1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 70
Текст из файла (страница 70)
е. полагая в выражение, которое ие отличаетсв Применяя формулы (15) и (16) к зтвх формулах д7 Ж = =~ ° а =алев ау а» найдем выражение для оператора Лапласа в любых криволинейных координатах г7) = 61 йгас7'=.= —,(Уууы — ) 1 дl <д/~ уда* '1 а (17) и в частности в ортогональвых координатах Переходя к криволинейным координатам зз, аз, ззи заменяя обыкновенные производные на тевзорвые, мы приходим к выраженвю 17,а' = ~7'ао котоуое имеет ивваРиавтвый хаРактеР к в слУчае кооРдвиат у~, уз, уз совпадает с выражением (11), ибо в декартовых координатах, очевидно, все символы Кристоффеля равны нулю и, следовательно, тензорное дифференцирование совпадает с обыкновенным. Итак, в любой системе координат мы имеем равенство элвминты овщви еловки твнзогсв 5.
Дадим теперь выражение для составляющих вихря вектора а. В декартовых координатах для этих составляющих мы имеем выражения вида да, д „ (гоь а) — ™м у (19) Однако, если мы, заменяя обыкновенные производные тенэорными, составим вырюкевия вида ~7~ее — ~7аа; то мы получим, очевидно, ковариавтный тенэор второго рента, при юм легко вычислить, что его составляющнмк являются да„ь да „да„да ~7~ее — г7ааа = — ~ — аьГ~а — — + аьР) а = —, —— да да ' да* д* (20) а"' ама = аеп — — (21) 1 Г'д В самом деле, образуем ковтравариаптный вектор гь = е'а" г7,аа (22) составляющими которого являются В декартовых координатах я 1 и этв выражения совпадают с выражениями (19), поэтому ясно, что в любмх криволинейных координатах эти формулы дают коитравариантиые составляющие вектора гоь а.
Ковариавтиые составляющие будут, по общему правнлу, вычисляться по формуле г; = умга (24) так что 1 ~уп (~ф — ~)'~ -(- д„ф — ф -(- у„ф — ф~ (25) Наконец, в фязическнх составляющих для случая ортогональных координат получим в силу формул (7) и (23): (д(Нам) д(Н аад'1 ,), - — у у (26) и две аналогнчиые формулы для двух остальных осей. Эти формулы совпадают с формуламн (34) 4 18. Нетрудно, однако, иэ этого тензора образовать вектор; для этого нужно только восиольэоваться коитравариаптиым тенеором е'э», введенньтм дами в п.
5 132. Все составляющие этого теиэора равны нулю, кроме пвкотогыв пгимвпвния 6. Рассмотрим теперь расхождение тенэора еторого ранга П. Обозначим составляющие этого тенаора з декартовых координатах уы уа, уэ череа р, „, физические составляющие этого тепзора в криволинейных ортогоналыаых координатах я', за, лз через рта и, наконец, ковтраваряавтпые составляющие его через Рм.
Тогда аналогично формулам (7) мы будем иметь соотношения р,„На На~ (27) йяа В самом деле, по общим формулам преобразованвя составляющих тенэора мы имеем, что ы да» деа рг ге ув в силу формул (44) 5 32 мы можем написать для случая ортогоиалькых координат и ян Рэееэсоэ(поу ) соэ(па, уд) где ва — направления нормалей к координатным поверхностям вли, что то же, направления касательных к координатным линвям. Но в силу формул (14) 4 22 р„„соэ (по у ) соз (ва, уэ) рла а тогда из предыдущей формулы вытечет первая из формул (27).
Вторая из этих формул получается простым переходом от коптравариаптных со. ставлшощих к козариавткым. В случае прямолинейных прямоугольных осей координат расхоакдепяе тэпзора П было определено в 4 29, формула (4), как вектор с составляющими ржиа дэ, В любых криволинейных координатах эа расхождение тенвора веоб ходимо, следовательно, взять вектор 4)а = гу,Р" (28) Общее выражение длв вовариавтной производной от тенэора ддм +Р ~'„,+Р~раа приводит к следующему зиаченюо для г)а О"- угри- д" +Р"'Гл', +Р'"Р„', де' и в силу формулы (Щ г~;Р =, += — +Р Рм и драа ад'" ду'Г ал а д ' У'д д ' алвмивгы Овщвн твотнв 'твнаотов Гл.
Пг илн окончательно ~аР"= — 'д(У~,™+Р Г,', Р'д даа (29) Если тенвср Рм автиаамметричный, то при суммировании по а и Х последний член, очевидно, пропадает и остается т~»Р ы а д (1/д Рв) Уд Ва' Если теваор Р симметричный, то удобнее воспольаоаатьси смешанаыми комповевтамн Р» (в атом случае Р," = Ра;, так что точек можно не ставить). Так как дд»а а а а 7Р, - — — "„Гп+ Р,Г то в силу формулы (14) а дда а а -а а ада 1 д(уд) 'а~»Р» = — + Раг໠— а'аа~ = — а-)- — — т- Р» — Р Г„в дьа д" Уд д д (У'д РВ) гд д" Но в силу симметричности теваора Р~ и в силу формулы (29) д 22 мы имена Р"'Роа»- ' (Р"~'я„,+ Р"Ров) = — 'Р" (Ром+ Р»,,) = ~»Р" — 'У- В результате получаем окончательную формулу для расхождения симметрвчвого тенаора д (а др»а) \»г ада„ 'га»Ра = = Уд даа а да р (Р— д-) + б!ч П = 0 (32) где т — аектов скорости частащы средм, а П вЂ” теваор ив»ряженый. Заметим, что в случае произвольного тендера Ра" необходимо рааличать междУ собою Я»Р' к а;~»Р, пРедставлающне собою Различные век- М аа торы.
7. Рассмотрим еще два примера преобрааоваяия векторных выражений к любым криволинейным координатам. В качестве первого примера произведем преобразование основных уравнений пщромеханвки вязкой несжимаемой жидкости плотности р, находюцейся под действием силы Р (Р дает силу, действующую на единицу массы). Основное уравнение механики сплоапной среды, выведенное в $29, имеет вид нвкотогыя пгимвивяия Последний имеет в декартовых коордмнатах уз, уа, ре следующие составляющие: ам Где дае Х р„,ы= — р+29 ~'+ Хб)тт, ре,.„= р~.2~Ч+~) (33) где Х и р — коеффвцневты вязкости, причем обычно принимают, что Х = — ~ р.
Не останавливаясь на выводе формул (33), заметим только что, полагая Х и р равными нулю, мы получим, что П = — ру и в силу формулы (6) $29 уравнение (32) приведется и уравнению движения идеальной жидкости р~р — Д вЂ” йгабр =О (34) так что р есть гидродииамическое давление. Члены же тевеора П, содержащая Х я р, построены совершенно так же, как составляющие тензора упругих напряжений (см. формулу (29) $29), с той лшпь разющей, что вместо составляющих вектора смещения в формулы (33) входят со ставляющне вектора скорости, ибо в вяекой жидкости напряжения определяются скоростями деформаций, в то время как в упругом теле ови определяются самани де ф о р м аци я м я. Так как жидкость предполагается весжямаемой, то уравнение перазрывпости имеет вид а =о (35) Возьмем теперь любые кряволввейные координатм яг, ле, яе.
Тогда коптравариавтвыми составляющими вектора скорости будут служить величиям ж (36) Что касается вектора ускорения м = —, имеющего в декартовых ст й ' координатах проекция ем а, мм = ас + ете дв, то очеввдно, что его ковтраваряавтвыми составляющими являются а' ас +" ~»е (37) Далее, ковариантные составляющие вектора г обозначим череа Р„.
Для тевзора П из (33), е силу (35), удобнее всего получить смешаиныс составляющие Р, = — М + )ь ((7ье'+ ~7'еь) (33) Для расхождеиия же етого тевзора будем вметь в ковариавтвых составляюпщх г7~Р = — '7ар + р ~» (17ге' + ~7'се) (39) аламанты овщви тяотии тивзогов Га. »г В ревультате, уравнения (32), написанные в коаарвантвых состаалюоших, будут иметь вид Р ~ е", +-е'г7.4~ Р)㻠— — ~+ Р~7,(~7»а~+ С7»г») (40) В приложениях приходится иметь дело чаще всего с крвволинейнымв ортогональпымн иоордиватами и првтом с физвческими составлиошнми.
Преобраауем уравнения (40) для етого частного случая. Фвакческие составляющие вектора скорости обозначим черве и„» веч ею, вектора силы черве Р„; Р„г, Р„.; физические составляющие тввзора р (~7»г' + С7'е») обоаиачам черо» тв. Если коэффициенты Лама абоаначить через Нм На, Н», то и е„» = Н~~', тм = р — (~7»г'+ '7'а») (41) Н» По формулам аа„ахи ) Г, --,~ ~— + — — — ), Г„-а Гсм с* "!' легко далее вычислить для случая криволинейных ортогональнмх координат символы Кристоффеля: Нао», и» ан» Г" 0, .( )»+ь; Г» —, Г - — — —, Ч'-а (»2> аем и,» з*' ' Составим теперь тевзорвую проиаводную '(7»е' — + о Г»» д»»! де» В силу формул (41) и (42) летно получим, что ее можно аапасать в следующей общей форме: $ д» ю» ~ЕН» < т~»»д1»Н» т7н* ~~ — — ~+ ~„~~ и* После проотого вычкслевня находим Прибавляя сюда а»» т и», д» Й» м в перехода путем умиожевив ва Н» к фваическим составляющим, найдем фвевческне составлвющпе вектора ускорения а „а», » » »» ди»„»»м ап з + ~ » ч~~ ~к» + ~ч~~~ к щ н»,ъ» н,н ее~ Н»Н~ а» НЕКОТОРЫЕ ПРИМвнвкня (46) Преобрааовывая к физическим составлвющкм рве формулу (М), внаем Замечая еще, что фванческнмн составлшощнмн бгабар являются найдем вв (40) окончательный еид уравнений гндромеханвкя аяакой несжимаемой жндкостя в любых криволинейных ортогопальвых коордвиатах (да, а„да, в„дН ага,дН ) а др в ) в д гн,н,н,н, 1 а~она) рг .— — —.+ — р, а Над„в На ~)ндННвда( Нв — ' чав ~ — та а — (48) д ° ) а ! где те, определены формуламв (46).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
