1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Теиэориаи ироизяодпаи вектора и теизора 1. Задачей атого параграфа будет установление попятил произвоппцй от вектора я тенэорз. причем мы должны дать тапое определение производной, которое имело бы тенэорный характер. Допустим прежде всего, что мы имеем в римановом пространстве )»„ поле скалярной функдии »р, так что <у есть функдия от я координат х», х', ..., х". Тогда я величин А~у/дх' будут составляющими ковариаитного вектора, ибо прв преобразовании координат эти селичины преобразуются по формулам характерным для ковариавтных вектороз.
Этот вевтор является, очевидно, обобщением хорошо нам известного вектора йгаб»р обычного векторного анализа. 2. Теперь положим, что мы имеем ноле ковариавтного вектора Ао так что в каждой точке риманоза пространства иам задав сектор его ковариавтными составляющими. Возьмем две бесконечно близкие точки пространства: точку М с координатами х' и точку М' с коордияатзмк х' -)- Ых» и попробуем сравнить между собой векторы Ао соотсетствующие этим двум точкам. В обычном вевторном анализе мы поступали очень просто, а именно, мы откладывали оба сравниваемых вектора ст одной точки. В рпмановом пространстве ораву же встречается в этом пункте затрудненна.
В самом деле, какой вектор в точке М' мы должны считать равным вектору, которого составлвющие в точке М равны А»У Сказать, что это есть вектор, которого составляющие в точке М' равны тоже А„мы не можем, потому что тогда для равных систем коордияат мы получили бы в точке М' разные векторы. В самом деле, по определению ковариавтного вектора, его компоненты меняются при преобразовании координат следующим образом: 12) А;= А„=, де» 'твизогпья пгоизводиля вжхггогв и твнзогь причем веди вектор рассматривается к точке М, то и значение производных дх /дя' нужно брать в этой точке; если же вектор рассматривается в точке М', то значения производных, вообще говоря, изменятся.
А отсюда видно, что при переносе в точку М' значений величин А, в точке М мы ке полу шм вектора А, ибо формулы (2) будут справедливы для точки М и перестанут быть справедливыми для точки М'. Увязанное затруднение имеет место даже в случае эвклидова пространства, если только мм пользуемся криволинейными коорцкиатамк. Возьмем самый простой случай полярных координат г, б на звклидовой плоскости. Пусть точка движется по окружности радиуса Н с центром в зачала координат с постоянной угловой сяоростью м.
Вектор скорости будет имать в этом случае вовтравариавтиые составляющие поторые сохраняют постоянную величину, между тем как мы хорошо знаем, что вектор скорости в этом случае все еремп изменяется яо своему направлению. Если же взять вектор, сохравязяций постопивыми кан свою величину, так и направление. другими слонами, если совершать параллельяыд яерсясс вектора, то его составляющие в полярных координатах будут изменяться, причем не трудно составить формулы для вычисления этих составляющих в любом положении вектора. В рвмаповом пространстве дало обстоит гораздо сложнее и притом в силу двух обстоятельств, Во-первых, в атом случае мы прежде всего должкы обобщить самое понятие параллельного переноса вектора, причем мы проделаем зто обобщенна сначала аналитически, при помощи формул, и лиши в следующем параграфе укажем иа геометркческое истолкование понятия параллельного переноса вектора.
Во-вторых, в то время как в звклидовом пространстве можно совершать параллельяый перенос вектора из какой-либо точки пространства в любую другую точку пространства, оказывается, что в римановом пространстве можно говорить только о параллельном переносе вектора из точки М в другую точку Л вдоль какой-либо кривой Е., подобно тому, как в случае сил, не имеющих потенциала, работа их на перемещении иа точки М в точку Л/ должна вычисляться дли оиределеяного путя, соединяющего втн точки М и Д/.
Подобно тому, как в этом последнем случае работа силы зависит от пути, так и в случае риманоеа пространства при параллельном переносе какого-либо вектора из точкк М з точку /т' по различным путям получатся равлячиые значения вектора з точке л/. В связи с этим мы ограпичвмся научением параллельного переноса нз точки М в соседнюю точку М', подобно тому как в механике рассматривают элементарную работу, т. е.
работу силы на бесконечно малом перемещении. 3. Рассмотрим ковариаятвый вектор А, в рвманозом пространстке В„. Составляющие этого вектора получат при переходе из точки М с воор- зо к. В. Кшзз олвмвпты евший 'гвогви типсогов Гя Ю динатами х' в соседнюю точку М' с коордииатамв я' + ох~ приращения х арактерввуюгяиеся яс велвчивами дА,~дл». Одвако атв величины ие обравуют, каи мы сейчас покажем, текаора. В самом деле, величины А, при преобрасоваиии коордиват поменяются по формулам (2). Двфферсвцнруя ати равенства по я», мн получим ЕА, ал» ща ь» ЗЬ дЭ»Х д»Х д»» д»с Х -~ — - — Г~ — — — Г."с аи се' а» зГав" (4) Заменяя в последком члене формулы (3) скачок суммировавия а ка Х я внося в ати формулы выражение (4), подучим дА~ С»»-» сдА» л ~ д»»Е»С вЂ” — Ал $'г» ~ — — А»Г с~ —,— ав» з* '( с»с ~ и'еа" В силу формулы (2) имеем с" Ах — А, ав и, следовательно, предыдущее равеиство прикимаст вид ЕА, — — гак ,а» сс — - А„Г,„= ~ — - А,Г„с —— ев» " ' ~ аьа ~ щ'щ» (5) Но сто равенство показывает, что величина ал» ~7сА» — АК»с ас (б) является к о в а р в а н т и ы и т е в а о р о м в т о р о.г о р а Этот теиаор, который мы будем обоавачать символом ~таА», и вается ковариавтиой проивводвой коварвав го вектора.
и г а. невыт я о- причем мы при дифферевцировавпи А, по я» рассматривалк ее, как сложиую функцию от л" черве посредство х', х»,..., х". Мы видим, что величквы дА,/дя» ве имеют теваориого характера потому, что в правую часть д»»» формулы (3) воюли вторые проявводкые —, вообще говоря, отличные ал'ая» ' от куля. В случае афиявых ортогоиалькых теиворов х. являются линейд'»» иыми функциями от л', вторые ~роиэводвые — все обращаются сФс» в вуль и викаких ватрудвевий при построевви проивводвых от векторов и тевворов ие получается.
Но в конце предыдущего параграфа (формула (32)) мы выразила доставляющие кам затруднения вторые проивводвые черве скмволм Кри- отоффеля твнэоРнля пРснэнодыая ввлггоРА и твиэоР» ЗИ 4, Определим теперь коварвантную производную кавтравариантвого вектора А . Для этого мь1 введем в рассмотрение произвольный коварвавтный вектор В, в составвм выра- жение 9=А'В Будем теперь под ~7э~р понимать коваркавтный вектор — н потребудв ем, кроме того, чтобы коварпантное дифференцирование подчинялось правилу дифференцирования произведения ~7а (А "В,) В ~7аА» + А»~7эВ 'гак как при пронэвольном венторе В выражение В.~7эА- - (7э(А В„) — А л7эв. является ковариавтвым вектором, то в силу таоремы деления тевэоров п.
5. й Вт можем заключить, что ~7аА» будет смел»виним теваором. Для вмчислення его вспольэуем формулу (6) В„СтаА" = — -~- — А" ~ — — В Г,з)  — + А»В Г„ д(А ды,дн. л, дА» дА» дА» даэ Отсюда, з силу произвольности вектора В„легко заключим, что дл» А» ~ Ал)»„ да (8) Мы потребуем, как выше, выполнения правила дифференцирования произведения лул(А,~~и лдш„) = (9) а»эвш»~7»А»з. + А»э. Рэш» л1 ли» + А»з»и»ш»л7лээ + А'э а=ла~7лш 'лак как при произвольном выборе веаторов и", ээ, ш выражение я э э1»~7»АаР.
= ' 'У вЂ” С7л (АыГи" Уш„) А.';.Фш„~7лп — Аы"иш,С7»|Р— А„зти.э'~7лил, являя»ос коварвавтным вектором, то в силу теоремы деления тензоров $ 31 можем ааключить, что ~7лА„~' будет тензором четвертого ранга, трн раза ковариавткыи, раз контравариантвым. Для вычисления его используем формулу (9), з которую подставим вместо ~7лп», ~7ллд и (7»ш„ Полученная формула к дает выражение коварнантной производной контраварнантного вектора. Тем же самым приемом легко определим ковариаптную производную любого теизора. Воаьмем в качестве примера теваор третьего ранга А "з».
Возьмем три пронавольнык вектора а«, ла, ш» и составша инваркавт Ф = А;э я» гяш» ЗЛВМВИТЫ ОБЩЗН ТЕОРИИ ТВИЗОРОВ Гл. Гт кх выражения, получаемые по формулам (6) н (8). Принвмая ещв во внимание, что 'С7л(Ааз,в 'гю ) = л(Ааз и г и~т) Зал л после несложных алгебраических действий получим, что е и мт'7ЛА«а'.
= а В ЗА' '" = — аз'в гзм — А„з вгшги Глг А з'.и"мтРРГалг + Аа~ыи лгюгГ~ТЛ Переставляя в правой части этого равенства местамк индексы р и а во втором члене, р и 8 в третьем, р и у в четвертом и сокращая после этого На Ка Зав„,ЧТО МОжиО СДЕЛатЬ В СНЛУ ПРОИВВОЛЬНОСтк ВЕКТОРОВ и», Рз, Кл„ ' получим окончательную фориулу в7ЛА э. = аа' — Агз Гал Ааг"Гзал+ А сРГ„"л Таким образом, при составлении ковариактной производной тевзора из Обыкновенной производной нужно вычесть столько дополнительных членов, сколько теюор имеет нижних значков, и прибавать столько дополнительных членов, сколько теизор имеет верхних значков. Каждый дополнительный член представляет собою проваведение рассматриваемого тензора, в котором одни из аначков заменен перемекиыи значком суллмироваиия «ь на свмвол Кристоффеля второго рода, в котором значок дифференцирования стоит внюу, 5.
Ввиду важности понятия тенэорной производной мы приведем еще одюг вывод коварнаитиой проиаводиой ковариактного вектора Ал. Мы внаем, что бесконечно малый вектор л(хл является яонтравариавткым вектором, а величина Из является инварвантом. Поатому величины ЫИЧЛ(з образуют коктравариактный вектор. Проиаведеняе ~р Ал— будет поэтому инзарвантом.
Проведем через рассматриваемую точку М геодезическую линию в произвольном направлении и пусть Ахл означают диффереюлиалы координат прк скеЩении точки вдоль втой геоДЕЗИЧОСКой Линяи. Обозначая через йр дифференциал фуикцни ~р при смещения вдоль геодеакческой яииик, мы можем, очевидно, утверждать, что выражение л(луиз толке будет иивариаитом, ибо геодезические линии имеют абсолютное значение, иезависимое от специального выбора координат. Но В А,ДЕЛ алел ЗАЛ Вал Дал атал +Ал г= — а + Ал щ аг Ка Ыа Ззл аа аа згл твпзогпья пгоивводнья вкитогь и твпзога С другой стороны, на всякой геодевической ливии по уравнешпо (25) предыдущего параграфа ~Ы' а ы»а" а»« — — Г. —— е« а» Поэтому »» Ь»аэ» а» -»- ~ — ' — АхГв ) —— и д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
