1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Подчеркнем еще раэ, что эти значения вообще говоря, аависят от выбора пути Е., соединшощего точки М и Р. 5. Теперь мы можем дать геометрическое истолкование тевзорного дм(зреревцирозакия, связав его с изложенным з предыдущем пункте по- нятием параллельного перевеса вектора. Рассмотрим в римановом пространстве Л„ коптравариавтный вектор А' и пусть точка М с координатами з' и точка М' с коордиватамп я' + Азз две бесконечно-близкие точки этого пространства. Значения со- ставляющих вектора А' в точке М' обозначим через А' + ЫА', где, оче- видно, АА'- — (зз дА зз Поступим теперь для определения производной вектора А' так же как поступали в векторном анализе, а именно, прежде всего совершим параллельный перенос вектора А' из точки М в точку М', в результате мы получим согласно формулам (16) вектор с составляющими А'+ ЬАг = А' — Г(зА~Аз" Образуем теперь разность между авачевием вектора А* в точке И' и вектором А'+ ЬА' з точке М' (последний вектор мы считаем разным вектору А' в точке М); з результате получим вектор В (А' + г(А') — (А'+ ЬАг) = ЫА ЬА~ = ( н + Г)зА )Ыяз (18) 1 дз который можно назвать геомзтрвческим приращением вектора А'.
пьглллвпьнын пкгвкос влктог» 399 Так как величины Ах» образуют произвольный бесконечно-мелый вектор, то зелвчияы 1 ~7»А' — „+ А~ Гы (19) являются составляющими смешанного тевзора, который, очевидно, не отличается ст коварлактной производной ковтразарианткого вектора. Итак, геометрическое значение ковариавтной производной ковтравариаитвого вектора состоит в том, что через нее непосредственно выражается геоьжряческое приращение вектора А' при переходе из точки М (х') в бесконечно-близкую точку М' (х' + Ых') по формулам АА' — ЬА4 т7~ А1 Ах» (26) Нетрудно теперь дать формулы для параллельного переноса ковариавтного вектора Ае В самом деле, мы мюкем рассмотреть поле такого вектора А', для которого в точке М для любого направления окажется АА' = ЬА', во тогда иэ (20) ясно, что для такого вектора в точке М '«7»А» О а следовательно, в силу теваорвого характера этого выражения и Ц=О т. е. по формулам (6) предыдущего параграфа дл х — — А»Гы О зь» Отсюда следует, что дА Х -ч-Ых» — А» Г»» Ыхл ЫА< — А»Гм ~Ы" = О де заменяя в атом выражении АА~ иа ЬАо мы получим требуемые вы ражеввв для изменения иоваряантных составлвющвх вектора при его параллельном переносе (21) ЬА~ — А» Г~здх» О 6.
Укажем основные свойства параллельного переноса веиторсв. Скал»рис» ирои»»»деки» д»ух»екторое А' и В' »е лепя»тех ярл их карамельках к»р»косе. В самом деле, мы видели в $32, что скалярное произведение двух векторов А' в В' надо определвть как А'В» = А;В» = йы А'В» = бы А;В„ Но тогда, согласно. формулам (16) и (21), мы будем вметь Ь (А'ВД В»ЬА'+ А'ЬВ~ — В<А" Гы»(х»+ А'В»Гм»(х" = — В»А Г(» Ах» + А"В» Г»»»(х» О что и докааывает наше утверждение. злвивнты овщви твовив твнзогов Беря в частности вектор В' равным вектору А' п замечая, что А»А» уыА»А й~ А»А» гн»у определяет квадрат длины вектора А', мы приходим к выводу, что длина кол»дога вектора при его параллельном переносе остаетсл нов»монной.
Наконец, вспомввая, что по формуле (32) з 32 угол Ф мюкду двумя век- торами А' п В' определяется формулой А'В» сог Ф )» А»А» г' »» нетрудно заключить, что угол лвледу деумл векторами при одновременном параелельнаи переносе етих гекторов остаетел неиэменним. Рассмотрим еще, что происходит ирв ларвллельном переносе вектора вдоль геодезической линии. Пусть через точку М проходит геодезическая лианами,. Обозначим через 5» = »(х»/»»г вектор. касательный к этой липни; длина этого вектора равна, очевидно, единице, вбо Основное уравненке геодезических лвввй $ ЗЗ (25) Е»в» Ее йв — + Ä— — О лг» иг ю чы можем теперь переписать в вида Ж» + Г»» Р»(х» = О и, сравнивая его с ураввеввем (16), примененным к вектору $», ЗЗл Ф Г» Ь1х» = О чы можем заключить, что при параллельном переносе вдоль геодезической линки 62» с$».
Иными словами, прп параллельном переносе »доль геодезической линии Ь аг одной точки М е другую точку Р единичный геюпор, косаюи»ийсл линии Е е точке М, переходит е единичный гектор, каса»п»(ийсл той лсе сивой геоде»ической линии е точке Р. 7. В заключение настоящего параграфа сделаем одно общее замечание. При построении тензорных производных освовпую роль играли символы Кристоффеля Г»г. Можно позтому было бы всходить, п е в в о д я в р а с с и о т р е в и е о с в о в в у ю ф о р и у»(Р = й»»»(х'а»х», прямо из определения тензорных производных формулами (6) предыдущего параграфа, понимая в зтих формулах нод Г"г величины, подчиненные векаторым требованиям весьма общего характера.
Б ревультате такого построения теории получаются пространства гораздо более общего типа, чем римвново. Мы ограничимся этим кратким указанием, причем попутно отметим,. что римановым пространством называют обычно такое, в ко- нккотогыв пгккэнвняя 4Э1 тором задана осиозоая форма <й' и в котором операция текаорвого дифференцирования определеяа так, как мы ато проделала аыше, т. е.
с вомощью формул (б) а (8) прэдыду1пего параграфа, э которых Г",д суть символы Кристоффеля второго рода, оэределяющиеся через фувдамевтальяыв тевэор бм яра помощи формул (22) и (24) т 33. ф 38. Некоторые иримевевия у» ул (э э эз)~ я э' (ум уэ, уе) (() Расстоявие между двумя бесконечно-блиакими точками пространства будет выражаться в координатах уь ув, уэ формулой йР = Ну~э + Ыуээ + Нуае (2) в коордвватах же яг, л', зэ формулой Ыг* дэАя'йэе (3) где, как обычно, по каждой паре одиваковых значков провзводвтся сум- мировакие в пределах от 1 до 3 и где, согласно общей теории, бя (зг, зэ, Я") = — т —" ээл эва эа эл" (4) зрячем в последней формуле опять-такв яодравумевается суммировавие по а. Звав ям, во формуле (5) 4 32 определим составляющие йы контра- зариавткого фувдэмевтальвога тевзорэ.
$. Установленное вами в предыдущих параграфах понятие текзорвой прояазодвой является могущестэеиным оредстзом для преобразовавия зекторвых выражевий к любым криволинейным координатам. Дело в том, что даввое вами определеэие тевзориой нроизводвой годятся д л 'я л ю б о й с в с т е м ы к о о р д а в а т, а с другой стороны, амеет т е в з о р в ы й х а р а к т е р.
Поэтому, взяв какую-либо векторную операцию и выразив ее через текзорвые проиаводные, мы получаем зыражевве, имеющее тензорвый характер и истому пригодное для вычисления в любой системе кооргвь кат. Мы применим эту богатую по своему содержавию идею к целому ряду частвых случаев, причем для определенности рассмотрим вавболее важиый с рассматриваемой точки зрения случай криволивейвых коордиват в трехмервом эзнлидовом простравстве; этот случай был вами с другой точки зрения рассмотрен в $18. 2.
Рассмотрвм трехмерное эвклидово простравство и в вем прямолинейные прямоугольные оси коордиват 0 р уэ уэ. Введем далее, как в 8 $8, кривалинойвые координаты дм ээ, оз, которые мы теяерь будем обозначать, как обычво, через я', з*, я'. Тогда рм уз, уз будут функциями от я', яэ, яэ и обратно элкмввтм ог»вкв твогвк тввзсгоз Гз. 1У В случае криэсливейвых ортоговэльвых координат, обозначая, как в 5 18, через Н, коэффипиеиты Лама Н»~аю)+(а~я)+(т) будем иметь о =Ня =йс » 1 (7) 3. Перейдем теперь к рассмотрению раэличимх векторимх операций. Начнем с простейшей из вих: градиевта скалярной фувкция !.
В декартовых коордиватах атот вектор имеет составляющие а! а! а! ат» ' ат» ' ат» Но мм знаем, что вектор с составляю»цими д~/дх~ есть коварвавтиый вектор, причем ясво. что составляенпие этого сектора в системе коордииат у», у», у» совпадают с составляющими вектора бгаб !. Отсюда мы сразу можем заключить, что яосориантными ссстселм»в»дьяк»еятора бгс»( ! в любоп составе ксордияат яэллюв»ся селичинм ~7 ! а! ах» (8) Ковтравариавтвмми составляющими этого вектора будут служить величивы т7 !=у '(7эу=а'— а! аээ (9) В случае криволивейвмх ортоговальвых коордиват, переходя от ковариантных состаэлюощих к фиаическим по формулам (7), легко получим для проекций йгаб ! иа оси криеолввейвых коордиват вырюкеввя (йгаб !)» а! Я,у (10) совпадающие с выражеввями, получающимися иэ формул (27) $18. 4.
В качестве следующего примера возьмем расхсждевве вектора в, В иоордвиатах у», у», уэ мы имеем ем (гйт в) =— (1 1' ахг йи = Н»», б = Н»Ч!»»Н»~, б = —., 8»э = йи 0 орв !+» (6) я Мм уже выясняли в $32, что если сбозвачить ортоговальвые проекцив вектора а, приложевяо» о к точке М, иа оси крвволивейвых поордииат, через а„, а, а„и вазвать их физическвми составяяющими вектора, то между ковтравариавтиыми соотавляющиыи вектора а', его ковариаятвмми составляющими о» и физическимв составляющими а . имеют место со»ивошевия нвкотогыв пгммвпвкия 61т а = 17;а' ~7'а, = Уггт7га; = ~7, (аагаг) (12) Это выраженяе можно представить в другой форме, если воспользо.
ваться длв ковариавтвой проиаводвой де аггее = — 1 + а" Г3~ а* (13) полагая в зтойфорыулей = 6 суммируя по(ипольауясьформулой(31) $33 1 дУд Гн = —— Уа д получен а ', 1,аУЛ 1' а(е'~Я ~7га = —, + = а -р- = — ~- аз Уа аР Уд дз и, следовательно, 1 д(Уде) 1 д(Уаа ег) 61т а= — —, ух а ' уа а" В ортогональных координатах, пользуясь физячсскимв составляюгцими, в силу формул (6) и (7) получим /днзнзв„д + дНзНге ° + ангнгг Г ннн а аи + ю (16) ст формулы (30) 5 18. вектору а = 8габ !, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
