можно представить в виде суммм симметричного в автисвмметричвого тевэоров.
2, Переходим к определенвю произведения двух тензоров. Пусть данн два совершенно произвольных тегзора, например Ав и В'„в, Первый тевзор имеет лв составляющих, второй теизор имеет ев соотазляющвх. Перемножим каждую вв лв составляющих первого теваора на каждую иэ я' составляющих второго теизора; в результате мы получим лв составляющих За в а Саав = АаВав (2) Докажем, что этв лв составляющих образуют теизор; в самом деле, так как А, есть тензор, то иы имеем следующие форввулы пресбравоаанвл з д аддд Аа А, дда даз по той же причине ха а да' да дя В Е результате перемножения этих равенств мм получим —  — а Л даа два даа даВда АВм~ = А Вм — —— ж'дав ддВ дум даа д а д а д в д-а ща Сл"-= ..',в=,— в — и — '— ва' дд дд З~ дз' элвмвнты онщии твогин тинэогоз Гл. 1Ч а зто последнее равенство, по определению, выражает, что Сэ'э есть тензор три раза ковариаитнмй, два раза ковтравариангный, Полученный теввор н называется произведением двух данных тензоров.
В случае афиннмх ортогональных тензоров, иа формул (18) и (19) $ 22 следует, что диады аЬ и Ьа, составляющие которых получаются перемножением составляюпгнх двух векторов а в Ь, могут быть рассматриваемм иаи произведении векторов а н Ь в тольио что указанном смысле. 3. Рассмотрим теперь так называемую операцвю с о и р а щ е н и я и н д е и с о.в, Пусть мы имеем какой-либо тензор, в состав которого входит, по крайней мерв, один яовариавтный индекс в, по крайней мере, один вовтраварвавтнмй. Для определенности предположим, что речь идет о тевзоре А;сс.
Зтот тевзор имеет вэ составлюощнх. Обратим в этом тенэоре внимание на один иа иоварвавтных значков, например, () и на вонтраварнаатнмй 1. Соотавим теперь выражение А,а (т. е. примем у а и произведем затем суммирование по 3 в пределах от 3 = 1 до 3 = и). В реаультате мм получим я чисел и Аэ Докажем, что зги в чисел образуют тенэор верного ранга. В самом деле, так иак А,'а есть тенэор, то формулы преобразования имеют вид с дее дед аэ Ам Ааэ=т = де аег дат Положим в атой формуле 1 = а и просуммируем ио аначку й в пределах от й = 1 до Й = л, тогда получим Ь е аэ аза два Ась = А'э=, = ае аР азт Но по формуле (36) предыдущего параграфа д.д Иж а — — = бт Ы" де с Следовательно, Я„,= А"„,=,ба а ч д» ае' Заметим теперь, что по формуле (3) Вс = Ааь (б) С другой стороны, польауясь для яоности энаиом суммы, будем иметь А» — '*- ба =Е Х Х '* А:Ф сэ-сс с Проиаведем сначала суммирование по т; так ваи ба = О, если у+3, то ясно, что при суммировании по у останется только тот член твнеОРная ваэгвВРз 1 за который состзетотвует аваченню бз ' 1, то 1т т дз' э дд 7 = Э, итак как при 7 = б мы имеем = ~ ~ =«-А~э а (б) Но по определенвю (3) ~~~~ А",з = Вв в э Поэтому из (4), (Б) и (6) легко получим, что дз" Вэ= В,„— дз (7) Нс (7) есть иап раз формула преобразования состаелявэцих ковариаптпого вектора, следовательно, В„есть козариавтный вектор, что и требовалось докааать.
Итак, ва всякого смешанного тенаора можно путем сокращения одного коварвантного индекса и одного контразариантного индекса получать новый тензор, ранг которого на дзе единицы яшке ранга исходного тензора. Этот новый тевзор мм будем называть т е н з о р о м, с о к р а- щенным иа данного по таким-то индексам. Так, например, имея тенэор четвертого ранга А,з, мы можем обрааств вать иэ него четыре сокращенных теваора второго ранга, а именно Е" А~еэ Ст Ат Так как в реэуяьтате получились опять смешанные тевзоры, то операцию сокрашения вндексое можно повторить; в результате подучмм два тенаора нулевого ранга, т.
е. деа инеарвавта Пршюдем првмер ва сокращанне индексов ва теории афинных ортого. наивных тенэороз. Заметим только предварктельно, что в случае афинных ортогональвых тенаороэ нет никакой разницы между ковтравариавтными и ковариантнымн значками, поэтому в олучае афиннмх ортогональ. ных тензоров мы можем сокращать по вюбым двум индексам. Рассмотрим шперь афинпый ортоговакьный тензор рм з пространстве трех намерений. Сокращая его по индексам 4 к 1, мы довжны получить инвариавт рп + рвв + раа в действительно, з $27 мы видели, что эта сумма является одним иэ инзариактов тенэора. 4.
Комбинируя операцию произведения двух тевзорое с операцией сокращения вндексое, мы получаем новую весьма важную операцию, которая содержит з себе, как частный случай, зсю теорию скавярного умноженвв тензора на вектор в теиэора на тенэор, наложенную нами в $24 в $25. Мы рассмотрдм эту операцию на ряде частных примеров. влимхнты овжвв твогии твнэогов Гл. 1т 360 1».
Воаьмем контравариантвый вектор А" н коваркаитиый Ве. Пере множая их, мы получим тенэор А'Вэ, а сокращая этот тенаор по индексам а и 3, получим внвариавт А В„который можно, очевидно, назвать скалярным проиэведением векторов А и Ве. В случае афинных ортоговальных векторов а и Ь мы получаем, очевидно, операцию скалярного проиээедеиия этих векторов а. Ь = а»Ь~ + а»Ь» + а»Ь». 2». Воэьмем ковариантный тевэор А е и контравариактный вектор В". Перемножая их, мы получим тевэор А еВ"; а сокращая тевэор по видекоам а и 7, получим вектор Се А„еВ', сокращая же предыдущий тенэор ио индексам 3 п 7, получим вектор В, = А»од . В случае афинных ортогональвых тенэоров, соглаоно формулам (4) и (9) $24, вектор р»а являетсн скалярным произведением тевэора р,е на вектор а„слева, вектор же р,ае явлвется скалпрным проивведепием тенаора р, на вектор а справа. 3'.
Вовьмем коварнаптный тенэор А,е и коптраварнактнмй тепэор В'е. Перемножая вх, получим тенэор А,еВ"в; сокращая его по икдексам 3 в 7, получим тевэор второго ранга Св = А,вВ"ь. Сокращая полученный тенаор це раэ по и лексам а и Ь, полу инвариант А.,ВВ . Обе этн операции мы уже имели в случае афинных ортогональпых тенэоров. В самом деле, оогласно формулам (5) $25 тенэор ры аыЬы является скалярным проиээедевпеи тепзоров ам и Ьм.
В формуле же ()9) 3 27 нами было определено биокалярнсе правоведение двух тенэоров ам и Ьы., при новых сбоэначениях выражение длп этого проиаведения следовало бы эакисать так: а»Д», вли, что то же. авеЬв,. Мы видам, таким обраеом, как раэввтая в этом параграфе общая теория тевэоров объединяет в одно целое различные понятия теории афинпых ортогональяых тенэоров. 5. Рассмотрим какой-либо тенэор, например А~~в. В соответствие канщому коварнавтпому эначку этого теиеора, приведем проиэвольпый контравариаптвый вектор, в данном случае а", в соответствие значку а, и и', в соответствии эначку 3; в соответствие же каждому коптраэариапгному значку этого тевэора приведем пропэвольпый коварпавтвый вектор, э данном случае вектор и,.
Составим теперь проиэведевие А,"~п»мчо„, получим тевэор юестого порядка, сократим теперь.его по индексам а п Х, 3 и р, 7 и т, ьогда мы получим инвариант (8) Эта теорема может быть обращена. Другими словамн, справедлива следующая теорема: Вела »вы дел каждой састоны координат к', л»,..., э" илеса совокэнность и' вавакин А,"в» а если нри тобан выборе трек векторов а, Ф, ю„ выражение (8) лвелетсл инвараантан, то величаю» А~в леееютсл сос»наеелюа)паа оюнвора два рави коеариантноео, рае конт равараантного. Докааательство весьма просто. Нам нужно проверить, выполняются ли формулы креобраэованна (31) $30. твнзогнья глгввгг Но в силу произвольности векторов и, за, 1е„мы можне взять их так„ чтобы в новой системе координат хг,..., и» они имени значения й = б", вд Ьз, и, = Ь,' Тогда з новой системе координат значение формы ) будет равно / = А)ь В старой же системе координат значения векторов могут быть апре.
деяеим по формулам (21) и (24) предыдущего параграфа, в которых толькс нужно поменять роки новых и старых координат. дх -г дх дх дх дх дх де, дьд, дя — р' = — Ьг = = дУ = дх дхг дх~ ~ дх дх „— - 6> — —— "дхх "дх» д» и» = Следовательно, дх» д д д ' 1= А".а=у=в д д г дхг и так как по условию выражение (8) является инвариаитом, т. е, ) = ), то д. д*г Ы = А)г=с = дх дг» дх' Полученная формула преобразования докааывает, что А,'г есть тензор: Доказанная теорема высказана нами не в самой общей форме, Но со. верщепно ясно, как нужно формулировать и применять теоремы, аналогичные только что доказанной.
Ввиду важности этой теоремы, мы присвоим ей особое наименование»теоремы деления текзоровь. Более того, выоказанную теорему можно еще обобщать. Так, напри:. мер, если для каждой системы координат мы иыеем совокупность и* величин А,",г и если для яюбого тенвора й'г выражение Аж~В'з явхяетсз коптраварианткъгм вектором, что величины Ах,г являются составляющими теязора два раза ковариантного, раз коатраварнактиого.
Всю совокупность теорем такого типа условимоя называть обобщенной теоремой деления теизоров. Частным случаем втой последней теоремы является такая: ес.ги для .побега гектара ад ееличакм р,заз сугяь састаеелгкиие ксеарианткога гекхюра, хю р г суть сасжаегямщие каеариакткаеа теягара. Для случая. афиниых ортогональиых тензоров зта теорема была доказана немн вп. 2, $24 (формулы (14)). Мы видели там, что зта теорема яелястая весьма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
