1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 63
Текст из файла (страница 63)
'е) (20) р = у (*'. . ° *") Подставляя в формулу йг = ~ ~(у ' 1 (21) определяющую расстояние между двумя бесконечно блвапвмв точками в знклидовом пространстве, выражения (20) для функций у, мы и полу- чим формулу (19), в которой, как было показано в 5 30, козффипненты ум чмеют следующие значения: и;з (х',..., х") дт.
дя. .,а'а" Пра етом мы всюду будем писать знак суммиронанвя, еслв оно происходят а пределах от 1 до т. Нашей первой задачей будет изучение метрипи пространства В„, т. е. рассмотрение того какое значение имеет длина капоте-либо вектора в пространстве Л„и какао звачевве имеет угол между двумя векторами Занетим в ааключевие етого пункта, что мы можем рассматривать йм „ б'» п б"; как ковариавтвые, ковтравариавтвые и смешанные компоненты фундаментального таннера, ибо процесс повышения и понижения индексов применим и к этому тензору, например Фтипамкиталькыв ткпяоэ Аьа 3Р ям А'А" Отсюда вытекает, что за длину вектора А' следует привять выражение ( (А ) = )' б»А'А" Заменяя контравариантвые составлшояще вектора А' его ковариантиымв состаэляюшккп по формулам бмА = Ав А = бе А~ (25), получим еще деа выражения для длины вектора А'.
( (А') У АтА ( (А') ~/йЯА~А, (26) Заметим, что так как вектору Ая' отвечает в пространстве Ем вектор с составляю~цинк Вл Аув = Ал (»=1 ..., м) а' (27) то вектору А — Ая 1 1 4 1 будет соответствовать афпиный ортогаиальный вектор Е,„с составляющими а з пространстве зт, а„— А (е ц..,, м) эз (28) Чтобы определить значение угла между двумя векторамн А' и В' в пространстве Е„, рассмотрим предварительно вопрос о скалярном пр»- наведении атпх двух веаторов. в этом пространстве. Прп этом мы будем исходить вз вавестпой нам метрики нашего трехмерного эвклидова пространства, которая весьма легко обобщается иа случай эвклидова пространства и измерений.
Итак, возьмем каяой-либо ковтраваришчтпый вектор А'. Легко найти такой бесконечно малый вектор Ая', который имеет то же направление, что в вектор А', точвее говоря, вектор Ыза, составляющие которого прокорцпональиы составляющим вектора А~. Ах' = »А (23) Тав как прв переходе от одной координатной снстемы к другой составляющие векторов Ах' н А' преобразуются по одним п тем же формулам, то величина 1 при этом взкеиеиии координат остается ппэариавтной. Вектору Ая' отвечает в пространстве Е бесконечно малый вектор Ыу с составляющнми бу„, длкна которого равна Аа.
Естественно поэтому на д л н и у в е к т о р а Ая' п р и н я т ь выражение для г(а, определяемое формулой (19). Так как составлающпе вектора А' в ь раз кеныве составляющвх вектора Ах', то и длину вектора А' следует принять в д раз меньше, чем с(а. Но при выполнении условий (28) мы имеем, что злвмвпты оживи твогпи твивогов Вектору А' будет соответствоватьв пространстве Е вектор а с составляющими (23), точно так же вектору В' будет соответствовать вектор Ь с составляющими Ь,= — «В" (~=т,..., > (29) Составляя по обычному правилу скалярное произведевке двух векторов а в Ь, получим Таким образом, нод екаеярнык кроиеееденоел векторов А' к В» следует лонимата еледуккерье емраженпя, раеньм мелсду ездок е силу З1орзерк (уб): 1В А В" АВ =боАВ (31) Теперь не составит никакого труда найти угол между двумя веято- рами А и еь, понимая под зтим угол 6 между соответствующими зтим с векторам векторами а и Ь в пространстве Я . В самом деле, мы„очевидно, имеем аь созЭ =— еЬ ЗмАьве мльАЬ У ЗмВ~ВВ ЗыА,В„ ( ) 32 )Гу~А,Ае )/Е'ья, В„ )~~~л, Киев, Отметнм з частности условае ортогоиальиости двух векторов А' и В'.
бмА В" = А Ве = йыАеВь = О е ! (33) п что, следовательно, составляющие фундаментального тензора в атой системе будут иметь вид гм = б~" (35) В общем же ркмаповом трехмерном пространстве привести е(еь к форме (34) нельзя, п только, если включить зто пространство з эвклидово чрострзнство более высокого числа измерений, можно привести Аьь 4, Переходя к дальнейшим приложениям тензориой алгебры, мы в пенях простоты изложения допустим, что мы змеем дело с звклидозым трехмерным пространством, в котором введены произвольные криволинейные координаты зь, зз, лз. Рассуждення предыдущего пункта остаются з етом частном случае ь полкой силе; однако в данном случае их можно еще сильно упростить. Основным признаком евклидова пространства является то обстоятельство, что хотя в общих кривовивейных координатах выражение для Аьз имеет форму (19), существуют такие прямолинейные прямоугольные системы координат уь уь, уа, что Ыеь принимает форму Фтппамиптллъпь<и твкэог к форме (24).
Но в координатах у<, уэ, уэ мы превосходно внаем, чему равва длииа вектора, угол между двумя векторами в т. п. Это дает воэможность, как. мы сейчас увидим ва ряде примеров, сразу папясать аяалогпчвые выражения в общих криволивейяых координатах. Рассмотрим какой-либо вектор, и пусть А' его коитравариавтпые комяовевты, а А, — коваркаптяые. Тогда яэ обп<ей теории тенэоров мы внаем, что выражевие А'А, является ипварвавтом. Но в системе координат у<. уэ, уэ различие между коитравариавтиыми и коварваптпыми компопептамк пропадает; дпя ясности будем сбоэпачать в координатах у<, уэ, уэ составляющие вектора А червя а<, аэ, аэ, вектора В черев Ь<, Ьэ, Ь< и т. д.
Тогда ипварвапт А'А, будет иметь в коордпватах у<, уэ, уэ, эиачевие а<э + аэе + а<э, а это, как яввестяо, есть квадрат длины вектора. Итак, дкпвой вектора А' в любых крпволииейвмх координатах является ((А') = Р А.'А, = Ку„й'А"- г'я<еА,А„ (36) А В< = умА~В» йыА<В» (37) Совершеяио естественно, что для косвяуса угла между двумя векторами мы вновь получаем формулу (32). Поставим теперь себе ээдачу эмясвить эвачевяе коятравариантяых я ковариавткых составпяющих некоторого вектора. Пусть мы рассматриваем вектор а в точке М. Проведем черве эту точку, как мы это делали в $18, трп коордяиатвых поверхиости я< = секес, вэ = сопш, ээ = сопэс (38) которые пересекутся по трем координатным ливиям.
Направления касательных к этим линиям в егорову ваэрастаияя коордпват х', к<, х" обо. эиачвм черве ш, ээ, вэ,' ваправлепяя же нормалек к поверхпостям (38) в сторону воврастания коордипат х', ээ, э' сбоэпачим через ш, в<, пэ.
Найдем углы, образуемые этими шестью направлениями с осями прямолиневиых прямоугольных координат у<, уэ, уэ. Возьмем, папрпмер, иаправлеяке вб вдокь соответствующей координатной. ляпав мевяется топъко координата э', остальные же две коордииаты остаются беэ яэмеяеиия; бескоиечио малый вектор <й', идущвй по касателъиов к этой ляипи. имеет своими проекциями па оси коордпиат у<, уэ, уэ велвчяпы (эаметвм, что в вшкеследующих формулах пе иужио суммяровать по впачку <) «у< = —, Аэ, эу< эе' Ауэ = — "' с<я*, гуэ = — '" <(я< вяз дш дэ< де' Ээ е.
в. ко<ее Совершенно апалогячко можио составить скаляриое пропэведеиие двух векторов А' в В'. Иэ общей теорив теваоров мы внаем, что А'В, есть вяэариаят; в коордипатах у<, уэ, уэ его выражевие приводится к а<Ь< + а<Ьв + аэЬз, т. е. к скаляриому провэведепвю векторов А' я В<. Следоватекъво, скалярным проиэеедепием векторов А* и В' в любых крввояпиейиых коордпиатах является Фуккъпиитьлькыя твпзог моливейных прямоугольных коордвиат у1, уз, рм обозначим далее через а,.' и а ортогоналъные проекции вектора а соответственно на касательные к координатным линиям и на нормали к координатным поеерхнш стям (38); наконец, вводя, как в 4 18, трп единичных еентора ш, емш, направленных по касательным к координатным линиям (см.
фнг. 50) в, через е', ез, ез — три единичных вектора, направленных оо нормалям к координатным поверхностям (38) (в 4 18 зтв векторы били обозначеим чеРез е,"', езе, езе), обозначим чеРез А„Я А косоУголъкые составлЯвшие вектора а соответственно по направлениям е„з, з, и пь пм вз, иными словамв, ксзффицвеиты разложения вектора а по векторам е,, ез, е„в е',е", е": а = А„е~ + А„ег + А„ез в Аме' +.4 е'+А е" (45) (46) Переходим к вып1слеиию введенных нами величии. Прежде всего, согласно основной формуле об ортогональной проекции какого-либо вектора иа любое направление, мм имеем а = а сое(а;,у,)= — а дв Но з силу основных формул преобразования козариаитных векторов мы имеем А,=а,— ~ аз, и, следовательно, получаем окончательную формулу А, а ч=р —,. Г47) Таким образом, ковариаитные составляющие вектора А, только мчожителем рЯ„отличаются от ортогональвых проекций вектора а иа направления касателъвых к координатным лвпмнм.
Созершенко аналогично вычисляется 1 злая а = а;соз(п„у,) ==а, р'«% (48) Но в силу основных формул преабрааовавия коитраеарваитнмх еекторов мы имеем г д 1 А=а;— ду, и, следовательно, Таким образом, контравариаитные состазлюпшпе вектора А' толъко множителем г' уа отличаются от ортогональнмх проекций вектора а на направления нормалей к координатным поверхностям.
24' злкмннты озщнп таогпн ткнзогок Га. 1у Переходим теперь и вычислению А„и А .. Просматривая внимательно предыдущие выводы, мы легко заметим, что составляющими вектора е, по осям координат уг, рэ, ув явлнются величины СК1 сое (з;, уг) го се составляющими же вектора е~ взляютсв 1 Езг соз (по уг) рг — о дт, Постону, проектируя равенства (45) и (46) на оси координат ры ум ус, получим 1 дн1 г гезс Но з силу формул првобрааовакия коптравариаатных и коварпантных векторов мы имеем.
что должно быть ! с~6 сг — ~„А' — ' г (, дс 3 с' ; =;~„А,— д1/1 Сравнивая зги формулы с предыдущими, мы видим, что Ач = )' гс А' А„, = Р' бп А, (50) (5() а„а = Ач = А„ общую величину зтнх состааляющих обозначим через а„, и будем назы- вать зги величины у)иаичсслнкл сссщаелвои1пли вектора а. Так как з слу- чае ортогональкмх координат мы имеем, очевидно, соотношения (52) где Н, — коэффициенты Ламе (см.
$18), то связь между ковтравариаптнымп, ковариаптиыми и фнаическпми составляющими некоторого вектора принимает вид А =нею А-Н,а„с 1 (53) гг, м' Зги формулы дают нам еще одно истолкование кои гравариаитпых я коаариантных составляющих вектора. ()тметим вще раа, чтововсехформулах (47),(49),(50) и (51) по значку 1, хотя он и встречается три раза, никакого суммирования производить ие нужно. В случае ортогональиых криволинейных координат л', зз, х" направления з; и и; совпадают друг с другом, и постону екпдзмвнтальнып твпэог 1 32 '1'ак как ковтравариавтные н коваркавтные составлявшие какого- либо вектора свяааны соотношевпямв Аз д»А » то легко видеть в салу праввла перемножение определвталей. что б»»А ' бэ»А" Юз»А" р я„в» й„В йшВ йшС я„С я„С Кз» я»» ям А' Аз А" бм ям ям В' В' Вз яр (55) эзз йзз лзз С' Сз Сз Перейдем теперь к другой системе координат в», я», я' в обоапачпм через 0 определитель преобрааованвя, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
