1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Наконец, уравнение нераарыаноств (35) в силу формулы (46) можно вапвсать в виде д (Наяавм) д (Напааао д (Н'Наа + ° + 0 (43) В качестве простейшего првмера рассмотрим цилиндрические координаты г, ~р, в. В атом случае мы внаем (50] Нг 1, ав' г, На 1 и предыдущие формулы прнводят к следующнм выражениям для тся- вара тер т„= р ( —,' т„, = 2р.— да, дг (5() ты= 2р— да Для вычвслевкя та„можно поступить следующим обрааом: перейдем в тенворе (43) к фвзвческнм составляющим путем умножения па Н,!Нв, првбаввм к полученному тенаору теваор, получаянпвйся ва ваго перестановкой нвщевсов, к умножнм на р; в результате получим влкпввты овщвй твовии тввзовов Гл, У1 я к следующим ураввевивм гидромеханики: га „ог еде аг др р' — +г, +'— -+е,— — — "' — рР + — = гж гор где г ~ г аг (52) дг г дв дз г агг 1 агг ег 1 дгг 2 т дгг" = р ~ — г+ —" — ф+ — =" — т — + — "1 (дг* г дг Ы~ гг йрг г аС дзг) Г'аг, а, „д, аг,~ ар р'г, +" + +е ) р)г+ — = Г,дГ ' а» ° йр * а*) * а.
д"ггг 1 ег дтгг тгг (дггг 1 дгг 1 аггг дггг дт =- — +- — + — + — =- р (=+ --+ --г+ — з-1 й г рч дз г ~ й" г ог г* ас дз аг, ㄠ— + — — + — *+ — "=О дг г йр дг Прн преобразовании первых трех из этих уравнений мы пользовались четвертым. 8. Дадим теперь преобрааовавие к ортогональным криволинейным координатам уравнений разновеска теории упругости. Эти уравнения, согласно (32), юзеют вид рР + б(т П = О где П есть тевеор упругвх напряжений, Р— сила, действующая на едищщу массы. Обоавачая ортогояальпые проекции силы Р ва оси криволинейных ортогональпых координат, иными словами, физические составляющие силы Р через Р„, Г, Р;, а физические составляющие теваора П на те же осп через гм и лркмеияя формулы (47), срезу вапвжем уравнекпя равновесия теории упругости р)р„, + „— ' Х( ' „,— '(др'~~'ир,„) — „а"'") = О (54) Если вектор бесконечно-малого смещения частвц упругого тела обозначить чарва и, а его расхождение через а = 4)т и, то, смласно формуле (28) $29, имеем и = 2„е + ла) (55) где Ф есть теваор деформации, для составляющих которого в декартовых координатах имеем выражение (56) Га, дг„,а „а, р ~ —.
+ 1г — "+-.— „"+е — + — ".) (и 'и ° ~ газ дт„1 асФ, ат„ и г йр а Г д'», 1 дге Ф !йе га — рР + — — = 1 др г дс 2 + — г.г —— г 1 ага~ 2 дг„ыгг1 — -'+ — — '+ — ="+ — '1 дог гг йр дм 1 ае ипкотоРыв пРкмвывикя Обозиачая физичссквв состаэляюшиа этого тевзора иа оск кризоливейвых ортоговальньи координат через зв, получим для этих состазляюягпх аыражевия, совершенно авалогичкые зырзжеииям (46) для тз, 1 11 а,„» 1 азиз 1 Г .аы, „ань1 Еи, = — ( — — "+и- — „", — (и„1 — +и З вЂ” т~+ 2(язазз ~ дз' И,ыз( "дзь * дз | (57) Для 6 из формулы (16) получим 64 61тв а гн,я,я, ~ -~ — ") ыыы Х азз(, и з (58] Накопец, в силу формул (55) имеем следующие сооткошевия мюкду тм и е,з: сгз — — 211е,г + Ь,"М (59) Уравнения (57), (58), (59) и (54) и представляют собою уразвевия развовесия теории упругости з крвзоливейвых ортогоиальвых координатах.
В частном случае пилипдрвческих иоордиват зги уразвеивя прпввмаюг следующую форму: 1 дт г ае 1 ат ~ 'ЗР д'1 г св гк+ з' ОР+ )г дз з Г= дт 2т + —,"+ — + „Р,=0 дг дг причем для состазлязхцих тевзора'деформации змеем выражения, созер. шекко аиалогвчиые формулам (51), а вмекко: аз, е, дг ' 1 з г з+ з зт=г ат г (61) ди е„ 1 дз аз и ( з+ т е) 1~Р 1д Й е = — — + —— 2~в > а~) 9. Рассмотреввые вами обычные векторные операции з трехмерном простраистзе мы можем по авалогии определить и для любого римакова пространства.
В частвости, под градиевтом скалярной функции 7' мы мажем поникать вектор с козарвавтпыми состзэляюшвми (8), под расхождевием вектора можем иоввмать вырви<свае (12), под оператором Лапласа, примевеикым и скэлярвой фуикцик Г, еыражеиие (17), под расхшкйелием тевзора эгорого ранга еыражеивя (29), (30), (81). злзмзкты овз»вв тзогин тензогоз гз. т» у 37. Теввор Рнмаиа-Крястоффеля 1.
Навболее ревкое отличке тензорвого дифференцирования от обыкновенного состоит в том, что ири в»мк»ернии диффзрзнниразании разу.»ьи»ат танзарново диффирен»)иразанил зависит, »соби(а зазора, алч нарядна диффе ран аиро за низ. В самом деле, рассмотрим поле какого-ж»будь ковтразарвавтиого вектора А', составим для него вторые козарвантные производные 17»»7»А в 17»17„А в образуем нх разаость.
Мы имеем прежде всего дА л »»7»А» — ' + А Гл» д ° н далее Прв аерестановко нндексоз» в и сумма первых пяти членов последнего остаетоя, очевидно, вевзмонноя; последние же два члена превратятся в А ~ » +Г,",Г'~ Поэтому легко получаем следующее важное равенство» »7»~7»А' — Р г7»1" =А"~ — ",— — ~~-+Г*Гл,— Г„Г~~ (1) Так как зто равенство ил»еет моста для произвольного вектора А" и так как слева стоит тензор третьего ранга, дза раза коварвантвый н раз контразарвавтвый, то выражение в квадратных скобках в формуле (1) является тензором четвертого ранга, трв раза козврванткым, раз контраварвавтнызь Эта» тензор называется т е н з о р о м Р и м а н а- К р но т о ф ф е л я н обозна»ается следующим образом: . дГ" дг'„ Л'„".
= — — — Р + Г,"„Гм Г.",Г„„ д»" дк (2) Прн этом обозначении равенство (1) перепишется следующим образом »7,»7~А — »7~»7 А А"Въ~~ Из него следует, что прв коварнантноы дифференцировании вектора порядок дифференцирования можно вэмеяять только в том.случае, если тепэор Римана-Кристоффеля обращается в нуль. Если в основной квад.
ратич вол форме пространства »7„», »А = — '+ д»7»А д:~' +Г ("~, д»А дА —, + Г'.— + Г,„ дз»Е аз" дА» + лГ, ) Г» ~дА + ~лГ«»Л дА',дА» л, . »ГдГл» вЂ” '-".— -" '-"-+" [ — +"-"1 дз» дл" )д" а эт тиквоэ Римана кэистсеэевлв 413 )хел = — ххмь Ки л л . (5) в частности, (6) Столь же непосредственно, простым вычислением по формуле (2), можно установить интересное с в о й с т в о ц в к л и ч е с к о й с в мметрии относительно трех ковариаитиых эначк о в, выражающееся формулой К,„'~+в,, +Л.,„'",=О (7) Нонвжая у тевзора Римана-Кристоффеля значок т, получим коза риантпые составляющие этого теваора Я;о — — — и Л„с"„ (8) из которых можем опять восстановить смешанные составляющие обычным способом Л"х." = аэ" Лмхэ (9) Дадим аналогичные формулам (2) выражения для ковариантвых составляющих теваора Римана-Кристоффеля.
Так как (агхл агх„1 а(в,„г,",> а(а,„гл„) „ав„„ . ав,. аги,лх аг,,ли +Гх. —," = — ', — — ', — Рм(рю +Рч ) +Рли(Р,,м+Г.,д то вз формулы (2) следует, после простых сокращений, что вг л вг Иеа = б~ » В~мр,. — '„— — ', - Гиххги,из+ Гхиги,эл ((0) ПВ в. н кииив коэффициенты ам пи зависят от коорлвиат, то, как следует нз формул по фоРмУлам (2) и тевзор Римана-Крястоффеля сева я в нуль Можно показать, что обРатно. всан тевзор Римана-Крастоффеля. во всех точках пространства обраплается а куль, то в атом простраястзе можно выбрать тапке координаты э', э', . ° .. з", чтобы основная квадратичная форма приняла вкд (4) с постоянными коаффициентах1п я,а, Но ясно, что в этом случае коварвавтвое дифферевцирсзакяе совпадает с обыкновенным, в поэтому делается понятным, почему в атом случае порядок диффе)евцирования пе влияет ва его реаультат. 2.
Рассмотрим теперь свойства тенаора Римана-Кристсффелв, Отметихл прежде всего, что, как явствует иэ самого определения этого тевзора, ов зависвт только ст составлиющих фУвдамевтэльпого теиаоРа бм и вх первых и вторых производных, входявлвх через посредство символов Кристоффеля. Из формулы (2) непосредственно следует, что нрн перестановке первых двух индексов составляющие тевзора Римана-Кристоффеля мепвксг свой знак: СЛВМВПТЫ ОБПППГ ТЕОРИИ ТЬПЗОРОЗ Вспоминая выражения (22) 3 33 для символов Кристоффеля первого рода, межам еще написать, что В 1 ( ~хм ~гн ~г.» югкь ) к»э Я Якэ»х закс»э з Зах С»1з»»)в -~ Г,,„Г,. +3-Г.,„Г,,„ (11) Отсюда вццко, что составляющие текаора Римана-Кристоффеля зависят от вторых производных от составляющих фундаментального тензора линейным обрааом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
