1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 64
Текст из файла (страница 64)
е, дя' де» дэз и» ат Ът дзь О(з», зз, е') В( '.з,зч' э ИУ даз дзз дж ит (56) Составляющие вектора А, преобравуются крн этом по формулам Поэтому преобразованное эвачевне определителя Р', по той же формуле перемножения определителей, окажется равным дж» А„= э а В з Эвв дзз С— дж дзз А а а Вз — „, Аа аз" а эьз Эзз В,= ' Ж' (57) де Наконец, применяя то же правило керемножеввя определителей к определвталвм Р в (г', пэ (54), получим А'Вз А'С, в' С'В, С'С, А'А, В Аз СзАз 5.
Покажем теперь, как следует определять э рпмановом пространстве вепторвое произведение. Прв атом мы рассмотрим для простоты тояько случай пространства трех намерений. Возьмем трп провавольвых вектора А', В', С' н обраауем ва вх коптраварвавтпых н коварнавтных составляюшнх два определителя А» Аз А" А1 Аз Аз У В' Вз Вз, Р' Вз Вз Вз (54) С' С' С' Сз Сз Сз алименты овшии твозии тинзовов г. ~т 374 Отсюда видно, что выражение Л" является ииваряаптом. так что (58) Сравнивая вто выражение с (57), видам, что должно быть тождественно Рб =Р (59) что, впрочем, может быть доказано в непосредственно.
Наконец, из формулы (55) следует, что принимая еще раз во внимание (55), заключаем, что Г Теперь, в силу (57) и (59) выводим (1 з1 Отсюда вытекает важная формула преобразования фундаментального определителя к = Ф' (60) Так как определитель преобрааованни 0 всегда считается отличным от нуля, то из предыдущей формулы вытекает, между прочим, что значение фундаментального определителя будет отличным от нуля во всех системах координат, если его имеет место дли какой-нибудь одной системы координат.
Мы будем считать у н УЯ в некоторой фиксированной системе координат л', кз, л" положительными, тогда ив (60) получим РЯ-(7~ у, (61) причем мы условимся 3Я приписывать тот знак, который имеет определитель преобразования )7. Из формул (57) в (59) следует теперь. что (62) т. е. величины ю уз являются инвериантами. Эти величины равны друг другу з силу (55). Приладим стив анвариантам другую форму, для чего аведем в рассмотрение систему чисел Ьм„зависюцих ст трех значков И я, 1 и заданных следующим образом: бме = даи бмз 1 Йзз = бмв бам = — 1 (63) бес = 0 зо есез ирочка случаях Фгндамвптьльныв твнэог Зть Легко видеть, что при танах обозначениях определитель т может быть зависая следующвм образом: тт = АтВзСз + АзВзС' + АзВзСз — АтВзСз — АзВ'С' — АзВ'С' = АаВзСт в точно так же $"' = б.з.„А„ВзСт Итак, выраженвл (64) (65) ртКУ = )т'КбазтА ВзСт — У' = — базтАаВзСт 1 г'в г'в прв любом выборе векторов А, В», С являются внварнавтамн.
Но тогда вз теоремы деленна тевзоров п. 5 $31 вытекает, что величины т'Кб з являются состзвлязощимн коварвавтвого тенэора третьего ранга, который мы обоввачвм через е,з„, а величавы 1 = байт Уг являются составляющвмв контраварнавтвого тевзора третьего ранга, который мы обозначим через з"зт. Итак 1 еазт = Р К баз еаза = = базт т (66) Кн Км Км 1 3 з зтК ЖззКт1 = — б зтК ~КзаКт~ = = Кзт Кы Км К ~ Кз1 Кз~ 1 = — Кбщ = УКбзм =з1м Ув Теперь формулы (64) в (65) могут быть записаны следующим обрааом: г'Кт'= =4т' = е„з А"ВзСт = е'з"А ВзС, = рг- Пусть теперь нам даны два вектора А и В».
Из предыдущей формулы ясно, что мы мон1ем определять формуламв з = е„з„А Вз, ит = еаз'А„Вз коварнантные в контраварвантвые компоненты веиоторого вектора, который естественно назвать в е и т о р н ы м и р о в з в е д е к н е и Оба тензора обозначены одной буквой, вбо нэ равенства ныраженкй (64) н (65) очевидно, что онв являются сопряженнымв друг другу (однн может быть получен вэ другого пониженном влн повышенном вндексов). Можно дать и непосредственное доказательство этому факту: влвмкнты оэшки твогии твнэогов ис Га. 1Ч д а в я ы х в е к т о р о в, так как в случае эвклидова пространства ов просто совпадает с атим векторным проиаведением.
В самом деле, з случае эвклидова пространотва мы можем взять прямолвяейные прямоугольные оск координат, при атом окажется у 1, и формулы (68) примут обычный вид вз = АзВз — АзВз и т.д. Конечно, фориулы (68) можно писать в различных формах, так, например, можно написать, что и, Г~~'А,Вз = Ус,з«зз А Вз (69) = =(Уп(А,Вз — АзВз) .+ бзз(АзВз — АзВз) .(- йм(А,Вз — АзВз)) 1 з~г $88. Двффюревцвпльиые ураввеншз геодсзвческих ливвй. Символы Кристоффеля н кх свойства аА, ЫА» — з- Ахз аз Но величины А~ являются составляющими козариавтного вектора и следовательно, при переходе к вовой системс координат х',..., з" мы будем иметь — Эзз А1= 1а -з аз (2) 1.
Теперь мы переходам в область теязоркого анализа. Нашей основной задачей будет являться установление понятия производной тевзора. При этом мы должны, согласно общей идее тенаорвого исчвслеввя, дать такое определение производной тензора, которое имело бы тевэорвый характер. В етом параграфе мы не будем еще заниматься атим вопросом, так как вам яеобходимо предварительно провести ряд вспомогательных для нашей главной цели расоуждеквй; во мы хотим уже сейчас выяснять, в чем состоит встречающееся затруднение, которое нам предстоит преодолеть. Когда мы имеем дело со скаляряой функцией точки ~р в рассматриваем дифференцвал этой функции Ир, соответствуюпвзв переходу пз точки М в бесконечно близкую точку М', то ясно, что йр является иввариантом по отношению к преобразованиям координат. Допустим теперь, что мы рассматриваем поле козариантвого вектора А,, так что А, являются функциямн точки. На первый взгляд, казалось бы, что эа дифференциал вектора следует взять вектор, имеющий ковариантвыми составляюшизш ААо Но вся трудность заключается в том, что величиям ИА, не могут являться ковариалтяыми составляющими, так как ови не преобразуются по формулам для ковариантных векторов.
В самом деле, мм имеем по правилу составления полного дифференциала 3 33 диеевгвипкальныв уг*внкния гводвзнчвсиих линиИ 377 Составим теперь дифференциал д»» д»» 3»»» ИА» = =; г(А» + А»А =г = — ч- АА» + А„—, Аг» 3» д» д» д»'даа Если бы величины АА» были составляющими коварнантного векторе, то формулы преобразования имели бы вид е»" ААу =г' АА» вй Это будет в том случае, если 3»» =о при всех значках е, (, й, т. е. если з» являются л и н е й н ы м н функциями от я'. В случае афиввых ортогональных тенеоров мы ювеем яак раа таков случай, вот почему мы не встретили там того затруднения, которое получается теперь. Итак, в общем теиаорвом исчислении, в силу отличия от нуля величины яА„не носят тенаориого характера.
Совершенно естествевио возникает вопрос, как подправить ати величины с тем, чтобы вновь вернуть вм теизориый характер. Решение втого вопроса, правда не в самой общей форме, будет дано в следующем параграфе. Для решения указанного вопроса нам понадобятся, в качестве вспомогательного орудия, д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в не н и я г е одевических линий в рассматриваемом нами рвмавовом пространстве Л„.
2. Дадим сначала определение геодезической линни в пространстве Л„. Рассмотрим какую-нибудь линию Ь в этом пространстве, уравнениями .которой в параметрическом виде пусть служат *' = ' (г), ' ' (г), ..., » = а » (г) (4) Возьмем на этой линии две точки Ме и М~ н пусть значения параметра г, соответствующие этша точкам, будут г» в сь Вычислим длину ( отрезка кривой Ь между точками М» и Мь Принимая во внимание, что г(е» определяется основной формой (б) и обозначая производные по параметру с для краткости точкой, будем иметь, что Аг = )'фага»АГ (б) н, следовательно, (7) гз.
ж злвмакты овщвн ткогки твнзогоз Ливия, длина отрезка которой, расположенного между двумя прояазольвыми достаточно близ кими ее точками, мевыве длины любой другой соседней кривой, соединяющей те же точки, называется г е о д е а нч е с к о й. Установки ураавевме, которому должны удовлетворять геодезические лишаь Пусть Г.э есть геодезическая аввая; удобнее всего за параметр э взять дугу з линии Ез, отсчитанную от точки Мз, н пусть значение з для точки Мэ будет разно (з, Координаты точек крпзой 1 будут функпиями от з: *,' (з) (а - О .... ») (8) Возьмем теперь пропззоаьвые» функппй от э, которые мы обоэначмм через $ (з), и подчиним лишь тому условию, чтобы нрн з = О и з (е все эти функции обращзлпсь з нуль: й" (О) = $ (( ) - О (.
= О ..., .) (О) Рассмотрим теперь семейство кривых йю координаты которых являются следуэицими функциями от ю я (з) + з(» (з) 1 1, ..., »> (10) где е есть малый параметр, могущий принимать как положительные, тап и отрицательные значения. Обозвачам, наконец, через Ф (я, ) функцию я» яз аз~ Ыз" Ф(я, ) уаэ —— причем заметим, что нз равенства ($) следует соотношение Ф( — )=а — — =1 Имц' к»з' ы~ю Ош — жгв— Прщппаая з (7) за параметр э дугу з кривой Ьз, будем иметь для длины отрезка кривой Ь„лежащего между точками Мэ я Мз, выражение ( (з) = ~ ~/ Ф (я» -(- зэ, ~~ + з — „~) Ыг о Так как при з = О мы получаем длнну (з дуги кривой Ее, мевыпую по условию, чем длина 1 (е) дуг соседних кривых Ь„то ) (з), рассматряааемая как фувкцвя от е, должна при з = О иметь минпмум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
