1625913098-1ac8c1d2f0dc6fdd0d405a602d3f6599 (532419), страница 62
Текст из файла (страница 62)
важным орудием для распознавания тензорного характера ряда величин. Подобно этому теорема деления тензоров служат в целях установления теизорного характера различных величин. В заключение настоящего пункта докажем зще одну теорему аналогичного содержания. Гл. Я эпкмкнты оэщкп ткогпн ткнаотоэ зев Если для каждой сисемлм координат э лж имеем соеекуяность я» величин А е и если ари любин выборе вектора и" емрансение ~=А,ви ие (9) являетсл инвариантаи, то величина В„--', (А„+ А,.) лвлвютсл составл»еоы(нии ковариантново тенеора. Для докаэательстэа ееменпм э эмражекка (9) вектор и» суммой двух ,проиээольнмх векторов о» и и', т е. положим и» с» + ьв» тогда, очеэидко, получим ( = А в (э» + ю") (ьв + ид) = А,ее и» + А ею'иа + А»ве»юв + А„вялое Заметим теперь, что емражепия :ппэариаатнм по условию теоремы н что так как а к 9 яэляются адесь эначками суммироеания и поэтому мотет бмть сбоаначенм проиээолькмми букяами.
Поэтому амражение я (А е + Ав,) о юе .яэлявтся инэариактом и так как г» и ил уже прокаэольпме векторы, то можно применять теорему качала этого пункта и утверждать, что эехичины (10) обраэуют коэариантный тенэор. Если величины А е обладают свойствии сиаметричности, т. е. А е = Ае . то ив инвариантноста мераакенил (9) длл любава вектора емтекавт, чню .А,в лвлеютсл составллюияьии ковариантноео теняора, В самом деле, э этом случае А е совпадают с Внь т 32.
Фундаментальный тснэор 1. Введем теперь э рассмотрение фундамеатальную кэадратичную форму с(Р а,ь (и',..., х") Аич)хь (1) определяющую квадрат расстояэкя мюкду двумя бесконечно бляакими точками многосбраэая. Формулой (1) устанавливается метрика этого многообраэая к само многоабрааие прекращается уже э риманоэо пространстэо йю По самому определению, аначекие квадратичной форин (1) должно остаэяться тем же самым, неяаэисимо от тоге, э каких координатах про- Фувпамвптальпьш твнэог иаеодится вычисление; ивыми словами, к а а д р а т и ч в а я ф о рва ($) является ива ври актом. Кроме этого условия, функции уы считаются удовлетворяющими условию симметрии уы Фн в, кроме того, мы потребуем еще, чтобьг определитель рм йь»... уж ум ум - ° ° 8»» Юж у»в ° ° д»» (4) А~ г,»А» Попробуем теперь обратво еыраевть составляющие векторы А черве А;.
Равенства (4) можно рассматривать как систему я липейпых ураввевий отиосительво в веиавествых Ах, А»,..., А": увА'+р»А»+.. +у, А" Аг й А' + У» 4' +... + а„„А = А» Решая эту систему по обычному правилу Крамера, мы получим, что Аг СцА1+СвА»~-... +Сы.4» где Сг» есть алгебраическое дсполвевие элемента у;ь е фуидамептальиом определителе, т.
е. минор, соответствующий этому элементу, умвож»и- иый ва ( — 1) '+г. Вводи обоэиачения 4»» Сы 8 (5) можем вапксать получеввые формулы коротко в виде А* = рыА» (б) был отличеи от пуля в рассматриваемой области ыемеиеивя перемеивых. Так как дифференпиалы координат могут быть ээяты совершенно произвольными в так как г(я< есть коитраварвавткый вектор, то иэ последней теоремы предыдущего параграфа вытекает, что у» являются со. ставляющими коеариавтвого тевэора. Мы будем называть этот тенэор коеарв антвым фуидамевтал ьвым теиэором. Определитель у пазовом фукдамевтальвым определителем.
Воеьмем теперь любой коитраеарваитяыв вектор А', соотааим проиэеедевие йы А» в сократам его по эвачкам й в е; а результате мы получим воэариавтиый вектор, составляющие которого мы обоавачим через А, элвмиигы овщви ткогив 'гввэогов Гл. !У Заме»ам теперь, что уравневив (4) при у + О могут быть решены пря любом выборе Ае Ииыми словами, в формулах (6) эа Ае можио ваять пропэвольвый коварааитпый вектор. А тогда, првмевяв одну иэ теорем последиего пуикта предыдущего параграфа, можно утверждать, что величины ум являются составляющими аекоторого ковтраварвакткого тевлора, котормй мы ваэовем коптравариаитмым фувдам е и т а и ь в и и т е и э о р о м.
Легко видеть, что в салу условия (2) окажвгся С, = 6», в, следователъио, ум = ум. Таким обрааом, контраварваитиыв фуидамевталъвый тевэор, подобно ковариаптиому фундаментальному тек»ору, обладает свойством симметрии. Накапав, проивводя перемпожепие обоих фуидамектальпых теваоров и последующее сокращеиве индексов, мы получим с м е ш а в к ы й фупдамевталькый теиэор (7) Чтобы найти эвачекке составляющих етого теввора, подставим в фор- муле (4) выражеввя (б). Мы тогда получим Так как это равенство должво вметь место при всех аначениях А», то веобходимо должво быть, чтобы 1, »ела Э =й О, »»ли )+й Таким обраэом, смешавкый фундаментальный тепэор совпадает с хорошо вэвестпым иам тевэором, составляющими которого в любой систеие координат являются величавы б,.
а Если в тевэоре (7) пров»вести сокращепие ввдекссэ ~ а л, то получится иквариакт (9) ус = ума™ = я дающий, очевидно, число ивмерепвй рассматриваемого римапова простравства. 2. В предыдущем пупкте мы ввделв, что прв помощи фундаментальных теиворав б» в б'» мсжио иа ковтравариавтпого вектора А» получить коварпантвмй вектор А; и обратно ка осковаиии формул А; = Д»А ' А = 4»»А» ». (10) Так как мы эпаем составляющие фукдамеитэльпых тевворов в любой системе коордкиат, то мы легко можем вычислить составляющие одного иэ векторов .4;, А' по составлшощим другого. Ввиду этого представляется весъма удобиым рассматривать А, и А' ие кап составляющие двух различных векторов, а как рааличвые (соответствевпо ковариавткые и контраварваиткые) состэвлявэщве о д и о г о в т о г о ж е в е к т о р а.
Совершеиио то же самое можно сказать в про тевэоры любого ранга Фгнпьмввтьяьныв тввяог Воаьмем теперь ковтравариавтный тевэор второго раш а А'В. Тогда можпоавалогичнотому, как от вектора А мы прин<ли в вектору Ао про< яавести о п е р а ц к ю п о н и ж е н и я о д н о г о в в э н а ч к о в э т от о те на о Р а; в самом деле, Умножав этот тенэоР на ум и пРоиэводя сокращение по индексам я и я, мы повучвм тенэор э<а А» аа В провэводя же умншкевие теввора А на ям и кровэводя сокращение по индексам р и <, мы получим другой тепвор Аасб~ Аа (12) Принямяй вформувах (11) и (12) способ обоэиачеиия смешанных теввороа отчетливо указывает на то, капой именно вв индексов подвергсв понижению (над втим индексом наверху пли под вим вщюу стоит точка), и мы впредь будем часто польэоваться этим способом.
Нетрудно аналогичным приемом опустать и второй индекс тенаора А В, двя этого достаточно составить выражение А ямуэа А<.яэа — — Ао, ас в Обратно, от А<а можно вернуться к А<» и Аа<. В самом деле, составим А яю = А;тб РВВ А;г„й аояьвуясь теперь формулами (8), легко установим, что А<абщ = А» В Аналогично этому можно докавать, что (14) Аяяаэ йш = АВ у'а = А'В А Ваэ = Аа В)В = Ае'(<ам Ааааа Доказательство этой теоремы предоставляется в качестве упражнения читателю. Сояоиупность всех полученных нани формул и поваоляет рассматрпяать Аа<, А<.', А,а, А<а как ковтравариантные, смешанные пковарнаитиые составляющие одного и того же тенвора.
Не останавливаясь на дальнейших примерах применения процесса понижения в повышения индексов, укажем только одно простое правило, касающееся того случая, когда в некотором одиочлеве какой-либо эначок встречается два рава и,слеповатая но, по этому эначку происходит суммироваияе. Мы внаем, что в этом случае непременно один вначок стоит наверху, а другой внизу (иначе рассматриваемая величина не имела бы тенаорного характера).
Так вот в этом случае мы можем верхний эначок суммирования опустить вниз о тем, чтобы нижний значок суммирования поднять наверх. Например злвмвиты оввхвй твознв тввзогои Гд ПГ При етом, как ны ввдевн выше, процесс повышения зиачва проиаводвтса при помощи теизора я*а, процесс понижения прв помоща тенаора ум, Првмененве же тезюора б," провааоднт, пак легко видеть, только замену одного значка другим, например Я,уз-.1„ (18) поэтому ф называют мце тензором подстановки. 3.
Перейдем теперь к приложениям. В основу наших рассуждений мы положим фундаментальную форму (ЗВ ( 2 е) (д(а (19) определявнцую расстояние между двумя бесконечно близкими точками рвмаиова пространства А„. Про квадратичную форму (19) мы будем предполагать, что оиа принимает только положительные значения и что оиа произошла указанным в $30 образом. А именно мы будем считать, что мы имеем и-мерное еизсаидоао простраистно Е», в котором положение какой-либо точки определяется прямолинейными прямоугольиымн коорднватамв у~, уз,..., у, в что в этом пространстве мы рассматриваем подпростренство В„, определенное формулами рт = щ (*' - - .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
