1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 67
Текст из файла (страница 67)
(11) Девая часть этого равенства есть инвариант, следовательно, н правая чавгь является нивариавтом. Но эа «гх» можно взять произвольный вектор, нбо мы мов«выбрать геодевическую линию, проходящую юрез точку М в любом направлении. А тогда ив теоремы и, 5 $ 31, формула (13) вытекает, что велачинм З (дЛ» г»ал«дл,1 — — — АхГв) + .
( — — А»Гм) — ( — «+ ! — А«Гм (12) з ~ а.» ) (а. / 2 1 де» аэ» ! образуют возариавтный тенвор второго ранга. С другой стороны, нетрудно показать, что величины (И) тоже образуют коварнавтиый тепэор второго ранга. В самом деле, меняя в формуле (3) ал, ал„а ' а,а а* — — + А„— дФ щр»ы«дв«дд«ав» индексы» а й кзотами, получим дЛ» ЭЛ„аэ" дэз а»* аяэ аэз дэ» а'э — — + А« —, ае» д»а аа«аа "да да» де" да» дэ' дт' да" Вычитая эту формулу из предыдущей, найдем ал, ал» ал„алэ а 'а э а зто соотношение выражает как раз тевзорный характер выражение (13). Складывая тевэоры (12) и (И), мы получим новый тензор дЛ» «»»А» = — — А»Г» дэ* главной частью которого ввлвются величины дА»/дх» и который можно назвать ковариантпой производной ковариавтяого вектора. Таким абраэом, ыы вновь пришли к выражениям (6), но только иным ну»ем.
б. Рассмотрим теперь правила действий с ковариавтпыми вроизводными. При этом может быть полезно еще раз напомнить те действия, которыми мы пользовалксь до сих пор. элвмянты оюцви тлоэнн твнвоэоз гэ. л прежие всего под ч7 ф, где ф есть скалярная функция, ям усаозилнсь понимать ковариэитвый вектор: л7» ф (16) Далее мы имеем основное определение ковариантной производной от тензора, которое для случая тензоров третьего ранга выражается формулой (10): ВА" ~7~ А~' — в — А в'.
Гэл — А" ". Г$~ + А в" Г" л "7л(А Вн) Вв»~7»А + А л7л В'ьч (18) Применяем формулу (17) В (А.В;".) [7л(А Вв) л — А„Вв". 1'»л — А,В»".1'вл + А»Ввч. Г,д вхл увл» л' вп'ч — Вв ч7лА + А»л7лВк Аналогичное доказательство применяется и з болев сложных случаях. Докажем далее, что производнал лмнзора, соаращеннозо по неслольяиз» злачном, может блинь получена сонразаениан по зтии значкам произеоднол исходнозо тензора. Докааательство проведем на следуюилем частном случае; пусть В»в.л- 17»А в".
(19) Тогда В'ал дается формулой (Л); положим з этой формуле т тогда третий и четвертый члены е правой части атой формулы сократятся, ябо А;„;.Гвл н АДГ л отличаются только значками суммирования р и (), -.в в которые можно поменять местами. Итак "в -.В- ал»В. "В э, В В в.л = — „' — А»в.Г»л = Яллнл.
что и требовалось доказать. (20) Наконец, для случая, когда произведение тенэора на несколько векторов дает скаляр, мы эмали правило даффереицироваиия такого произведения, эмражаюжесся формулами вида (9). Теперь мы установим правило дифференцирования произведения тенворов в самом обжем вцле. А именно покажем, что ди(бу)еренл)ироеание произведения тензорое соееринлюэса яо таи лсч правилен, что и е обынноееннаи анализе. Кэк всегда, доказательство будем проводить на тевзорах частного вида. Покажем, напрэмер, что ковариантнан проиаводная от произведения А,Вв' равна твнеогпля пгоиевопняя евктогл и твнеогя 391 Г?л (Ан»Ю т) = В.т»7хА аз + А з'т7лВзв (21) 7.
Последнее правило, которое мы рассмотрим, касается дифференцирования фуидамовтальныл тевворов. А именно мы покажем, что ковариантние яроизводнме всех трех фундаа»ен»яаяхних»яенворое равны нулю. Прежде всего рассмотрим тенеор ум. Применение основной формулы (17) дает л?,у„- — „— у„,гм — уы Г»х и с силу формул (28) и (30) предыдупюго параграфа ае 17лум = — — Г„. и — Гь вл = 0 Точно так я»е, помня, что /1 орк» =]» (22) 1?ху»в = — *, — усейн + дя»Гвех — Ги + Гц = 0 езв в (23) Наконец, применяя к теивору У» У дв» (24) правило диффереипированив провзведения, найдем »7»У» »вЂ” Уил?лд»в + У»вс7»й»' Отсюда, в силу (22) и (23), Ум»?хдх» = 0 Умнвкая зто равенство на уо и принимая во ввнмаиие (24), получим у'„л?хув»'= 17ху'» = 0 Итак, мы получили основные равенства (25) 1?,уи =0, 1?„ув» = 0, Л?,ум= 0 выражапяцие, что яри твнзорном диффере»»»]кровянки фундикен»яаяхние тензори ведут себя как яостояннме величиям.
8. Введем теперь понятие ковтравариантной проиаеодиой от вектора или тенеора, определив ее формулами вида 1?„А ф л17»А» (26) ~"Ат". = у" С?»А з'. (27] Применяя только что докааанную теорему к произведению несколькпл тевеоров, сокращенному по некоторым индексам, получим правило дифференцирования, обобщающее известное уже нам правило, выражаемое формулой (9). Так, например, мы имеем формулу злвмвнты овщкв твовнн твнзогов ззг гз.
гт таким образом, для получения контраварнавтной провзводной тензора надо сначала образовать ковариаптную производную этого тевзора и затем поднять тот значок Х, который соответствует операции дифференцированвя. Принимая во внимание доказанное в предыдущем пуккте свойство фундаментальных тензоров и только что данное определенна коятраварнавтной производной, мы можем без всякого труда написать составляющке различного рода производной ст какого-либо текаора.
Так, например. у т7зА„мы имеем следующие 8 типов составляющих: .з ~7зАмь ~7зА. '7»А.'э ~7зА~, ~7"А„з, ~7~А'з, '~"Ар", г7"А'е В самом деле, докажем, например, что С7 А . =К~уз'с7»А»ч Действительно, в силу формул (25), »7~ 4». = г7» (А»тйэт) = У ~7р 4»» 'з э» а з силу формулы (27) ~7~А'В б»»,,7 4 з б~»бэ»~7 А ф 35.
Параллельный перенос вектора $. Рассмотрюа теперь затронутый в предыдущем параграфе вопрос о параллельном переносе вектора в рнмановом пространстве н о геометрическом истолкования тензорного дифференцирования. С этой целию нам прядется вернуться к кзложекаому в начале атой главы представленню о рвмановом пространстве п намерений, как о подаространстве в эвклндовом пространстве равного влн большего числа намерений т. Прв этом предположим, что мы можем ввести и этом звклидовом пространстве прямолнневные прямоугольные осн координат ум у»,..., у,„такнм образом, что элемент длины будет выражаться формулой Еслн в рнмзновом проглранстве координатами служат в', зз,..., з», то для точек этого пространства у„..., ум будут определеннымв функцвямн от л',..., *" = у» (х',..., х") (» = $, 2,..., ги) (2) Подставляя зтн фувкцкн в (1), мы получим фундаментальную форму для рвмзкова пространства язз = зн (з», ° .
° ,з ) Ня пз» (3) где паРаллвльиый пвРвнос ВвктОРа Возьмем теперь в пространстве Римана ковтравариавтный вектор А в некоторой тачке М. Проведем через зту точку геодезическую линзпо в направлении вектора А', понпмап под этим, что в точке М велпчкиы сЬ'/Ад, где Ах' суть бесконечно-малые приращения координат при перемещении вдоль геодезической ливии, прокорциональвы величинам А', так что Вектор Ах /Ад мы назовем е д и в и ч п ы м к а с а т е л ь п ы м в е ктором к геодеаической лпнзи. Для него мы имеем, согласно (3) дЛ дзз йм -Ъ вЂ” „-1 (б) Величияу же а мм назовем длиной вектора А', для нее мы, в силу предыдущего равенства, будем иметь выражение а' = дмА'Аз (7) Построим теперь в звклидовом т-мерном пространстве в тачке М вектора а, длина которого равна а и который имеет направление касатель ной к выше рассмстрешюй геодезической линни в точке М.
Проекции етого вектора ва оси координат будут, очевидно, равны числам дгь а =е д (а 1,....м) (8) где д(у суть приращения координат у, соответствухпцие приращениям Ах' координат х*. Следовательно, Ау,= ',Ы де' и, значит, дд х' а„= а —.— де' Ш или окончательно (9) дз* Итак, всякий коптравариавтвый вектор А' в пространстве Римана Н„ может быть представлен геометрически в пространстве Эвклидова Ем, в которое вложено пространство Римана, вектором а, имеющим ту же самую длпяу, что и вендор Ао и направленным по касательной геодезической ливни, проходящей через точку М в направлении вектора А'. Весьма важно отметить, что нри т > я всякому вектору А' соответствует свой вектор в, но обратное не всегда имеет место, Не длв всякого вектора а вайдетси соответствующий вектор А'.
Это вполне понятно аналитически, ибо вектор а определяетси т числами, в то время как вектор А задается я числами. и ясно, что систему (9) и уравнений с я ( т неиавестпыми А1,..., А" не всегда можно решить относительно зтих неизвестных. Это так же испо и геометричеоки в простейшем случае л 2, вз = 3. когда ми имеем дело с поверхностью в пространстве. В атом элвмквты овщвй твогии твввогов случае очевидво, что те векторы а в простравстве Ез, которые соответст вуют векторам 4' в простравстве Римава Вь, лежат в касательной плоскости к поверхности в точке М.
Всякому же вектору а, выходящему ив этой плоскости, очевидво, уже ве может соответствовать ввкакой вектор А'. По аналогии мы можем говорить и в общем случае об евклвдовом подпростравстве Т„, касающемся простравства Е„в точке М, повимая под У„ геометрическое место всех прямых в простравстве Е, проходящих через точку М и касающихея в етой точке какой-либо ие кривых, целиком прииадлежащих Л„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
