1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Но иазестпо, что необходимым условием минимума фувкцвм является обращение з пуль пропэзодвой этой фуняцвн в той точке, где достигается минимум. Итак, должно бмть Функцюпо (13) можно дифференцировать под знаком интеграла, причем подмвтегральную функцию надо дифференцировать, как сложную функ- 1 зх диеевгввпизльныв ггзлпвния гводвзичвских линии зтз нню от е.
В результате дифференцирования в подстановки после этого значения з = О получаем — г$ (э) + —, — йз гк (зВ Г 1 г дФ, дФ 4$'~ —, 14 (э) оз + ~ —, — оэ = О э дФ дФ сй Эеэ ~,'ж э эж Второй интеграл левой части можно пронвтегрировать во частвм: ь ~ —, гЦ' = ~ —,$'~ — ~ $' — ~ — х) Нэ = зэ ж е а эг ь ~ », 4 ~ ЗФ ),~э так как проивтегрирозаввая часть обращается в нуль з силу условий (9).
Уравнение (16) принимает теперь такой вгд: ~$'~ —,— —, ~ —,)~сЬ О (16) Но функции $' могут быть выбраны совершенно произвольно врв соблюдения лишь условвй (9), поэтому необходимо, чтобы па кривой Б выполнялось я равенств 'Ф вЂ” „' ~ 'Ф ) = О (17) (мы отбрасываем взлншпвй теперь значок О); в самом деле, если бы этн равенстве ие вмелп места, то мы ваялн бы за функции З' функции, имеющие тот же знак, что н кх сомножвтелп: тогда получилось бы иэ (16), что интеграл от положительной фувянии равен нулю, чего не может быть. 3.
Изменяя данное выше определение геодезической лавин, мы вааояем теперь геодеаяческими ливиями все те ливии, которые удовлетворяют уравнениям (17). В силу (12) в (14) приходим к такому условию (конечно, по ( надо суммировать з пределах от 1 до я): алвмввты овшвв твоеии тввзогов ге. 1т Воспользовавшясь теперь выражеввем (11) для фувкцвв Ф, раскроем яевую часть ураввеввя (17). Прежде всего мы вмеем аю»с," — 1- = 2уй— ае Ф» д— 4» ( ь'ьэ двойка появляется потому, что е равевстве (11) наряду с а»» —— а» а» ий» ь') мы имеем еше член ям — — ~ и, следовательво, ~й а» а аю ае»» аае ст» =2у»» яа + -а» а» (18) а— »й провзводвую по а от фувкцви б»» (с», ..., с") надо брать, иаи яронзводвую от слежкой функция. Прв этом нам удобно вести вычвслеаве следуюшвм образов; ь ааь .ьэ ь' а» ' а» а»е й 3» в точно так же ь ь ы» ~Б ае» ь Ф Складывая обе выражения в подставляя з (18), найдем, что а мо а " (» аа» еав 1,ь« „.э й а " а» ~ а э ае ) а» й — 2лм — + — +— а— а» Наконец, записав формулу (11) в виде а а а»э д" легко получим, что вв аа.
а» а» (20) В салу (19) и (»»)) уравнения (17) првпвмают авд 1 (' аа аа аа ) а*' а,а м + ~ + ) 9 ,й х( а,е аеа а, ) а» (21) Полученяые двффереццвальпые уравнения геодезических линий мы аапвшем е другом виде, введя особые символы — так ваэызаемые п р ямые скобка Кристоффеля влв символы Кристоффеля первого рода: $ ( аг,» аз»э аа,ф )»мп — — + — — — т-( )ь»а Гав ~ ( ~) (ей,П (22) х ~ э а» мы уже увазалв несколько обозвачевий атих свмволов, которыми поль. ауются равные авторы.
1 ха диФФЕРВнпиальвые уРАВнения геодВэических линий эа1 При новых обоаначевиях уравнения (21) аапишутся так: авав ааа ааа у,„— + гс„— — -о жв ' кв ав Умножая их на йн л вспоминая, что л л Р» Кве бсвб = бв~ бв лвв лвв мы можем придать ураввеввям (23) еще такую форму: ввв Ка —,„+у г...,, -о Введем поэтому еще волнистые скобки Кристоффеля .ияи символы Кристоффеля второго рода, определив их формуламн бала = Г~ (ава) (Яб, Х) (24) тогда окончательно уравнения геодеэических ливий напишутся так: ая л а а — +Гж — — =О р,=1,Е,..., > (25) ав ав В этих уравненивх Г,"» аредставляют собой совокупность я' фувкцвй от координат е', ЕВ,..., х", определенных формулами (22) в (24).
4. Рассмотрвм теперь свойства символов Кристсффалв. Отматим прежде всего, что символы Кристоффеля не я в л я ю т с я те вэ о р ам и. Это видно хотя бы иэ того, что в случае эвклидова пространства, если мы возьмем прямолинейные коордвнаты, то геодеэические ливии — в данном случае прямые лвнви — выразятся авнейвыми уравнениами вида хв = а„в + Ь„ (2б) где ав в Ь| — постоянные; поэтому окажется авва — О Евв и кэ уравнений (23) видно, чхо в атом случае Г~д = О. Волн же ваять, скажем.
сферические координаты, то прямые линии уже не могут быть выражены уравнениями вида (26) и, следовательно, Г,е не могут все х сраэу обратиться а нуль. Мекщу тем составляющие любого тевяора, в силу линеяностн формул преобразования, должны обладать тем свойством, что если онн есе сраау равны нулю а одной системе координат, то оии должны равняться нулю в любой другой системе координат, Так как Г,а не удовлетворяют этому условяю, то ови не являются составляющими л тенэора. Заметим далее, что наряду с формулами (24) Г",= бвьГП„ (27) мы внаем вэаюаиые им формулы ввв Г», «в = бв*Гаа (28) г ш влвмвнты овшвп твогни твнаогов докааательство которых почти очевидно: 4 В„„Г„= В„жбмГь щ- В„Г, = Г„., Далее необходимо отметить свойство симметрии, выражающееся формулами Гьш (ьа ~ ( а= Г9а (29) непосредственно вытекающими ва (22) и (27).
Нетрудно далее выразить проиаводвма от составлявпцпх фундаментального теввора через символы Кристсффаля парвого рода; а вмеппо лагко простым вычвсвением проверить справедливость следующих формул: дв а —,=Г„,ш+Г,.ж Наконец, легко вправить чарва символы Кристоффеля —, где В— ав г фундаментальный опредвлвтель. В самом деле, дифферакцируя определитель (3) $32 по в по правилам дифференцирования определиталей (спврва необходимо продиффереицвровать первую строку, оставляя остальные веиамевиммв, ватам только вторую строку в т. д., все полученные опрсделвтелп нужно затеи сложить), мы получим гдв Сц, — алгебраическое дополнение элемента бы, равноа но формула (5) $ 32 величине Вбм.
Итак =и а авп Вс дас Приманим теперь формулу (30): , = ВВ (Гььа+ Гьм) ВГж+ ВГы = 2вГм ав Полученную формулу аапипжм следующим абрахом: 1 в!вв 1 дув Г, х в у" ва (31) б. Выше было отмечано, что символы Кристоффеля ва явлвются тснаорами; интересно в свявв с етвм выяснить, по каким формулам совер|пается преобравование символов Кристоффелв при переходе от одной системы координат к другой.
Зтв формулы праобразовапий очень лагко получить, если исходить кз уравнений (25) геодавических ливий. В самом дала, гводеэические ливии, по самому их опрсделапшо — быть кратчайшими срсдв прочих виапй, соединяющих два достаточно бливкие точки геодсзвческой ликии в мало отличающихся от атой линии,— на могут аавпсать от системы координат. Постону, преобраеовываа уравнения (25) к новой системе координат я»,..., я", мы должны получить те же уравнения (25), но только написанные в новых координатах.
Прежде всего, находам Ле~ Ые~ Ле и» а~ л» лъ»,ъ' с,» ~Ф,» (о»~ Далее по правилу вычисления производной от савиной функции ~~») л »,У л» (. »ът! ю»ъ» Итак ла а» л» Подставляя все ати выражения в уравнение (25), найдем ъ» ъ" ~ з*' л ъа»)Ыай» = — + ~(=+ = = г=) — — '- о (ъ" «»' ( аъъ" ее' ал» l ю и» С другой стороны, уравнения геодезических линий в новых координатах имеют вид ъ л㻠— +» з» Умножая их на = и сравнивая полученные уравнения с предыдудз» щимк, придем к важной формуле ое» вЂ” о» е»е» е» " =г~,===уж+= ъ а ' йэ, (32) ое» иэ которой, путем умножения на и нринвмая еще во внимание а й' о" — б„ а*" а" легко получим формулы Эе' Ее оя а е» ам г„=г„; —.,— =+ ъ ее» е» оъаР е (33) показывающие, как преобразуются символы Кристоффеля второго рода при переходе от одних координат к другим.
Конечно, при переходе от координат я' к координатам ле получаются совершенно аналогичные формулы пресбрааования е»» „ч о-.» о;»» г =г —,' — + —— а» а»» е»» е»а еч (34) $ И лиеевгвкпиа»»ьныв угаввиняя Гвопвэичвских линни 383 злимвнты оэщин твогии тинэогоэ гз. рг Мы видны, что символы Крвстоффелв ие являютсв тензорзми, потому, что вообще говора, ~ь~ л»' д»» отличны от пула; но в начале этого параграфа мы видели, что по той же самой причине величина ЫА» ие является вевтором. В следующем параграфе мы покажем, как можно иглольаовать нетеваорный характер величин Г"э с тем, чтобы при их помощи скомпенсировать изтензорный характер величин ЫАг В результате мы получим возможность установить юэеюшее теизорный характер понятие тепэорной производной вектора или тензора, у 34.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
