1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Ив формул (10) и (11) можно вывеоти мце ряд свойств симметрии тенаора Римана-Кристоффеля. А именно вз формулы (11) видно, что как прн перестацовке первых двух индексов (и я, так и при перестановке последних индексов 1и )», составляющие тевзора (11) меняют свой эвак: В1»» Вкп~ Виъ,, = — В,.л.х (12) (13) Следующим свойством симметрии составляющих Вм» являетсл яя неваменность прп перестановке первой пары индексов со второй", это свойство выражается формулой- В~к»» В»»м (14) и непосредственно проверяется по формуле (11), Наконец, понижая в равенстве (7) значок ч, мы приходим к свойству циклической симметрии относительно трех ковариантных значков, выражающемуся формулой В +В ю+В„=о Нетрудно установить аналогичную формулу для случая ковариавтного вектора.
В самом деле, понигкая в обеих частях предыдущего равенства значок а, получим ~7» 4» ~7Д7 А» А Вьь» Далев в силу равенства (12) » ~7 171А» ~к~ У»А» А 'В~к»» Тензор четвертого ранха Вьс» имеет я» составляющих, однако эти составляющие связаны соотношениями (12), (13), (14) в (15). В реаультате арифметического подсчета получается, что все я' составляющих тевзора Римана-Кристоффеля могут быть выражены через — я' (л» вЂ” 1) 12 составляющих. Для пространства двух измерений число независимых составляющих тензора Римана-Кристоффеля сводится к 1, для пространства трех намерений к 6, для пространства четырех намерений к 20.
3. Для случая.коитразариавтвого вектора мы имеем формулу ~7,~7~А' — т7;т7,А' = -4 "В;-7,. (16) 1 Зт твнаог вивана-кгистоеевля и, наконец, понижая аначок у л" и одновременно повмшая у «) во лучаем окончательную формулу ~7«т7~А« — '7~Й7«А = — АхВ)~«, ° ° Э При дифференцировании скалярной функции ) (я',..., х") порядок дифферендировавия никакой роли не играет. В самом деле, мы имеем '7в' = -,-т ау ~7«~И = — т — — Г» д««ду 3*" а* (18) ) = А„и'аа а По только что дскаеавкому мы будем иметь у„г7, а и«„),;7 т7 (,(а„а„,,) Но ясно, что ~7«т7,(А«и«иа) = л«ив~7«с7,Аа«+ А«ват7«с7,и«+ А«а«т7„'7«ва+ -(- ва~,А«т7„и +й7~А~~7 са+ А«~;п«~«се+ + еа'7«А""7~й + й'7 А««7гва+Аа'7 й«7ьса Последние шесть членов при перестановие индексов 1 и я не меняются поэтому мы получаем следующее равенство: « ~(г7„г7 Ас — г7Ч Аа) — Аа са (с7«с7,й — '7 «7„и') — А ай (~7«~7~ «а — Я«г7„гв) Воспольаоаавшись теперь формулами (16) в (17), найдем Ас Аа),(в „ьл-.' +,(а„ или п«ас (с7«' ?~А~ — т7~т7«А«) = и аа( — Аа«Ла ~ + А Вм«".) Отсюда, в силу проиавольвоств векторов й и ва, получаем т7„т7,А'.
— (7«7„А. "- А.'в7„' — АЬ~" ' Закон обрааовавия правой часта совершенно очевиден. Иа теваора Римана-Кристоффеля моною получить путем сокращения индексов теиаор второго ранга и инвариант. то же самое выражение получается и для ~7«~7„7, откуда и следует наше утверждение. Можно дать формулы, аналогичные (16) и,(17) для случая тенвора шобого порядка. Мм рассмотрим метод получевив стих формул на простом примере смешанного теввора второго ранга Аа.
Введем еще в рассмотрение два произвольных вектора и п са а составим инвариант Га, 1Ч злпмвнты озщвп твовнн 'гвпэогаз Прежде всего путем сокращения по крайним индексам |,лучается тензор второго ранга, так называемый т е в з о р Э й в сг т е й н а: (20) 6 ь у"'Льо Вмз'. Так как, в силу формул (14), (12) и (13), С =дым йпя .= С (21) т. е. тевэор Эйнштейна есть тевзор симметричный. Сокращая его, получим инвариант (22) 4. В 4 35 нами было выяснено геометри*юское значение коварвантного дифферевпирования и было показано, что оно может быть тесно авяаано а понятвем параллельного переноса вектора. Так как тепзор Римана-Кристоффеля тоже выражает некоторое свойство текзорнаго дифференцирования, указывая на характер его завиаимости от порядка дифференцирования, то естественно думать, что тенвор Римана-Кристоффеля тоже имеет какое-то геометрическое значение. Более того, мы уже видели, что в случае эвклидова пространства, когда соатавлюощие фундаментального тевзора являются постоянными величинами, тевэор Римана-Кристоффеля обращается в пуль, следовательно, этот тевзор характеризует до некоторой степени отклонение раааматриваемого рвманова пространства Л„ат эвклидова.
Можно поэтому думать, гго тевзор Римана-Кристоффеля кав го характеризует крввизну рвманоза пространства, подобно товзу как отклонение кривой лввии от касательной к ней в векоторойточке характеризуется в первом приближении кривианой кривой в этой точке. Так оно на самом деле и оказывается, поэтому тензор Рпмана-Кристоффеля носит еще название т е н з о р а к р и з и з н ы. Не рассматривая вопроса о кривизне риманова пространства детально, мы выясним только несколько основных понятий па частном примере ркманова пространства двух измерений, которое всегда можно представлять себе вак некоторую поверхность в пространстве трех намерений.
Прежде всего заметим, что, как было указано выше, в случае ркмавоза пространства двух измерений, все 16 составляющих тевэора РвмзпаКрзстоффеля выражаются через одну пз них, за которую можно ваять Имя. Воаьмем теперь в эзклидовом пространатве уп ум уз сферу радиуса а уР + узз + уз' = а* и рассмотрим возерхность этой аферы з качестве рпманазапространстза. Вводя в рассмотрение сферические координаты г,,з, ф, можем характеризовать полажение точки па сфере двумя коордвнатамз 9 я ~р, т. е.
мы можем положить з'=6, х'=ф твпэог пимена-пгистоеевля $ эт 0чевидно тогда, что для квадрата элемента длины мы получим выражение ,(э* = сэ (йбэ -~-э(пэ 9 йрэ) = а'(Ыээ)э + а'эш' х' (Ыээ)* (23) и, следовательно, составляющими фундаментального тепэоре будут бн аэ, угэ = О, уж = аэ ыпэ (я') Теперь легко вычислить, что (25) Гкп Гз,ж Гэ,п 1'э,аз = О, 1"епэ = — Гызз .2- аэ и!и (2ээ) Формула (11) приводит к следующему влечению для Н~мэ я ~а аэ э~не (э') В силу формул (12), (13) п (14) для любого прострэвстваЛз мы имеем соотношения Фпз = — Впи — Лжп = Вмм (27) все же остальные составляющие тенэора Рвманэ-Кристоффеля раним нулю. Составляя по формулам (21) и (22) инвариант 6, мы придем в случае Лэ к выражению С = бвэ""Н,~„-2В„~з ((б")* — бэ'8") = — ' * (28) э ибо, как нетрудно убедиться, спею (еи)э 1 г Итак, выражение ГЬгаэ г для любого пространства Римана двух намерений является инвэриэятом.
Составляя вто выражение для сферы, получим Аз~а ~М яо для сферы радиуса а велвчииа —, является кэк рээ геуссовой кривив- 1 ной. 5. Теперь мы приведем в свяэь понятие кривиэны поверхности с понятном параллельного переноса векторе, опять-таки только для частного случая сферы. А именно, рассмотрим нэ сфере радиуса а площадь Ю, ограниченную контуром Е., н будем, исходя иэ точки Ме кривой Б, совершать параллельный перенос какого-вибо вектора, касательного к поверхпоств сферы, вдоль кривой Е способом, укаэанным в $35.
После обхода кривой Ь рес- злвмвнты овщви твоРнп твнэоРОВ 418 Гэ. 1у сматриваемый нами взнтор не возвратится, вообще говоря, в свое первопа гальпое поло>кение, а составит с ням некоторый угол э. Мы хотим доказать, что э 1 (30) Для доказательства возьмем сначала за Ю сферический треугольник АВС, углы которого тояш обозначим чарва А, В, С. Тогда иэ сферической трягояомотрпи известно, что площадь сферического треугольника АВС развя Л а' (4 + В + С вЂ” я) (31) Ь, е 2я — (я — В) — (я — С) — (я — А) =А +В + С вЂ” и (32) Сравнивая это равенство с (31), докажем формулу (30) для того частного случая, когда контур ь есть контур сферичесного треугольника. Формула (30) остается, очевидно, справедливои и в том случае, когда г' 3а точку Мс контура, ограничивающего треугольник, примем точку А, а за вектор, котоРый мм будем параллельно переносить, примем единичя ю ный вектор а, касательный в точке .4 к дуге ээ большого круга АВ.
-г Так как сферический треугольник образован с дутамп больших кругов, которые являются на Ь сфере геодезическими линиями, то в силу сказанного в $35 параллельный перенос вектора ез а а с будет совершатьса очень просто. А именно, прк параллельном переносе по геодевнческой липин Л-8 Р 4 АВ единичный касательный вектор а в точке А э-г к этой линии перейдет в единичный касательс, ный вектор аз в точке В (фнг.
95); провезем Фвг. 85 теперь в точке В единичный касательный вектор Ь к геодезической линни ВС; ясно, что угол между веяторамк а4 п Ь равен я — В, Будем теперь переносить вдоль геодезической ливии векторы Ь к а,; в силу сказанного в й 35 вектор Ь перейдет в вектор Ь„касающийся липни ВС в точке С, а вектор а, перейдет в вектор а„составляющий с Ь, тот же саммй угол я — В, который был образован векторами а, а Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
